2024-2025学年辽宁省大连市大连二十四中高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连二十四中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为(

)A.13 B.13.5 C.15 D.15.52.给定集合P={a|a=log3x,x≥2}，集合Q={b|b=lnx,x≥2}，集合M={c|c=(1A.P⊆Q B.Q⊆P C.M⊆Q D.Q⊆M3.给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足∠APB=π2，则线段AB的中点的轨迹是(

)A.一个圆 B.一个椭圆 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分4.已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是(

)A.(5,7) B.(5.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的两个虚根x1，x2满足x1A.1 B.−1 C.1+526.已知函数f(x)=Acosωx−3sinωx(ω>0)的部分图象如图，y=f(x)的对称轴方程为x=5π12+A.3 B.2 C.32 D.7.如图，在△ABC中，AC=2，AB=6，∠BAC的内角平分线交BC于点D，过C作CE⊥AD于点E，则CE⋅BE|CEA.−3 B.−2 C.−32 8.已知A，B是椭圆C：y23+x2=1短轴的两个端点，点O为坐标原点，点P是椭圆C上不同于A，B的动点，若直线PA，PB分别与直线x=−4交于点M，NA.243 B.123 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为△ABC的面积和外接圆半径．若b=2，c=3，则选项中能使△ABC有两解的是(

)A.B=30° B.C=30° C.S=3 D.R=210.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P，则下列命题中正确的是(

)A.正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半

B.若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满

C.将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P

D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P11.已知函数fn(x)=x−nlnx(n∈N)有两个零点，分别记为xn，yn(x2<ynA.fn(x)在(1,+∞)上单调递增

B.n>e(其中e=2.71828…是自然对数的底数)

C.xn+1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)满足f(x)+f(11−x)=1+x，则f(x)=13.已知α,β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，则14.若实数x，y和等比数列{an}满足{xa1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

甲、乙两人进行射击比赛，每回射击胜者得1分，且每回射击中甲胜的概率为α，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到有一人比另一人多2分时结束，多2分者最终获胜．

(1)试求甲、乙最终获胜的概率；

(2)比赛是否有可能无限地一直进行下去？16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=2，BC=2，PC=PD=3，平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥BC．

(1)证明：BC⊥平面PCD；

(2)若点Q是线段PC的中点，M是直线AQ上的一点，N是直线PD上的一点，是否存在点M，N使得MN=217.(本小题12分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos2A+cos2C=1+cos2B且b=1，

(1)求B；

(2)若AB⋅AC<12，求1a+1c的取值范围；

(3)若⊙O18.(本小题12分)

在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=4y，点P是直线x−y−2=0上任意一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点M，连接PM交C于点N．

(1)求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；

(2)求|PM||PN|的值；

(3)当P在直线上运动时，求△PAB的面积的最小值，并求出此时P19.(本小题12分)

设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2．

(Ⅰ)证明：函数Fn(x)=fn(x)−2在(12,1)内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.D

9.AD

10.BC

11.BCD

12.x213.314.(−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,+∞)

15.16.

17.解：(1)因为cos2A+cos2C=1+cos2B，

则1−sin2A+1−sin2C=1+1−sin2B，

所以sin2A+sin2C=sin2B，

则a2+c2=b2，

所以△ABC为直角三角形，

所以B=π2；

(2)0<c2<12，而a2+c2=1，

所以设c=sinθ,a=cosθ,θ∈(0,π4)，

所以1a+1c=1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，

令t=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4),t∈(1,2)，

又因为18.解：(1)设P(x0,x0−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2).

因为直线与抛物线相切，y′=x2，所以kPA=y′|x=x1=x12，

所以直线PA的方程可表示为y=x12x−y1．

因为点P在PA上，所以x0−2=x12x0−y1，化简得x0x1−2y1−2x0+4=0．

同理可得，B点的坐标满足x0x2−2y2−2x0+4=0．

所以，直线AB的方程为x0x−2y−2x0+4=0，变形为2y−4=x0(x−2)，

所以直线AB过定点(2,2)．

(2)由直线AB的方程x019.证明：(Ⅰ)由Fn(x)=fn(x)−2=1+x+x2+…++xn−2，

则Fn(1)=n−1>0，

Fn(12)=1+12+(