查漏补缺：数列（4考点20题型）-2025年高考数学复习专练（新高考）原卷版

查漏补缺：数列

8升考点大集合

厂（数列的三种表示）

-（数列的分类）

K数列的有关七A

■＜数列的通项公式）

-（数列的递推公式）题型01由an与Sn的关系求通项公式

_（。考点一数列的概念与表蔡）题型02由递推关至求数列的通项公式

「■（观察法公式法）题型03数列的周期性及应用

题型04用房数研究数列的单调性和最值

-（黝口法）—（爆法）

数列通项公式的啾求法A

L（-（百法）~~（取倒数法）

Y三项雌去）—（不动点法））

等差数列的定义

朝01等差数列的基本量求解

等差数列的概念与公式等差中项题型02等差数列的性质及应用

朝03等差数列的前

通项公式与前n项和公式

O考点二等差数列及其前n项和朝04等差数列的单

等差数列通项的性质题型05等差数列的判定与证明

等差数列的性质置型06含绝对值等差数列求和

数列等差数列前n项和的性质

等比数列的日

厂等比数列的概念与公式J—，等比中项，题型01等百列的基本量求解

题型等比数列的性质及应用

―（。考点三等比数列及其前面和）■＜通项公式与前n项和公式02

题型03等比数列的判定与证明

p等比数列的性质，耀04等差与等比数列综合

匚等比数列的性质

七等比数列前n项和的性质

整01分组转化法会I列的前n项和

「公式法—分组法迪02裂项相消法新列的前n项和

朝错位相减法求数列的前项和

。考点四数列求和及综合问题I几种数列痂的常用方法并项求和法倒序相加法03n

题型04数列与不等式证明问题

裂项相消法错位相减法题型05数列中的探究性问题

整06数列新定义问题

考点大过头

考点一：数列的概念与表示

■-核心提炼•查漏补缺

知识点1数列的有关概念

1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法.

2、数列的分类

分类标准类型满足条件

按项数有穷数列项数有限

分类无穷数列项数无限

递增数列

按项与项«„+i>%

其中«GN*

间的大小

递减数列4+1<an

关系分类

常数列4+1=an

有界数列存在正数M,使⑷

按其他标

摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

准分类

周期数列对“GN*,存在正整数常数左，使

3、数列的通项公式：如果数列｛%｝的第"项与序号”之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式.

4、数列的递推公式：如果已知数列｛%｝的首项（或前几项），且任一项凡与它的前一项4T（"22）（或前几项）

间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.

知识点2数列通项公式的求法

1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律

写出此数列的一个通项.

2、公式法

（.fS,=

（I）使用范围：若已知数列的前“项和S”与%的关系，求数列｛对｝的通项a“可用公式%=:C,、小

构造两式作差求解.

（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即用和a“合

为一个表达，（要先分”=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.

3、累加法：适用于斯+1=斯+A"），可变形为斯+1—斯=/缶）

要点：利用恒等式。"=41+（。2—。1）+（的一。2）+…+（即一。"-1）（佗2,"GN*）求解

4、累乘法：适用于即+i=ys）。,”可变形为多

要点：利用恒等式斯=/竽詈…•卫n>2,wGN*）求解

ai<22an1

5、构造法：对于不满足=斯+i=A"）斯形式的递推关系，常采用构造法

要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解

类型一：形如a,m=pa,+4（其中p国均为常数且）型的递推式：

（I）若p=l时，数列｛%｝为等差数列；

（2）若q=0时，数列｛%｝为等比数列；

（3）若pwl且qwO时，数列｛4｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如下两种：

法一：设a.+i+X=pm”+九），展开移项整理得a,#]=pa“+（0-1）几，与题设。用=pa“+q比较系数（待定系

+—

数法）W>1=—,（P^0）^>fln+1+—^—=p（an+—^-）=>«„+—^―=X«„-i^7）»即构成以

p-1p-\p-\p-1p-1IpTJ

%+'一为首项，以0为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出|a"+'一]的通项整理可得an.

IPTJ

1

法二：由an+l=pan+q得%=pa“_]+22)两式相减并整理得出~—=p,即｛a“+i构成以g-4为首

3%,一

项，以p为公比的等比数列.求出｛。用-q｝的通项再转化为累加法便可求出a,,.

类型二:形如an+l=pan+/(n)(p#1)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设%+4附+8=加/_]+4(〃-1)+可，通过待定系数法确定A、3的值，转化成以4+A+B为首项,

以=厂标为公比的等比数列饱+A"+3｝，再利用等比数列的通项公式求出｛an+An+B]的通项整理

可得

法二：当/(«)的公差为d时，由递推式得：an+l=pan+f(n),an=pa,7+f｛n-1)两式相减得：

aa

n+\~n=p(a,-%)+d,令6“=a"+i-a”得：bn=pbn_x+d转化为类型V㈠求出bn,再用累加法便可求出

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设4+/1/5)=0[q7+彳/(〃-1)],通过待定系数法确定4的值，转化成以囚+彳/⑴为首项，以

然=正与为公比的等比数列｛%+%/(〃)｝,再利用等比数列的通项公式求出｛q+2/(H)｝的通项整理可

得。〃.

