概率与统计答题模板-2025届高考数学解答题（含答案）

概率与统计答题模板_2025届高考数学

解答题

解答驳辍率与挑奸各观技巧

目录

模版一离散型随机变量的分布列及期望方差的答题技巧..................................1

模版二二项分布、超几何分布、正态分布的答题技巧......................................6

模版三条件概率、全概率与贝叶斯公式的答题技巧......................................12

模版四独立性检验与线性回归直线方程的答题技巧.....................................17

模版五概率与数列及导数杂糅的答题技巧..............................................25

模版一离散型随机变量的分布列及期望方差的答题技巧

题型解读

离散型随机变量的分布列与数字特征是新高考卷中的高频考点，难度适中，常在解答题中出现，需要重点

复习。

9模版构建

i.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为g,22,…,g,■■■<xn,X取每一个值处(i=1,2,…，九)的

概率P(X=rcj=p”则表

XX172©

PPiP2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①“>0(i=l,2,•••,九)；②Pi+pzH-----

2.离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X

Xi力2XiXn

pPi02PiPn

则称E(X)=x1Pl+x2p2+---+XiPi+---+Xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平.

⑵若y=aX+b,其中a,6为常数，则V也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+6.

⑶①若X服从两点分布,则E(X)=p；

②若X~B(n,p),则E(X)=np.

3.离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

伤

XXn

PP1P2PiPn

则3—E(X))2描述了◎(i=l,2,…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而。(X)=x(g—E(X))2”为这些

^=1

偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,称D(X)为随机变量X的方差,并

称其算术平方根VWO为随机变量X的标准差.

(2)D(aX+b)=a2O(X).

(3)若X服从两点分布,则D(X)=p(l-p).

⑷若X~B(n,p),则D(X)=np(l—p).

念模版运用

1.(2022.全国.高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方

得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜

的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

2.(2021•全国•高考真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有4,8两类问题，每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从

另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束2类问题中的每个问题

回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分，已知小明能正

确回答人类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次

序无关.

(1)若小明先回答/类问题，记X为小明的累计得分,求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

3.(2024•四川宜宾•一模)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为卷，每命中一次

得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次，命中的概率为十,命中得2分，没有命中得0分。假设该射

手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.

(1)求该选手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X的分布列及其数学期望E(X).

9模版演练

4.(2024•福建厦门•模拟预测)小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了24元，然后发给朋友A,如

果人猜中，人将获得红包里的所有金额;如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友如果B猜中，

平分红包里的金额;如果8未猜中，8将当前的红包转发给朋友。，如果。猜中，A、B和。平分

红包里的金额；如果。未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、口、。猜中的概率分别为之，2，

:，且A、B、C是否猜中互不影响.

(1)求人恰好获得8元的概率；

(2)设A获得的金额为X元,求X的分布列及X的数学期望.

5.(2024•全国•模拟预测)某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自

动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击

训练，已知该同学每次射击成功的概率均为

(1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；

(2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，

记X为三次射击总得分，求X的分布列及数学期望.

6.(2024•山东烟台•三模)为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参

加航天科普知识挑战赛，比赛共设置4,8,。三个问题，规则如下:①每位参加者计分器的初始分均

为50分，答对问题A,B,C分别加10分，20分，30分,答错任一题减10分;②每回答一题，计分器显

示累计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分

数大于或等于80分时,答题结束,挑战成功；③每位参加者按问题。顺序作答,直至挑战结束.

设甲同学能正确回答出问题4氏。的概率分别为言，4，4,且回答各题正确与否互不影响.

542

(1)求甲同学挑战成功的概率；

(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X的分布列和数学期望E(X).

模版二二项分布、趣几何分布、正态分布的答题技巧

@题型解读

二项分布、超几何分布以及正态分布是新高考卷中频繁出现的考点，难度适中,通常在解答题中进行考查,

需要重点复习。

白模版构建

1.独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布

在相同条件下重复做的在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验

定义n次试验称为n次独立重中事件A发生的概率为P，此时称随机变量X服从二项分布，记作

复试验X~B(n,p),并称p为成功概率

A(i=1,2,■■■,n)表示第

计算i次试验结果，则P在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为F(X=卜)=

公式(444…4)=P(A)P&铲(1-p)"f(k=0,l,2,­••,«)

(4)…P(4)

2.超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为P(X=

k)=—1Vl,fc=0,l,2,…，m,其中m=min{M,n},且nWN,MWN,n,M,NCN*,称分布列为超几何

CN

分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.

