2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题15 等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）（24题）（教师版）

专题15等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）（24题）

一、单选题

1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC中，D是AC的中点，CEAB，BD与CE交于点O，且

BECD．下列说法错误的是（）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E

B．BDC3ABD

C．当E为AB中点时，ABC是等边三角形

S△BOC3

D．当E为AB中点时，

S△AEC4

【答案】D

1

【分析】连接DE，根据CEAB，点D是AC的中点得DEADCDAC，则BEDE，进而得点D

2

在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD，根据BEDE得EDBABD，

的AEDEDBABD2，再根据DEAD得AAED2，则BDCAABD3，由此可对选

1

项Ｂ进行判断；当E为AB中点时，则BEAB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得ACBC，然后

2

11

根据BEAB，CDAC，BECD得ABAC，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO并延长交BC于

22

F，根据ABC是等边三角形得OBCOAC30，则OAOB，进而得OB2OF，AF3OF，由此

113

得SBCOF，SBCAFBCOF，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．

OBC2ABC22

【详解】解：连接DE，如图1所示：

CEAB，点D是AC的中点，

DE为Rt△AEC斜边上的中线，

1

DEADCDAC，

2

BECD，

BEDE，

点D在线段BD的垂直平分线上，

即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；

设ABD，

BEDE，

EDBABD，

AEDEDBABD2，

DEAD，

AAED2，

BDCAABD3，

即BDC3ABD，故选B正确，不符合题意；

1

当E为AB中点时，则BEAB，

2

CEAB，

CE是线段AB的垂直平分线，

ACBC，

11

BEAB，CDAC，BECD，

22

ABAC，

ACBCAB，

ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；

连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：

当E为AB中点时，

点D为AC的中点，

根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，

当E为AB中点时，ABC是等边三角形，

ABCBAC60，AFBC，AF平分OAC，BD平分ABC，

OBCOAC30，

OAOB，

在Rt△OBF中，OB2OF，

OAOB2OF，

AFOAOF3OF，

113

SBCOF，SBCAFBCOF，

OBC2ABC22

S1

OBC，故选项D不正确，符合题意．

SABC3

故选：D．

【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，

等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形

的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．

2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将

这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）

A．24B．36C．40D．44

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，根据图1，结合已知条件

2

得到a2b2c224，aba2b22ab4，进而求出ab的值，再进一步求解即可.

【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，

图1中大正方形的面积是24，

a2b2c224，

小正方形的面积是4，

2

aba2b22ab4，

ab10，

1

图2中最大的正方形的面积c24ab2421044；

2

故选：D．

3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深

几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC5，DC1，BDBA，则BC（）

A．8B．10C．12D．13

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BCx，则BDBAx1，由勾股定理列出方程进行求解

即可．

【详解】解：设BCx，则BDBAx1，

2

由题意，得：x152x2，

解得：x12，即BC12，

故选：C．

4．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在ABC中，ACB90，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s

2

的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，ABP的面积ycm随时间x（s）变化的函数图象，则该三

角形的斜边AB的长为（）

A．5B．7C．32D．23

【答案】A

【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，

1

由图象可知，ABP面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到ACBC6，由图象可知ACBC7，

2

根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．

【详解】解：由图象可知，ABP面积最大值为6

由题意可得，当点P运动到点C时，ABP的面积最大，

1

∴ACBC6，即ACBC12，

2

由图象可知，当x7时，y0，此时点P运动到点B，

∴ACBC7，

∵C90，

2

∴AB2AC2BC2ACBC2ACBC7221225，

∴AB5．

故选：A

1

5．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BCAB，使BCAB，

2

连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，

交AB于点E．若AEmAB，则m的值为（）

5152

A．B．C．51D．52

22

【答案】A

1

【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得ABC90，再根据BCAB，设AB=a，然后在

2

51

Rt△ABC中，利用勾股定理可得ACa，再根据题意可得：ADAE，CDBCa，从而利用线段

22

的和差关系进行计算，即可解答．

【详解】解：∵BCAB，

∴ABC90，

1

∵BCAB，设AB=a

2

1

∴BCa，

2

2

22215

∴ACABBCaaa，

22

1

由题意得：ADAE，CDBCa，

2

5151

∴AEADACCDaaa，

222

∵AEmAB，

51

∴m，

2

故选：A

1

6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，ABC90，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的