法二：当/(〃)的公比为q时，由递推式得：an+1=pan+f(n)一①，an=pan_x+f(n-1),两边同时乘以夕得

anq=pqan_x+qf(n-1)一②，由①②两式相减得an+i-anq=p(a〃一qa〃_J,即———=p，构造等比数列。

册—q*

法三：递推公式为4+i=pan+q〃(其中p,q均为常数)或为+i=pan+应"(其中p,q,厂均为常数)时，

要先在原递推公式两边同时除以得：4=2工+工，引入辅助数列也｝(其中6,=生)，得：

qqqqq

bn+l='2+工，再结合第一种类型。

qq

6、取倒数法：斯+i=—―(P，4,7是常数)，可变形为

qan-\-r^口an+ipanp

要点：①若p=r,则是等差数列，且公差为《可用公式求通项；

②若p打，则转化为斯+i=sa〃+f型，再利用待定系数法构造新数列求解

7、三项递推构造：适用于形如“2=〃。用+效“型的递推式

用待定系数法，化为特殊数列｛“，-。片｝的形式求解.方法为：设%+2-3用=〃(％.-幼,)，比较系数

得h+k=p,—hk=q,可解得h、k,于是｛。用—％%｝是公比为h的等比数列，这样就化归为an+l=pan+q型.

8、不动点法

(1)定义：方程/(x)=x的根称为函数/(x)的不动点.

利用函数/(x)的不动点，可将某些递推关系%M=/(%)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,

这种求数列通项的方法称为不动点法.

(2)在数列｛4｝中，％已知，且九22时,an=pan_1+q(是常数)，

①当夕=1时，数列｛4｝为等差数列；

②当°=0时，数列｛4｝为常数数列；

③当pwLq=0时，数列｛4｝为等比数列；

④当pwOJqwO时，称x=。％+4是数列｛%｝的一阶特征方程，

其根x=-2—叫做特征方程的特征根，这时数列｛4｝的通项公式为：x)pi+x；

1-P

(3)形如生=外，a2=m2,an+2=p-an+l+q-an(p、q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得

通项句，其特征方程为+4(*).

(1)若方程(*)有二异根。、0,则可令〃“二q・a"+%•/?〃(9、J是待定常数)；

(2)若方程(*)有二重根a=£,则可令々凡=(G(9、。2是待定常数)•

(其中生、。2可利用4=州，出二%求得)

・题型特训・精准提分_____________

【题型1由an与Sn的关系求通项公式】

S.(〃=1)

在数列问题中，数列的通项4与其前n项和S”之间关系如下a“=°】。/在使用这个关

[S„-Sn_l(n>2,neN)

系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛4｝的4与S“关系时，先令”=1求出首项外,然

后令2求出通项a“=S“-S,i，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令“之2求出通项

a.=S„-S’-，也不对n=i进行检验―

已知S“求斯的三个步骤

(1)利用4Z1=S1求出C11.

（2）当佗2时，利用斯=S〃一S1（定2）求出出的表达式.

（3）看G是否符合论2时许的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形

fSi，n=l,

式，BPan=\_

〔品1,九N2.

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.

（1）利用斯=s“一（论2）转化为只含S“，的关系式，再求解.

（2）利用S.—5-1=斯（色2）转化为只含斯，斯—i的关系式，再求解.

1.（24-25高三下•重庆北倍・月考）数歹£见｝的前〃项和S"=/+w+l,则数列｛qj的通项公式是.

2.（24-25高三下•山西・开学考试）数列｛%｝的前〃项和S"满足癌=20,-1,则0,=.

3.（24-25高三下•重庆•模拟预测）已知正项数列｛《,｝的前〃项和为5“，且4s〃=（%+以，贝U§5。=.

4.（24-25高三下•山东临沂•一模）设数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”+叫=1,则满足5“>0.99时，〃的最

小值为（）

A.49B.50C.99D.100

5.（23-24高三下・四川内江・专题练习）数列｛4｝为正项数列，S”为数列｛《,｝的前〃项和，且

++=S”,则数列｛4｝的通项公式为。”=（）

I/C^2十/^,n乙

A.2"B.nC.Z7+1D.2（〃-1）

【题型2由递推关系求数列的通项公式】

a„_i-a„_=/(«-2)

1、累加法：形如4+1=%+/（〃）型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）构造：,2

«2~ai=/(D

2=

%

ay

—=/(«-2)

2、累乘法:形如an+i=an-f(n)于（n）型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）构造：＜*

3、构造法：

（1）形如%+i=pq,+q（p,q为常数,pqwO且p*l）的递推式，可构造a,-]+几=0（4+4）,转化为等

比数列求解.也可以与类比式a“=pa,-+q作差,由an+l-an=,构造｛。用-。“｝为等比数列，然

后利用叠加法求通项.

