高考数学模拟大题规范训练27（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（27）

7T

15.如图，三棱锥P-A3C中，ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB，D是棱AB

2

的中点，点E在棱AC上.

（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立?

如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；

①平面PAB，平面ABC；

②DE工AC；

③POLC.

2

（2）若三棱锥P-A3C的体积为一，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面

3

PDE与平面P3C所成二面角的大小.

22

16.如图，椭圆c：二+4=1（。＞匕＞0）的中心在原点。，右焦点/，椭圆与y轴交

a2b2

直线跖与椭圆C交于点”

（1）求椭圆C方程;

（2）尸是椭圆C弧加上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.

17.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：首先，

四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”.接

着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第

四名.然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名.最

后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知甲对阵乙、丙、丁

获胜的概率均为p(o<p<l),且不同对阵的结果相互独立.

(1)若"=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两

人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜

者获得冠军.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为双。<。<1),则哪种赛制对甲夺冠有

利？请说明理由.

18.设函数/(X)=；/+依2+*+](4@R).

(1)当a=0时，求/(%)在x=0处的切线方程；

(2)讨论了(%)的单调性；

(3)当x20时，/(x)<ex,求。取值范围.

19.已知正整数九〃为常数，且九H1,无穷数列｛4｝的各项均为正整数，其前〃项和为

S,,,且对任意正整数〃，=2%-〃恒成立.

⑴证明无穷数列｛4｝等比数列，并求4；

,,白1,n+2

(2)若〃=4,bn=log2an,求证：2J—>In；

普22

(3)当“21时，数列｛4｝中任意不同两项的和构成集合4设集合纥=

k|3〃-2"T<x<3"2",xeA｝,纥中元素的个数记为％,求数列｛%｝的通项公式.

高三数学大题规范训练（27）

7T

15.如图，三棱锥P-A3C中，ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB，D是棱AB

2

的中点，点E在棱AC上.

（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？

如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；

①平面PAB，平面ABC；

②DE工AC；

③POLC.

2

（2）若三棱锥P-A3C的体积为一，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面

3

PDE与平面P3c所成二面角的大小.

【答案】（1）答案见解答

⑵-

3

【解答】

【分析】（1）若选择①②，则只需证明AC，平面qDE，结合线面垂直的性质定理即可得

证；若选择①③，则只需证明AC，平面。QE,结合线面垂直的性质定理即可得证；若选

择②③，则只需证明平面ABC,再结合面面垂直的判定定理即可得证.

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面。QE与平面P3c的法向量，由向量夹角公式

即可求解.

【小问1详解】

选择①②，可证明③.

由=。是线段AB的中点，得。QLAB.

又平面已45,平面ABC,平面八IBc平面ABC=AB,且？Du平面八IB；

所以尸。，平面ABC,

ACu平面ABC,得PQLAC,

又。£，AC；PDC\DE=D,PD,DEU平面PDE，

所以ACJ_平面P£)E.

因为PEu平面PDE，所以ACLPE,

若选择①③，可证明②.

由Q4=?B，。是线段AB的中点，得。QLAB.

又平面队8,平面ABC,平面八IBc平面ABC=9，且？Du平面八1B；

所以尸。，平面ABC,

ACu平面ABC,得PDJ_AC,

又PE工AC,PDC\PE=P,PD,PEU平面PDE，所以AC,平面PDE，

因为。Eu平面。QE，所以ACLDE.

选择②③，可证明①.

由K4=?B，。是线段AB的中点，得尸DLAB

因为PELAC,DErAC,PD,PEu平面P£)E，DEP\PE=E,

所以AC_L平面PDE.

尸。u平面PDE,得尸£)_LAC,

ABcAC=A,AB,ACu平面ABC,所以尸Z)_L平面ABC.

又PDu平面八48,故平面平面ABC.

【小问2详解】

方法一：由(1),选择①②，则③成立.取线段AC的中点R连接DE，

7T

则由NABC=—,及。是线段AB的中点，

2

^DF-LAB.由(1)知，P£>J_平面ABC,

以点。为坐标原点，D4,。尸,DP所在直线分别为x,y,z轴,

271

建立如图所示空间直角坐标系三棱锥P-ABC的体积V=—,且ZABC=-,

32

119

AB=BC=2,得y=](5-2-2)•尸£>=§,得尸£)=1

所以由A6=5C=2,。是线段AB的中点，DE-LAC,得：

P（O,O,l）,D（O,O,O）,El|,1,01,5（-1,0,0）,6（-1,2,0）.