2

长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆

1

心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为

2

半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：

1

①C30；②AP垂直平分线段BF；③CE2BE；④SS．

△BEF6△ABC

其中，正确结论的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，

灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．

由作图可知MN垂直平分线段AC、AE平分BAC，进而证明CEACBAE30可判定①；再说

明ABAF可得AP垂直平分线段BF可判定②；根据直角三角形的性质可得AC2AB，AE2BE可判定

③，根据三角形的面积公式即可判定④．

【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，

∴EAEC，

∴EACC，

由作图可知AE平分BAC，

∴BAECAE，

∵ABC90，

∴CCAEBAE30，故①正确，

∴AC2AB，

∵AFFC，

∴ABAF，

∴AP垂直平分线段BF，故②正确，

∵AE2BE，EAEC，

∴EC2BE，故③正确，

1

∴SS，

BEF3BCF

∵AFFC，

1

∴SS，

BFC2ABC

1

∴SS，故④正确．

△BEF6△ABC

故选：D．

7．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线；

第二个图，由作图可知：OCOD,OAOB，

∴ACBD，

∵AODBOC，

∴△AOD≌△BOC，

∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，

∴BPD≌APC，

∴APBP，

∵OAOB,OPOP，

∴△AOP≌△BOP，

∴AOPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第三个图，由作图可知ACPAOB,OCCP，

∴CP∥BO，COPCPO，

∴ÐCPO=ÐBOP

∴COPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第四个图，由作图可知：OPCD，OCOD，

∴OP为AOB的平分线；

故选D．

二、填空题

8．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，ADa，AB10．以点A为

圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，

1

EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在AEC的内部相

2

交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为（用含a的代数式表示）．

【答案】a10

【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关

键．

利用基本作图得到AEAB10，EF平分AEC，，接着证明AEFAFE得到AFAE10，然后

利用FDADAF求解．

【详解】解：由作法得AEAB10，EF平分AEC，

∴AEFCEF，

∵AD∥BC，

∴AFECEF，

∴AEFAFE，

∴AFAE10，

∴FDADAFa10．

故答案为：a10．

9．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，

其示意图如图②，其中ABAB，ABBC于点C，BC0.5尺，BC2尺．设AC的长度为x尺，可

列方程为．

2

【答案】x222x0.5

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．

设AC的长度为x尺，则ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【详解】解：设AC的长度为x尺，则ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案为：x222x0.5．

10．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一

个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到

的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的

图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所．有．正方

形的面积和为．

【答案】48

【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别

计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．

【详解】解：图①中，∵ACB90，

根据勾股定理得，AC2BC2AB2224，

∴图①中所有正方形面积和为：448，

图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：

8412，

图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：

84216，

⋯

∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为84n，

∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为841048，

故答案为：48．

11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，VADE为等边三角形，EFAB于点F，

若AD4，则EF．

【答案】2

【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角

形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AEAD4，根据含30度角的直角三角形的性质求

解即可．

【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，VADE为等边三角形，EFAB，AD4，

∴FAD90,EAD60,AFE90,ADAE4，

∴FAE30，

1

∴EFAE2；

2

故答案为：2．

12．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以点A为圆心，AD长为半

径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为．

2

【答案】3π

3

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法

求阴影部分的面积．

设弓形AmF，连接AF，FE，由题意知AEAFFE2，即△AFE为等边三角形，FAEFEA60，

即可得出阴影部分面积为S阴S半圆S扇形DFES弓形AmF，代入数值即可求出结果．

【详解】解：∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，AB4，AD2，

∴AEADBE2，

∴以AB为直径作半圆时，圆心为点E，

设弓形AmF，连接AF，FE，即AEAFFE2，如图：

∴△AFE为等边三角形，

∴FAEFEA60，

故阴影部分面积为S阴S半圆S扇形DFES弓形AmF，

160π2260π2232

2

代入数值可得S阴22π23π，

236036043

2

故答案为3π．

3

13．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在ABC和VADE中，ABAC，BACDAE40，将VADE

绕点A顺时针旋转一定角度，当ADBC时，BAE的度数是．

【答案】60或120

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案；

【详解】解：如图，当ADBC时，延长AD交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE204060；