X01m

COr^n-0r^lr^n-1

P―N—M

QnQnQn

3.正态分布

正态曲线的特点

⑴曲线位于劣轴上方，与，轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线2=〃对称；

(3)曲线在立=〃处达到峰值；

(4)曲线与立轴之间的面积为1；

(5)当(7一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿，轴平移；

(6)当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中"越大，曲线越“矮胖”,

表示总体的分布越分散.

正态分布的三个常用数据

(l)F(/z—cr<X</z+cr)=O.6826；

(2)F(//-2(7<X<//+2c)=0.9544；

(3)P(〃-3b<X<〃+3Q=0.9974.

s模版运用•••

7.（2024.陕西商洛.一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得

比赛，比赛结束）,根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.

OO

假设每局比赛结果互不影响.

（1）求比赛进行四局且甲获胜的概率：

（2）比赛结束时、甲、乙共进行了X局比赛，求X的分布列和期望.

8.（2024.全国.三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则:每一局比赛中，胜者得1分,负者得0分，且比

赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为日，每局比赛的结果互不影响.

（1）经过3局比赛，记甲的得分为X,求X的分布列和期望；

（2）若比赛采取3局制,试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.

9.（2024•河北邯郸•模拟预测）体育老师想了解高三（1）班男学生100米达标情况，首次随机抽查了12名

男学生，结果有8名学生达标，4名学生没有达标.

（1）现从这12名男学生中随机抽取3名，用X表示抽取的3名学生中没有达标的人数，求X的分布列

和期望；

（2）为了提高达标率，老师经过一段时间的训练，第二次测试达标率增加了《，现从该班男学生中任意

抽取2人，求至多两次测试后，这两人全部达标的概率.

10.（2024•广东茂名•一模）近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加

速发展的阶段，我国的新能源汽车产业,经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完

善、企业竞争力大幅增强,呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对

送来的某个汽车零部件进行检测.

（1）若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的

概率；

（2）若该批零部件共有20个,其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件,求不合格零部件的产

品数X的分布列及其期望值.

11.（2024•河南•模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为:前两关中的

每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过

三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.

（1）若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为W，言，言，求小李成功竞聘的概率P；

654

（2）统计得10000名竞聘者的得分X〜N（420.5,10.752）,试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.

（四舍五人取整）

附:若随机变量X〜则尸（〃一（TWX<〃+GQO.6827,P（M—2oWXW〃+2。）々0.9545

12.（2024•湖南常德・一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况,评选研修先进个人,

现随机抽取了10名教师利用“学习4PP”学习的时长数据（单位:小时）:35,43,90,83,50,45,82,

75,62,35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.

（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概

率.

（2）若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N5吟，其中。=10,〃为抽取的10名教师学

习时长的样本平均数,利用所得正态分布模型解决以下问题：

①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；

②若从该市随机抽取的八名教师中恰有£名教师的学习时长在［50,70］内，则当§的均值不小于32

时，打的最小值为多少？

附:若随机变量X服从正态分布则P（〃—aWXW〃+ahO.6827,P（〃—2（7WXWz/+2a）y

0.9545,P（〃-3OWXW〃+3（T）七0.9973.

9模版演练

13.（2024.甘肃白银.一模）某导弹试验基地对新研制的AB两种导弹进行试验，入导弹每次击中空中目

标、地面目标的概率分别为:，弓，B导弹每次击中空中目标、地面目标的概率分别为/率

（1）若一枚A导弹击中一个空中目标，且一枚6导弹击中一个地面目标的概率为。,一枚A导弹击中

一个地面目标，且一枚B导弹击中一个空中目标的概率为外，比较Pi,p2的大小；

（2）现有两枚4导弹，一枚B导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目

标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和

期望.

14.（2024•上海长宁•二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；

（1）从盒子中随机抽取出1个球,观察其颜色后放回,并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒

子随机取出1个球,求第二次取出的球是红球的概率；

（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X,求X的分布、期望与方差；

15.(2024•海南•模拟预测)某大型公司进行了新员工的招聘,共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘

分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩X〜N(80,32).复试为闯关制:共有三关,前两关

中的每一关最多可闯两次,只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败;第三关必须一次性通过，

否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功.

(1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间(83,86］内的人数；

⑵若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为言言，言，且每次闯

543

关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率P.

附:若随机变量X〜N(〃02)，则尸(“一行＜〃+行)70.6827,P(〃-2(7WXW必+2(7)70.9545,尸(〃

一3aWXW〃+3ah0.9973.