所以加=（0,0,1）,=I=（1,0,1）,BC=（0,2,0）.

设面PDE与面PBC的法向量分别为4=（%,%/1）,n,=（x2,y2,z2）,

4=0

Z]=0_

则11C，得：，，所以面PDE的一个法向量为％=(1,—1,0).

E=-X

x>2+z92=0X、——Z0——►

，得：<y_0,所以面P5。的一个法向量为％=(1,0,—1).

〔2为=0|

设平面PDE与平面PBC所成二面角为e,

7171

因为0<e<一,所以面PDE与面PBC所成二面角的大小为一.

23

方法二：延长ED交CB的延长线于。连接PQ,

则平面PDEc与平面PBC=PQ.

由三棱锥P—A3C的体积为工，且NABC=巴，

32

211

AB=BC=2,得7=；；(；；X2X2)•尸。，解得尸。=1

332

7T

又由/A5C=—,及O是线段A5的中点，DE±AC,

2

在等腰直角三角形CEQ中，CE=>O,CQ=3,

2

连结C。，在RSCPZ）中，PD=l,CD=5PC=&，

在等腰直角三角形BDQ中，BD=BQ=1,QD=0

在RtAQPD中，PQ=y/3,

在ACPQ中，由PC2+PQ2=CQ2,所以PC_LPQ,

又由（1）知，CE，平面PDE，PE是PC在面PDE内射影,

由三垂线逆定理得：PELPQ,

则NCPE即为二面角C-PQ-E的平面角,

CF=2,

sinZCPE=——二―^

PC瓜2

兀

所以面PDE与面P3C所成二面角的大小为一.

3

22

16.如图，椭圆C：=+与=l（a>Z?>0）的中心在原点。，右焦点、F,椭圆与V轴交

a2b2

,直线防与椭圆C交于点”

（1）求椭圆C的方程;

（2）尸是椭圆C弧加上动点，当四边形"MB的面积最大时，求P点坐标.

【解答】

分析】（1）方法一：由题意得a=。L，b=c,把点〃14,令1直接代入椭圆方程求出

41

a,"c即可；方法二：把代入族：x—y—c=0求出a,b,c即可；

(2)S四边形解MB=+S«4BM，而AABM的面积为定值，所以只要△APM的面积最

大,进一步分析得知，只需求毛+2%的最大值，方法一：用判别式法求最值；方法二：

利用基本不等式求最值，结合取最值的取等条件即可求解.

【小问1详解】

设0=42_方,又离心率6=工=巫，则”=岳.

a2

b2=a2-c2=2c2-c2=c2则b=c.

224I

法一：则CMgg）点代入得c=l,

41

法二：则AF：x—y—C=。，点代入得。=1,

2

所以C方程为：—+y2=l.

2-

【小问2详解】

=

因为S四边形APMBS-APM+SAABM,而的面积为定值，所以只要△APM的面积最

大.

设/&),%),则x；+2y；=2①.

A(O,1),,则线段AM长度为定值.

由图知，P在直线AM的上方，直线AM：x+2y-2=0,

|xo+2%-2|%o+2%-2

尸到直线AM的距离为弓=

只需求%+2%的最大值.

法一：设%o+2%=，，代入其+2y；=2得:3大一2%+产一4=。,

因为A=4〃—12(〃—4)>。，得-aWt<a.

当，=%+2%=病时，联立①，解得：为=".

33

法二：因为（为+2%）2=%；+4y；+4%为工需++2需+2*

=3（片+2y；）=6.

所以/+2%W通，

当且仅当x°=%=当时，（%+2%）而=n・

所以当四边形APMB的面积最大时，此时点P坐标为（逅,逅）.

33

17.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：首先，

四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”.接

着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第

四名.然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名.最

后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知甲对阵乙、丙、丁

获胜的概率均为且不同对阵的结果相互独立.

（1）若，=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两

人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜

者获得冠军.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为仪0＜。＜1）,则哪种赛制对甲夺冠有

利？请说明理由.

【答案】⑴@0.16；②3.128

（2）答案见解答

【解答】

【分析】（1）①甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和

独立事件概率公式求解即可；②明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独

立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望；

（2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的

赛制对甲夺冠有利.

【小问1详解】

①记“甲获得第四名”为事件A,又。=。.6,则尸(A)=(l-pl=0.16；

②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，

则X的所有可能取值为2,3,4,

连败两局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；

P(X=3)=0.62+(1-0.6)x0.6x(l-0.6)+0.6x(l-0.6)x(l-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)xO.6xO.6+O.6x(l-0.6)x0.6=0.288；

则X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

所以数学期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128.

