考物理复习方案第1讲 功 功率

考物理复习方案第1讲功功率一、知识梳理（一）功1.功的定义如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，就说这个力对物体做了功。功等于力与物体在力的方向上移动距离的乘积，公式为\(W=Fs\)。其中\(W\)表示功，单位是焦耳（J）；\(F\)表示力，单位是牛顿（N）；\(s\)表示物体在力的方向上移动的距离，单位是米（m）。2.做功的两个必要因素一是作用在物体上的力；二是物体在这个力的方向上移动的距离。例如，人推箱子在水平地面上前进，人对箱子施加了力，箱子在力的方向（水平方向）上移动了距离，所以人对箱子做了功。而提着水桶在水平路面上行走，提力方向竖直向上，水桶在水平方向移动，提力对水桶没有做功。3.功的计算恒力做功：当力\(F\)是恒力时，直接利用公式\(W=Fs\cos\alpha\)计算，其中\(\alpha\)是力\(F\)与位移\(s\)方向的夹角。当\(\alpha=0^{\circ}\)时，\(\cos\alpha=1\)，\(W=Fs\)；当\(\alpha=90^{\circ}\)时，\(\cos\alpha=0\)，力不做功。变力做功：微元法：把物体的位移分割成许多小段，每一小段位移足够小，可近似认为力在这一小段位移上是恒力，然后分别计算各小段力做的功，再求这些功的代数和。图象法：根据力随位移变化的图象，图象与坐标轴所围的"面积"表示力做的功。例如，\(Fs\)图象中，图象与\(s\)轴围成的面积就等于力\(F\)做的功。动能定理：对于变力做功问题，可根据动能定理\(W_{合}=\DeltaE_{k}\)来求解，通过计算物体动能的变化量来确定变力做的功。

（二）功率1.功率的定义功率是表示做功快慢的物理量。功与做功所用时间之比叫做功率，公式为\(P=\frac{W}{t}\)。其中\(P\)表示功率，单位是瓦特（W）；\(W\)表示功，单位是焦耳（J）；\(t\)表示做功所用时间，单位是秒（s）。2.功率的计算平均功率：定义式\(P=\frac{W}{t}\)，此式计算的是在时间\(t\)内的平均功率。当已知力\(F\)和物体在力的方向上的平均速度\(\overline{v}\)时，也可利用\(P=F\overline{v}\cos\alpha\)计算平均功率，其中\(\alpha\)是力\(F\)与平均速度\(\overline{v}\)方向的夹角。瞬时功率：当\(t\)非常小时，\(P=\frac{W}{t}\)计算的就是瞬时功率。若已知力\(F\)和物体在某一时刻的瞬时速度\(v\)，则瞬时功率\(P=Fv\cos\alpha\)，其中\(\alpha\)是力\(F\)与瞬时速度\(v\)方向的夹角。3.额定功率和实际功率额定功率：是指机器正常工作时的最大功率，也就是机器铭牌上的标称值。实际功率：是指机器实际工作时的功率。实际功率可以小于额定功率，也可以在短时间内略大于额定功率，但不能长时间超过额定功率，否则会损坏机器。

二、典型例题分析（一）功的计算1.恒力做功问题例1：一个质量\(m=2kg\)的物体，在水平拉力\(F=10N\)的作用下，在粗糙水平面上移动了\(s=5m\)的距离，已知物体与水平面间的动摩擦因数\(\mu=0.2\)，求拉力\(F\)和摩擦力\(f\)对物体做的功。解：首先求拉力\(F\)做的功，已知\(F=10N\)，\(s=5m\)，根据\(W=Fs\)，可得拉力\(F\)做的功\(W_{F}=Fs=10\times5=50J\)。然后求摩擦力\(f\)，根据\(f=\muN\)，\(N=mg\)（物体在水平面上，竖直方向受力平衡），可得\(f=\mumg=0.2\times2\times10=4N\)。摩擦力\(f\)做的功\(W_{f}=fs=4\times5=20J\)，这里摩擦力方向与物体运动方向相反，所以功为负。例2：如图所示，质量为\(m\)的物体静止在倾角为\(\theta\)的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为\(\mu\)，现用水平力\(F\)推物体，使物体沿斜面向上移动距离\(s\)，求推力\(F\)、摩擦力\(f\)、重力\(G\)以及支持力\(N\)对物体做的功。解：推力\(F\)做的功\(W_{F}=Fs\)。摩擦力\(f=\muN\)，先求\(N\)，物体在垂直斜面方向受力平衡，\(N=mg\cos\theta+F\sin\theta\)，则摩擦力\(f=\mu(mg\cos\theta+F\sin\theta)\)，摩擦力方向沿斜面向下，所以摩擦力做的功\(W_{f}=fs=\mu(mg\cos\theta+F\sin\theta)s\)。重力\(G\)做的功\(W_{G}=mgs\sin\theta\)，重力方向竖直向下，其做功与路径无关，只与初末位置高度差有关，这里高度升高\(s\sin\theta\)。支持力\(N\)方向垂直斜面向上，物体在支持力方向上没有位移，所以支持力\(N\)做功\(W_{N}=0\)。2.变力做功问题微元法例3：如图所示，用大小不变的力\(F\)拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为\(\alpha\)，当拉力\(F\)作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为\(\beta\)，已知图中高度\(h\)，求绳的拉力\(F\)对物体所做的功。解：把物体的位移\(s\)分割成许多小段\(\Deltas_{1},\Deltas_{2},\cdots\)，在每一小段位移中，拉力\(F\)可近似认为是恒力。设物体在某一小段位移\(\Deltas\)内，拉力\(F\)与位移方向的夹角为\(\theta\)，则拉力\(F\)在这一小段位移上做的功\(\DeltaW=F\Deltas\cos\theta\)。由几何关系可知，当绳与水平面夹角从\(\alpha\)变为\(\beta\)时，物体的位移\(s=h(\cot\alpha\cot\beta)\)。对每一小段位移上的功求和，即\(W=\sum_{i=1}^{n}\DeltaW_{i}\)，由于\(F\)不变，可得\(W=Fs\cos\theta\)（这里\(\theta\)是拉力\(F\)的平均方向与位移方向的夹角），\(W=Fh(\cot\alpha\cot\beta)\)。图象法例4：一物体在水平面上由静止开始在水平恒力\(F\)作用下运动，运动过程中物体受到的摩擦力大小不变，物体运动的速度\(v\)与时间\(t\)的关系图象如图所示，已知力\(F\)作用的时间为\(t_{1}\)，则力\(F\)在\(0t_{1}\)时间内做的功为多少？解：由\(vt\)图象可知，物体在\(0t_{1}\)时间内做匀加速直线运动，加速度\(a_{1}=\frac{v_{1}}{t_{1}}\)。根据牛顿第二定律\(Ff=ma_{1}\)，可得\(F=f+ma_{1}=f+\frac{mv_{1}}{t_{1}}\)。在\(vt\)图象中，图象与坐标轴所围的"面积"表示位移。\(0t_{1}\)时间内物体的位移\(s=\frac{1}{2}v_{1}t_{1}\)。则力\(F\)做的功\(W_{F}=Fs=(f+\frac{mv_{1}}{t_{1}})\frac{1}{2}v_{1}t_{1}\)。又由图象可知，\(t_{1}\)时刻后物体做匀速直线运动，此时\(F=f\)，所以\(W_{F}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+ft_{1}\)。动能定理例5：如图所示，质量为\(m\)的小球用长为\(L\)的轻绳悬挂于\(O\)点，小球在水平力\(F\)作用下，从平衡位置\(P\)点缓慢地移动到\(Q\)点，此时轻绳与竖直方向的夹角为\(\theta\)，求力\(F\)做的功。解：小球从\(P\)点缓慢移动到\(Q\)点，速度始终为零，动能变化量\(\DeltaE_{k}=0\)。对小球受力分析，由动能定理\(W_{合}=\DeltaE_{k}\)可知，\(W_{F}+W_{G}+W_{T}=0\)。重力\(G\)做的功\(W_{G}=mgL(1\cos\theta)\)。拉力\(T\)始终与小球运动方向垂直，不做功，即\(W_{T}=0\)。所以力\(F\)做的功\(W_{F}=mgL(1\cos\theta)\)。