如图，当ADBC时，延长DA交BC于J，

∵ABAC，BACDAE40，

∴BAJCAJ20,

∴BAE1802040120，

故答案为：60或120

14．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC4，D是边AC的中

点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE．

3

【答案】

2

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CDDF，CEEF,EFD90，

设CEx，在Rt△BFE中，利用勾股定理进行求解即可．

【详解】解：∵ACB90，AC6，BC4，D是边AC的中点，

1

∴CDAC3，

2

∴BDBC2CD25，

∵将CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，

∴CDDF3，CEEF,EFD90，

∴BFBDDF2,BFE90，

设CEx，则：EFx,BEBCCE4x，

2

在Rt△BFE中，由勾股定理，得：4xx222，

3

解得：x；

2

3

∴CE；

2

3

故答案为：．

2

15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C

均在x轴上．将ABC绕顶点A逆时针旋转30得到△ABC，则点C的坐标为．

43

【答案】(4,4)

3

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作CFAO，

求出OF，C'F的值即可得到答案．

【详解】解：作CFAO，交y轴于点F，

由题可得：OA4，

ABC是等边三角形，AOBC，

∴AO是BAC的角平分线，

OAC30，

1

OCAC，

2

在RtAOC中，AO2OC2AC2，

1

即16(AC)2AC2，

2

83

解得AC，

3

83

ACAC，

3

43

OFAOAF4ACcos604，

3

833

FCACsin604，

32

43

C(4,4)，

3

43

故答案为：(4,4)．

3

16．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折

叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为

3

等腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF2:3；④cosDCQ．其中正确结论是．（填序号）

