基本不等式教案第一课时

基本不等式教案第一课时一、教学目标1.知识与技能目标理解基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)）的代数和几何意义。能够运用基本不等式求一些简单函数的最值，并能解决一些简单的实际问题。2.过程与方法目标通过对基本不等式的推导，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。通过运用基本不等式解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学建模能力。3.情感态度与价值观目标通过探究基本不等式的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在运用基本不等式解决问题的过程中，让学生体会数学的应用价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)）的推导及应用。理解基本不等式等号成立的条件。2.教学难点基本不等式的几何意义的理解。灵活运用基本不等式求函数的最值，并能准确判断等号成立的条件。

三、教学方法讲授法、探究法、讨论法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.展示问题某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种降价方案：甲方案是第一次打\(p\)折销售，第二次打\(q\)折销售；乙方案是第一次打\(q\)折销售，第二次打\(p\)折销售；丙方案是两次都打\(\frac{p+q}{2}\)折销售。请问：哪种方案降价较多？2.引导学生分析设商品原价为\(a\)元，分别计算三种方案降价后的价格：甲方案：\(a\times\frac{p}{10}\times\frac{q}{10}=\frac{apq}{100}\)乙方案：\(a\times\frac{q}{10}\times\frac{p}{10}=\frac{apq}{100}\)丙方案：\(a\times(\frac{\frac{p+q}{2}}{10})^2=\frac{a(p+q)^2}{400}\)3.比较三种方案降价后的价格大小通过计算\(\frac{a(p+q)^2}{400}\frac{apq}{100}\)来比较大小：\[\begin{align*}\frac{a(p+q)^2}{400}\frac{apq}{100}&=\frac{a(p^2+2pq+q^2)}{400}\frac{4apq}{400}\\&=\frac{a(p^22pq+q^2)}{400}\\&=\frac{a(pq)^2}{400}\end{align*}\]因为\((pq)^2\geq0\)，当且仅当\(p=q\)时取等号，所以\(\frac{a(p+q)^2}{400}\geq\frac{apq}{100}\)，即丙方案降价较多（当\(p=q\)时，三种方案降价相同）。4.引出课题通过这个实际问题，我们发现了一个重要的不等式关系。今天我们就来深入研究这个不等式基本不等式。

（二）讲授新课1.基本不等式的推导探究一：让学生思考：对于任意的正实数\(a\)，\(b\)，\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)是否成立？展开\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\)得：\[\begin{align*}(\sqrt{a}\sqrt{b})^2&=a2\sqrt{ab}+b\\a+b&\geq2\sqrt{ab}\end{align*}\]当且仅当\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)，即\(a=b\)时取等号。探究二：引导学生观察\(a+b\)与\(2\sqrt{ab}\)的关系，将\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)变形为\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)。强调：当\(a,b\gt0\)时，\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)成立，当且仅当\(a=b\)时取等号。2.基本不等式的代数意义讲解：基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)）表明：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。举例说明：设\(a=4\)，\(b=9\)，则\(\frac{a+b}{2}=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}\)，\(\sqrt{ab}=\sqrt{4\times9}=6\)，显然\(\frac{13}{2}\gt6\)，即\(\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\)。当\(a=b=5\)时，\(\frac{a+b}{2}=\frac{5+5}{2}=5\)，\(\sqrt{ab}=\sqrt{5\times5}=5\)，此时\(\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\)。3.基本不等式的几何意义引导学生观察图形：如图，以\(a+b\)为直径作圆，在直径\(AB\)上取一点\(C\)，使\(AC=a\)，\(CB=b\)。过点\(C\)作垂直于直径\(AB\)的弦\(DD'\)，连接\(AD\)，\(DB\)。由射影定理可得\(CD^2=AC\cdotCB=ab\)，即\(CD=\sqrt{ab}\)。而圆的半径\(r=\frac{a+b}{2}\)。因为圆中弦长小于等于直径，所以\(CD\leqr\)，即\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)。当且仅当点\(C\)与圆心重合，即\(a=b\)时，等号成立。总结：基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线长不小于斜边上高的长。4.等号成立的条件强调：基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)）中，等号成立的条件是\(a=b\)。当\(a\neqb\)时，\(\sqrt{ab}\lt\frac{a+b}{2}\)。

（三）例题讲解例1：已知\(x\gt0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值。解：因为\(x\gt0\)，根据基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)，有\(y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)。当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x=1\)时取等号。所以\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值为\(2\)。

例2：已知\(0\ltx\lt\frac{1}{2}\)，求\(y=x(12x)\)的最大值。解：因为\(0\ltx\lt\frac{1}{2}\)，所以\(12x\gt0\)。将\(y=x(12x)\)变形为\(y=\frac{1}{2}\times2x(12x)\)。根据基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)，有\(y=\frac{1}{2}\times2x(12x)\leq\frac{1}{2}(\frac{2x+12x}{2})^2=\frac{1}{8}\)。当且仅当\(2x=12x\)，即\(x=\frac{1}{4}\)时取等号。所以\(y=x(12x)\)的最大值为\(\frac{1}{8}\)。

（四）课堂练习1.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=4\)，则\(ab\)的最大值为（）A.2B.4C.6D.82.若\(x\gt0\)，则\(x+\frac{4}{x}\)的最小值为（）A.2B.4C.6D.83.已知\(0\ltx\lt3\)，求\(y=x(3x)\)的最大值。

（五）课堂小结1.引导学生回顾基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)）的推导过程。2.强调基本不等式的代数意义和几何意义。3.总结运用基本不等式求最值的方法及等号成立的条件。

（六）布置作业1.书面作业：教材P100练习第1、2、3题。2.思考作业：已知\(a,b\gt0\)，且\(ab=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的最小值。

五、教学反思在本节课的教学中，通过实际问题导