（二）功率的计算1.平均功率计算例6：质量为\(m=5000kg\)的汽车，发动机的额定功率为\(P=60kW\)，汽车从静止开始以\(a=0.5m/s^{2}\)的加速度做匀加速直线运动，所受阻力\(f=1000N\)，求：（1）汽车匀加速直线运动的时间；（2）汽车在匀加速直线运动过程中发动机的平均功率。解：（1）汽车在匀加速直线运动过程中，根据牛顿第二定律\(Ff=ma\)，可得牵引力\(F=f+ma=1000+5000\times0.5=3500N\)。当汽车达到额定功率时的速度\(v=\frac{P}{F}=\frac{60000}{3500}\approx17.14m/s\)。由\(v=at\)，可得匀加速直线运动的时间\(t=\frac{v}{a}=\frac{17.14}{0.5}=34.28s\)。（2）汽车在匀加速直线运动过程中的位移\(s=\frac{1}{2}at^{2}=\frac{1}{2}\times0.5\times34.28^{2}\approx294.12m\)。发动机做的功\(W=Fs=3500\times294.12=1.029\times10^{6}J\)。则平均功率\(\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{1.029\times10^{6}}{34.28}\approx30000W=30kW\)。例7：一物体在水平恒力\(F\)作用下沿水平方向做直线运动，已知物体的质量\(m=2kg\)，力\(F\)大小为\(10N\)，物体运动的速度\(v\)与时间\(t\)的关系如图所示，求在\(04s\)内拉力\(F\)的平均功率。解：由\(vt\)图象可知，\(04s\)内物体的位移\(s=\frac{1}{2}\times(2+4)\times4=12m\)。拉力\(F\)做的功\(W=Fs=10\times12=120J\)。则平均功率\(\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{120}{4}=30W\)。2.瞬时功率计算例8：质量为\(m=2kg\)的物体，在水平拉力\(F=10N\)的作用下，在光滑水平面上从静止开始做匀加速直线运动，求：（1）物体运动\(t=2s\)时拉力\(F\)的瞬时功率；（2）物体运动\(t=2s\)时合力的瞬时功率。解：（1）根据牛顿第二定律\(F=ma\)，可得加速度\(a=\frac{F}{m}=\frac{10}{2}=5m/s^{2}\)。物体运动\(t=2s\)时的速度\(v=at=5\times2=10m/s\)。则拉力\(F\)的瞬时功率\(P=Fv=10\times10=100W\)。（2）合力\(F_{合}=F=10N\)，则合力的瞬时功率\(P_{合}=F_{合}v=10\times10=100W\)。例9：如图所示，一个质量为\(m\)的物体从倾角为\(\theta\)的光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高为\(h\)，求物体滑到斜面底端时重力的瞬时功率。解：物体下滑过程中，根据动能定理\(mgh=\frac{1}{2}mv^{2}\)，可得物体滑到斜面底端时的速度\(v=\sqrt{2gh}\)。重力的瞬时功率\(P=mgv\sin\theta=mg\sqrt{2gh}\sin\theta\)。

三、易错题分析1.功的计算中力与位移的对应关系例10：如图所示，物体在水平力\(F\)作用下静止在斜面上，若