T8联考·2025届高三下学期3月联合测评数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页T8联考·2025届高三下学期3月联合测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z+2i=zi，则|z|=(

)A.5 B.55 C.2.已知集合P={x|y=ln(1−2x)}，Q={y|y=1−exA.(−∞,12) B.(12,+∞)3.已知实数a<b，则“m>0”是“ab<a+mb+mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(

)A.12盏 B.24盏 C.36盏 D.48盏5.若cosα+cosβ=12，cos(α−β)=−14，其中A.52 B.62 C.6.设N为正整数，在平面直角坐标系Oxy中，若CNmx2+CNny2=1(0≤m≤N,0≤n≤N，且A.12 B.8 C.7 D.57.在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量x与y之间的几组数据如下表：x1234y0235根据上表数据所得经验回归方程为y=bx+a.该同学又收集了两组数据x=5，y=4和x=6，参考公式：经验回归方程为y=bx+a，其中bA.b>b′，a>a′ B.b<b′，a>a′ C.8.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆C:(x−1)2+yA.3+3 B.4+2 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4π，△SAB是圆锥的一个轴截面，则(

)

A.圆锥的母线长为4

B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为2π3

C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为42

10.已知a，b均为正实数，且过点M(a,b)的直线与抛物线y2=−2px(p>0)相切于点N(−2,43A.a+3b=2 B.a2+b2的最小值为12

C.2a+11.设曲线C:x2(x−y)=2，下列说法正确的是A.曲线C的图象仅在第一、三象限内

B.曲线C的渐近线为直线y=x和y轴

C.曲线C与曲线E:y2(y−x)=2没有交点

D.曲线C与圆O:x2+y2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(1−ax)6(a≠0)展开式的各二项式系数的和是其系数和的64倍，则实数a的值为

13.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)−1(ω>0)在区间[0,π]上恰有两个零点，则ω14.若函数y=f(x)满足：对任意的正实数m，n，有f(m+n)>f(m)+f(n)恒成立，则称函数y=f(x)为“Γ函数”.若函数f(x)=ln(x+1)+ax2是“Γ函数”，则实数a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=(1)求证：tan(2)若c=5，sinC=16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M，N分别为棱(1)当点M在什么位置时，有B1D⊥(2)当动点M，N满足DMDD1=BNBC17.(本小题15分)已知函数f(x)=e(1)若a=1，求f(x)的极值点个数;(2)是否存在整数a，使得函数f(x)的图象与y=(2−a)x+a的图象在区间(1,+∞)上有两个交点?若存在，求出a的最大值;若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)

如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，线段A1(1)求C的标准方程;(2)若直线l与C的左、右两支分别交于M，N两点，且总有A2B ①求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标; ②若直线A2M，A2N与直线x=12分别交于P，Q19.(本小题17分)在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”.如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列a，b，c经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为Pn，所有项的乘积记为Q(1)给定数列−1，2，1，回答下列问题： ①求P2， ②若|Pn+(2)已知数列a，b，c，其中a，b，c∈{−3,−2,−1,1,2,3}，求该数列经过3次“J延拓”后，Q3能被48整除的概率．

参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.2

13.[43,14.[115.解：(1)∵bcosC=35a+ccosB，

由正弦定理得sinBcosC=35sinA+sinCcosB，

又A=π−(B+C)，∴sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，

∴sinBcosC=35(sinBcosC+cosBsinC)+16.解：(1)以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B1(1,0,2)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，

设M(0,1,m)，0⩽m⩽2，N(1,n,0)，0⩽n⩽1．

则B1D=−1,1,−2，AM=0,1,m，AC=1,1,0．

若B1D⊥平面MAC，则B1D·AM=1−2m=0B1D·AC=−1+1=0，解得：m=12，

故当DM=12时，有B1D⊥平面MAC;

(2)若DMDD1=BNBC，

则m2=n1，则m=2n．17.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx+1，其定义域为(0,+∞)，

对f(x)求导得f′(x)=ex−1x，

易知f′(x)=ex−1x在(0,+∞)上单调递增，

又f′(12)=e−2<0，f′(1)=e−1>0，

根据零点存在定理，在区间(12,1)内存在x0，使得f′(x0)=0，

当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以x=x0是f(x)的极小值点，f(x)的极值点个数为1个．

(2)令g(x)=f(x)−(2−a)x−a=eax−lnx−(2−a)x，x∈(1,+∞).

∴原命题等价于函数g(x)在区间(1,+∞)上有两个零点，

∵g′(x)=aeax−1x−(2−a)，

当a≤0时，g′(x)<0恒成立，∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递减，g(x)至多有一个零点，不合题意;

当a>0时，令ℎ(a)=eax−lnx−(2−a)x，∴ℎ′(a)=xeax+x>0，18.解：(1)由题意得e=1+(ba)2=212⋅2a⋅2b=2，解得a=b=1，

∴双曲线C的标准方程为x2−y2=1．

(2) ①∵直线A2B2的方程为y=−x+1，

A2B2平分∠MA2N，∴直线A2M，A2N关于直线A2B2对称，

∴两直线的斜率之积kA2M·kA2N=1．

直线l的斜率显然存在，设l的方程为y=kx+m，

设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx+mx2−y2=1，整理得(1−k2)x2−2kmx−m2−1=0．

则有1−k2≠0，且Δ=(−2km)2+4(1−k2)(m2+1)=4(m2−k2+1)>0，

x1+x2=2km1−k2，x1x2=−m2−11−k2，

又kA2MkA2N=y1x1−119.解：(1)给定数列−1，2，1，

①经过1次“J延拓”后得到数列：−1，−2，2，2，1，

经过2次“J延拓”后得到数列：−1，2，−2，−4，2，4，2，2，1，

则P2=9，Q2=−1×2×(−2)×(−4)×2×4×2×2×1=−512；

②数列−1，2，1第n次“J延拓”后得到数列，记为A1，A2⋅A3，⋯，APn，

第n+1次“J延拓”后，每两项之间添加1项，共添加了(Pn−1)项，

∴总项数Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，

故Pn+1−1=2(Pn−1)，∵P1=5，

∴{Pn−1}是首项为4，公比为2的等比数列，

Pn−1=4×2n−1=2n+1，即Pn=2n+1+1．

第n+1次“J廷拓”后，每相邻两项之间插入这两项的乘积，

∴在计算所有项的乘积时，因子Ai(i=2,3,⋯,Pn−1)共出现了3次，A1，APn，共出现了2次，A1=−1，APn=1．

∴所有项的乘积Qn+1=(A1APn)