•M

模版二条件概率、全概率与贝叶斯公式的答题技巧

S题型解读

在概率论与统计学中，条件概率是一个极其重要的概念，它衍生出了两个极为关键的公式――全概率公

式和贝叶斯公式三类公式并称为概率“三剑客”，是高考的重要考点，需强化练习

9模版构建

1.条件概率

条件概率的定义条件概率的性质

已知B发生的条件下，人发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P⑴O《P(B⑷W

(川B).1,

当P⑻>0时,我们有P(川B)=。黑;)•(其中，A仆B也可以记成AB)(2)如果B和。是

两个互斥事件，则

类似地,当P(⑷>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B\A)^P^P(BUC|A)=P

(B⑷+P(。⑷

2.全概率公式

一般地，设4,A2f…，4是一组两两互斥的事件,4U4U…U4=。,且P(A)>0,i=l,2,•••,n,则对任

n

意的事件BUQ,BQ=+4+…+4)=BAl+BA2+---+BAn,有P(B)=22P(4)P(_BIA>)

4=1

，此公式为全概率公式.

(1)计算条件概率除了应用公式P(B|A)=皆黑外，还可以利用缩减公式法，即P{B\A)=呸粤，其中

PyA)n\A)

n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件4B包含的样本点数.

(2)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发

生的简单事件的概率的求和问题.

3.贝叶斯公式

一般地,设4,4,…，4是一组两两互斥的事件,有4u4u…uA。=。且P(A)>o,i=1,2,…，口,

则对任意的事件P(B)>。有

P(A)F(BIA).一c

P(BIA)=----------------,1=1,2,•••,n

P(B)£P(A)F(BIA)

i=l

发模版运用

16.(2022.全国.高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图:

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的

16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据

中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

17.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深

厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿

茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为春®与，每道工

35

序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为察.三道工序加工都合

格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶,恰有一道工序加工合格的绿茶为二

级绿茶，其余的为不合格绿茶.

（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；

（2）每盒绿茶（净重100g）原材料及制作成本为30元,其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分

别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X

元，求随机变量X的分布列及数学期望.

18.(2023•全国•高考真题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率

均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知:若随机变量X,服从两点分布，且尸(X,=1)=1-P(X,=0)=@,i=1,2,…,则=

汇击记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

i=l

19.(2024.全国.模拟预测)设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元

件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线

生产该电子元件的次品率依次为白,夫,白，亲.

1012152U

(1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件,求取

到的电子元件是次品的概率.

(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中,再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子

元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率.

20.（2024•福建厦门•模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜

色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子,再从中随机摸出一球.

（1）求摸出的球是黑球的概率；

（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.

21.（2024•安徽•模拟预测）现需要抽取甲、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和

1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出

一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正

品，则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为*.

（1）求首次检验抽到合格产品的概率；

（2）在首次检验抽到合格产品的条件下,求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；

（3）将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子,继续进行二次检验时有如下两种方案:方案一,从首

次检验选到的箱子中抽取;方案二,从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率

大.

9模版演练

22.(2024-山东•一模)某商场在开业当天进行有奖促销活动,规定该商场购物金额前200名的顾客,均可

获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为2，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中

奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金.

(1)求顾客甲获得了1。0元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；

(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元,则该活动是否会超过预算？请说明理由.

23.(2024.黑龙江大庆.一模)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定

并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理

中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的

体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有1的学生每天饮用含糖饮

料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为皆；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为

2

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生,求该生肥胖的概率；

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数

学期望.

24.（2024.湖南，二模）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产

的产品能达到优秀等级的概率分别为春，今，4,现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三

个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.

（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的

概率；

（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2：1：1,若该质检部门从

已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数£的分布列及

数学期望.

模版四独立性检验与线性回归直线方程的答题技巧

独立性检验与线性回归直线方程本身知识点较为简单,但通常结合统计与概率的其他知识点联合考查,

需重点强化练习

9模版构建

独立性检睑解题方法:

⑴依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性

(

独立性检验计算公式：R2=nad—bc'f

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

线性回归分析解题方法:

_n__n_

⑴计算五斤，汇媛,汇电%的值；（2）计算回归系数6；（3）写出回归直线方程9=62+6.

2=12=1

〉2（为一句（"一。）^xtyt-nxy

Z=1

线性回归直线方程为：y=bx+d,b=n-----------=---------,d—y—bx

f⑶-可2

i=li=l

其中回研为样本中心，回归直线必过该点

（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）

nn

>出一可（仇一可^xtyi-nxy

4=1i=l

InIn

2环―研2s(y「前[^x^-nx2

2=1Vi=l

r>0,正相关；rVO,负相关

|r|<1,且|r|越接近于1,线性相关性越强；

周越接近于0,线性相关性越弱,几乎不存在线性相关性

O模版运用

25.（2024•全国•高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产

品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车

间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设力为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.