小问2详解】

在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为p?.

(ii)在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”，

设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”,则尸(A)=p3；

设事件B为“甲比赛四场：胜负(胜区败)胜(赢败区胜)胜(决赛区胜)”，

则尸(B)=p(l-p)p2；

设事件C为“甲比赛四场：负胜(败区胜)胜(赢胜区败)胜(决赛区胜)”，

则P(C)=(1-0)p3;

所以尸(V)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+(C)=p3+p(i一+(i一？)/=(3一2p)/.

由(3-2p)p3=p2(3p_2P2_l)=p2(2p_i)(i_?),且0<p<l,

当peg,1)时，(3—2初/>/,"双败淘汰制,，对甲夺冠有利；

当pe(0,g)时，(3-2。)/</,“单败淘汰制，，对甲夺冠有利；

当p=g时，两种赛制甲夺冠的概率一样.

18.设函数/(x)=+依2+x+i(“eR).

(1)当a=0时，求/(%)在x=0处的切线方程;

(2)讨论/(X)的单调性;

(3)当x20时，/(x)<e',求a的取值范围.

【答案】(1)y=x+l

(2)答案见解答(3)aW

4

【解答】

【分析】(1)只需分别求出/(0),/'(0)即可；

(2)求导得「(%)=\/+2依+1,根据八是否大于0对。进行分类讨论即可求解；

r3

e_lx-r-1,、

⑶分离参变量转换为恒成立问题，构造函数内⑴;2,,只需求得〃(%)的最

X2

小值即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，f(x)=-x3+x+l,贝|尸(幻=5尤2+i,

则/'(0)=1，又"0)=1，

故/(%)在x=0处的切线方程为y=x+L

【小问2详解】

因为/(x)=—x3+ax2+x+l,则/r(x)=—x2+2ax+l,

若A=4Q2—6W0，即一逅WaW逅时，

22

广(幻20恒成立，故/(%)在R上单调递增;

若A=4八6>。，即…弓或"争寸，%=必言

X（-<»,再）(再,％2)（工2，+°°）

/'(X)+0—0+

f（.x）7/

则f(x)在2a心)和(一"2+心2-6,+一)上为增函数；在

(-2"*一6,一2a+心2一％上为递减函数.

【小问3详解】

因为尤20时，f(%)<e'Y>即万龙3+or2+x+1We",

当x=0时，上式成立，

_lr3-Y-1ex--x3-x-1

也即当X>0时，aW2：恒成立,记g)_2,

X2X2

x

n.(e——尤2_尤_1)

则“(X)=(x-2)----2_-------

2

'□^-X+X+1川5+1)-(：*2+x+l)_LX2

叱m(x)=&——：——(x20)'人加(x)=-------：-------=-^―W0'

e*e*QX

则”2(尤)在[0,+8)为减函数，则加(X)(0)=1,即-X-120恒成立，

2

则xe[0,2),〃'(x)<0,〃(x)单调减，XG[2,+OO),〃'(尤)>0,/z(x)为增函数，

2_72_72_7

%(])min=人Q)=—e-—，则e——,所以。的取值范围为e——.

19.已知正整数九〃为常数，且彳工1,无穷数列｛%｝的各项均为正整数，其前〃项和为

sn,且对任意正整数〃，S“=x%-〃恒成立.

(1)证明无穷数列｛%｝为等比数列，并求2;

(2)若〃=4，bn=log2a„,求证：>二>山工一；

占〃2

(3)当〃时，数列｛4｝中任意不同两项的和构成集合A.设集合用=

｛x|3"2"T<x<3"2",xeA｝,纥中元素的个数记为g,求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解答，4=2

(2)证明见解答(3)c.=n(«>1)

【解答】

【分析】（1）由%=SR—Sa（〃22）并结合已知条件，得出数列｛%｝的两项的商为定值，

从而可知｛凡｝为等比数列，由于其各项均为正整数,所以公比亦为正整数,从而得到2=2；

（2）写出数列｛%｝的通项公式，得出“，结合导函数求出函数的单调性，再结合累加法

对数计算求和即可.

（3）结合（2）得出集合纥中元素满足的不等式，将纥中元素的个数转化为关于，工的

不等式的解的数目，先确定的取值，再由放缩法确定，的取值，从而确定解的个数，得到

c„的通项公式.

【小问1详解】

当〃N2时，Sn=Aan—//,两式相减得：

an-^an-2。