4

【答案】①②③

【分析】设正方形的边长为2a，1=2=，根据折叠的性质得出EAEP，根据中点的性质得出AEEB，

BP

即可判断①，证明四边形AECF是平行四边形，即可判断②，求得tan42，设APx，则BP2x，

AP

25

勾股定理得出APa，进而判断③，进而求得AQ，DQ，勾股定理求得CQ，进而根据余弦的定义，

5

即可判断④，即可求解．

【详解】解：如图所示，

∵E为AB的中点，

∴AEEB

设正方形的边长为2a，

则AEEBa

∵折叠，

∴12,BPEC，EPEBa

∴EAEP

∴△AEP是等腰三角形，故①正确；

设1=2=，

∴AEP1802

∴34

∴23

∴AF∥EC

又∵AE∥FC

∴四边形AECF是平行四边形，

∴CFAEa，

∴CFFDa，即F是CD的中点，故②正确；

∵BPEC，AF∥EC

∴BPAF

2

在RtADF中，AFAD2DF22aa25a，

BC2a

∵tantan12

BEa

BP

∴tan42

AP

设APx，则BP2x，

∴AB5x2a

25a

∴x

5

252535

∴APa，PF5aaa，

555

∴AP:PF2:3，故③正确；

连接EQ，如图所示，

∵QAE90，QPEEPCEBC90，AEEP

又EQEQ

∴AEQ≌PEQ

∴AQPQ

又∵EAEP

∴EQAP

∴AQEAEQ90

又∵AEQ490

∴AQE4

∵tan2

AE

∴2

AQ

a

∴AQ

2

13

∴QD2aaa

22

2

22325

在RtQDC中，QCQDDCa2aa

22

3

a

DQ3

∴cosDCQ2，故④不正确

5

QCa5

2

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握

以上知识是解题的关键．

三、解答题

17．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，ABDF，

ACDE，BCEF．

(1)求证：GEC是等腰三角形；

(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．

【答案】(1)见解析

(2)ADl

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：

（1）证明△ABC≌△DFE，得到ACBDEF，即可得证；

（2）根据线段的和差关系，易得AGDG，根据三角形的内角和定理，得到CADACB，即可得出

结论．

【详解】（1）证明：在ABC和△DFE中

ABDF

ACDE，

BCEF

∴△ABC≌△DFE，

∴ACBDEF，

∴EGCG，

∴GEC是等腰三角形；

（2）∵ACDE，EGCG，

∴ACCGDEEG，

∴AGDG，

1

∴GADGDA180AGD，

2

1

∵ACEDEF180CGE，

2

∵AGDEGC，

∴CADACB，

∴ADl．

18．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AB25，AC2，分别以点A，

1

B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，

2

连接CD，AE．

(1)求CD的长；

(2)求ACE的周长．

【答案】(1)5

(2)6

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键．

（1）由题意得MN是线段AB的垂直平分线，故点D是斜边AB的中点．据此即可求解；

（2）根据EAEB、ACE的周长ACCEEAACCEEBACBC即可求解；

【详解】（1）解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，

∴在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．

11

∴CDAB255．

22

（2）解：在Rt△ABC中，BCAB2AC2(25)222164．

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴EAEB．

∴ACE的周长ACCEEAACCEEBACBC246．

19．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段AD上，ABAD，BD，BCDE．

(1)求证：△ABC≌△ADE；

(2)若BAC60，求ACE的度数．

【答案】(1)见解析

(2)ACE60

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明△ACE是等边三角形是解答

的关键．

（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；

（2）根据全等三角形的性质得到ACAE，CAEBAC60，再证明△ACE是等边三角形，利用等

边三角形的性质求解即可．

【详解】（1）证明：在ABC与VADE中，

ABAD

BD，

BCDE

所以ABC≌ADESAS；

（2）解：因为△ABC≌△ADE，BAC60，

所以ACAE，CAEBAC60，

所以△ACE是等边三角形．

所以ACE60．

20．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x24x30；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．

【答案】（1）x1或x3

（2）第三边的长是10或22

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．

（1）用因式分解法解即可；

（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算

即可．

【详解】解：（1）x24x30

x1x30

x1或x3；

（2）当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为321210；

当一条直角边为1，斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为321222．

答：第三边的长是10或22．

21．（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，

正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如

下：

①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置

记为点B，连接AB；

②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，

C不在同一条直线上）；

③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的

落点记为点D；

④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的DAC是直角．

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BABC，请画出以点A为顶点的

直角，记作DAC；

推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明：ABBCBD，

ABC与△ABD是等腰三角形．

BCABAC,BDABAD．（依据1______）

BCABDABACBADDAC．

DACBCABDA180，（依据2______）

2DAC180，

DAC90．

依据1：______；依据2：______；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法

可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，

记作POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，

（1）根据“观察发现”延长CB至点D，且DBCB，连接CA,AD即可知以点A为顶点的DAC为直角；

（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；

（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可．

【详解】解：[操作体验]（1）

[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；

故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；

[拓展探究]（3）

22．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BDCE，

BE与AD交于点F．求证：ADBE．

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出ABBC，

ABDBCE60，然后根据SAS证明ABD≌BCE，根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明∶∵ABC是等边三角形，

∴ABBC，ABDBCE60，

又BDCE，

∴△ABD≌△BCESAS，

∴ADBE．

23．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，点D，E分别在AB，

CB上，DBEB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．

(1)求证：CD2BF，CDBF；

(2)将DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；

②求证：CD2BF．

【答案】(1)见解析

(2)①BF⊥CD；②见解析

【分析】（1）先证明ABE≌CBD得到AECD，FABBCD，根据直角三角形斜边中线性质得到

CDAE2BF，根据等边对等角证明FBABCD，进而可证明BF⊥CD；

（2）①延长BF到点G，使FGBF，连接AG，延长BE到M，使BEBM，连接AM并延长交CD于

点N．先证明AGF≌EBF，得到FAGFEB，AGBE，进而AG∥BE，AGBD．证明

△AGB≌△BDC得到ABGBCD，然后利用三角形的中位线性质得到BF∥AN，则

ABGBANBCD，进而证明ANCD即可得到结论；

②根据△AGB≌△BDC得到CDBG即可得到结论．

【详解】（1）证明：在ABE和△CBD中，

ABBC，ABECBD90，BEBD，

ABE≌CBDSAS，

AECD，FABBCD．

F是Rt△ABE斜边AE的中点，

AE2BF，

CD2BF，

1

BFAEAF，

2

FABFBA．

FBABCD，

FBAFBC90，

FBCBCD90．

BFCD；

（2）解：①BF⊥CD；

理由如下：延长BF到点G，使FGBF，连接AG，延长BE到M，使BEBM，连接AM并延长交CD

于点N．

AFEF，FGBF，AFGEFB，

AGF≌EBFSAS，

FAGFEB，AGBE，

AG∥BE，

GABABE180，

ABCEBD90，

ABEDBC180，

GABDBC．

BEBD，

AGBD．

在AGB和BDC中，

AGBD，GABDBC，ABCB，

AGB≌BDCSAS，

ABGBCD．

F是AE中点，B是EM中点，

BF是ABM中位线，

BF∥AN．

ABGBANBCD，

ABCANC90，

ANCD．

BF∥AN，

BFCD．

故答案为：BF⊥CD；

②证明：∵△AGB≌△BDC，

CDBG，

BG2BF，

CD2BF．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角

形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与

运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．

24．（2024·辽宁·中考真题）如图，在ABC中，ABC90，ACB045．将线段CA绕点C

顺时针旋转90得到线段CD，过点