如果/>p+1.65,「（丁，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据,

能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（，须%12.247）

n(ad-bc)2

(Q+6)(c+d)(Q+c)(6+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

•••

26.（2023•全国•高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下:选40只小白鼠，随机地将其中20

只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠

饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小鼠体重的增加量的中位数小，再分别统计两样本中小于小与不小于的数据的个数，完成

如下列联表：

对照组

实验组

（w）根据⑴中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增

加量有差异.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

卜00.1000.0500.010

P(K2)ko)2.7063.8416.635

27.（2022.全国.高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树

木的总材积量，随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积（单位：加2）和材积量（单位：

m3）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积为0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量仍0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得工磅=0.038,22?/?=1.6158,22^=0.2474.

i=li=li=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

186m2,已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总

材积量的估计值.

n

Z（%一下）（%一歹）

附：相关系数度:「二1,VL896^1.377.

V

28.（2024•山东淄博・二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重

强调可持续发展,加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业

对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份力20152016201720182019

年份代码x(x=t—2014)12345

销量式万辆）1012172026

（1）计算销量y关于年份代码x的线性相关系数并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关

系（若加＞0.75,则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出"关于c的线性回归方程:若不是，说明

理由；

⑵为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业乂随机调查

了该地区100位购车车主的购车情况,假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的

有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率，已知一位

车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率.

附:若31,%）,（12,纺），…为样本点,

£。一以y「3）^x^i-nxy..

相关系数公式：r=//口/；y=五+a为回归

/77./n/n/n"

以y「研£x钳t—n丽..

1=1

方程，则b=n-----------=------------,a=y—bx.

天（刈-行）2自翁一几可

i=li=l

9模版演练

29.(2022.全国.高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分

为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，人表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有

该疾病”.，(口⑷与，巴？的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记

P(B|A)P(B|A)

该指标为A.

(i)证明：A=尸(-•以坐1.

F(A|B)P(A|B)

(ii)利用该调查数据，给出F(A|B),F(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.

n(ad-bcy

(a+6)(c+d)(a+c)(fe+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

30.（2024・四川成都•模拟预测）已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了

解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：

课外活动

性别合计

满意不满意

男150100250

女5050100

合计200150350

（1）根据小概率值&=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关

联？

（2）从这350名样本学生中任选1名学生，设事件A=”选到的学生是男生"，事件8=“选到的学生对

课外活动满意”，比较F（B|A）和P（B|A）的大小，并解释其意义，

n{ad—bcf

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

M

31.（2024•青海西宁•一模）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间宓（单位:年）

与当年所需要支出的维修费用夕（单位：万元）有如下统计资料:

X23456

y2.23.85.56.57.0

_555

已知汇4=90,汇江=140.78,2伤%=112.3,77078.9,271.4

2=1Z=11=1

（1）计算少与尤的样本相关系数r（精确到0.001）,并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的

相关性强弱（若0.75WmW1,则认为y与x相关性很强,否则不强）.

（2）该厂购入一台新的4型机床，工人们分别使用这台机床（记为X）和一台已经使用多年的4型机

床（记为Y）各制造50个零件，统计得出的数据如下表：

零件

机床合计

合格不合格

X4

Y40

合计

请将上面的2义2列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用

情况有关”.

无)(%一研^XiPi-nxy

附参考公式及数据r£=1i=l

2(◎一万)吃(仇一办j—nx2

i=li=l

n{ad—bcf

K2，其中？i=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+C)(b+d)

P(KWko)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

模版五概率与数列及导数杂糅的答题技巧

@题型解读

概率与数列及导数的综合是新高考卷的新命题内容,难度中等偏难，常在大题中考查,需重点复习.

9模版构建

用数列和导数的分块知识来证明数列、求和及证明单调性、求最值即可

S模版运用

32.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率

均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

⑶已知:若随机变量乂服从两点分布，且P（X,=1）=1—P（X产0）=@,i=1,2,…则=

_Tl_

ZQ.记前n次（即从第I次到第九次投篮）中甲投篮的次数为y,求E（y）.

i=l

33.（2024•江苏盐城•模拟预测）某学校有A、B两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择

一个餐厅用餐.此后，如果某同学某天去A餐厅,那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4；如果某

同学某天去3餐厅,那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.

（1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望；

（2）甲同学第几天去4餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.

•••

34.（2024.四川.模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的

消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：

消费金额（单位:百元）[0,5](5,10](