（2）形如a,M=pa"+屋’（p*0且pwl,dwl）的递推式，当°="时，两边同除以d向转化为关于｛务｝

的等差数列；当p2d时，两边人可以同除以得&■=£.&+▲,转化为%吃+'.

dn+'ddnddd

（3）通过配凑转化为%+Aw+8=p[a,i+A（〃-1）+可，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以

%+A+8为首项，以普=产k为公比的等比数列｛%+4〃+研，再利用等比数列的通项公式求出

[n-my.

｛a„+An+B｝的通项整理可得an.

4、取倒数法：对于凡M=」^（acwO）,取倒数得二一="此=幺,+£.

b+c4an+1aanaana

当a=b时，数列是等差数列；

1be

当°工6时，令b,J,则〃出=匕2+£,可用待定系数法求解.

aa

1.（24-25高三下•福建厦门•二模）已知数列｛4｝满足q=l,—,则｛%｝的前6项和为（）

d襄AZIL

2.（24-25高三上•广东梅县•期中）若数列｛叫满足5-1）%=（〃+1）%_1（〃22），4=2,则4=（）

D.20

3.（24-25高三下•四川•模拟预测）已知数列｛%｝中，4=1,a“=a“_i+3”-2（neN\且〃22）,则通项

公式%=（）

,3〃2—〃+2-3/—3〃+2

A.-------------B.---------------

22

CD("-1)(3"+2)

'-2-'2-

4.(24-25高三上.河北.模拟预测)已知函数满足〃x+l)-〃x)=2x-1,且“0)=1,设数列｛%｝满

足4=/(〃)，则数列｛%｝的前w项和的表达式为()

A.n2—2n+2B.n2—n+1

C.-TD.硬地一"+1

62

5.(24-25高三上•宁夏银川•月考)已知数列｛%｝中，/=3,。用=2%-2〃+3,“uN*，S,为数列｛%｝的

前项和，则数列｛〃,｝的通项公式4=；Sg=.

【题型3数列的周期性及应用】

1、周期数列的常见形式

(1)利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；

(2)相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；

(3)相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.

2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求

有关项的值或者前〃项的和.

1.(24-25高三下•内蒙古呼和浩特•月考)若在数列｛4“｝中，4=2,(»>2),则%)25=()

an-l

A.2B.-C.—D.—1

22

2.(24-25高三下•重庆南岸•月考)已知数列｛可｝满足q=3,。用=1-eN*),则%=()

an

A.—B.—C.3D.2

32

3.(24-25高三上•云南昆明・期末)已知数列｛4｝满足4=3,1,则为)8=()

D.-1

「、21

4.（24-25高三上•贵州・月考）已知数列｛““｝满足。用=匚/，且4=彳，则的>25=（）

Zan2

4i

A.3B.—C.-D.—2

5.（23-24高三上.黑龙江哈尔滨•期中）数列｛%｝中，4=1,%=2,且an+2=an+l~an（〃£N*）,则“2024为

（）

A.2B.1C.-1D.-2

【题型4用函数研究数列的单调性和最值】

求数列最大项或最小项的方法

（1）将数列视为函数/（x）当xGN*时所对应的一列函数值，根据/（x）的类型作出相应的函数图象，或利用

求函数最值的方法，求出/（x）的最值，进而求出数列的最大（小）项.

（2）通过通项公式％研究数列的单调性，

a>a.[a<a.

利用"确定最大项，利用""T》2）确定最小项.

U2%&<4+1

（3）比较法：

%

①若有。角4=/("+1)一/(")>°（或4〉0时>1),

a„

则4+1〉。“，即数列｛%｝是递增数列，所以数列｛%｝的最小项为q=/（D；

«„+1

②若有4+i«„=/(«+1)-/(«)<0(或。”>0时<1),

a“

则an+l<an,即数列｛4｝是递减数列，所以数列｛q｝的最大项为q=/⑴.

L⑵3高三下•吉林通化「模）数列5｝的通项公式为%=会黑，该数列的前50项中最大项是（）

A.4B.%4C.a45D.%0

2.（24-25高三下•江西•模拟预测）已知数歹£%｝满足的前12项组成一组数据，其第90百

分位数为（）

A.〃8B.〃9C.%D.。12

3.（24-25高三下•辽宁•一模）已知在数列｛%｝中，q=a,ae（0,1）,2+]=〃，则也｝的前eN*,羟3）

项中的最大项为（）

A.4B.〃2C.D.%左一1

（3——3,〃47.I,,（、

4.（24-25高三上•江苏无锡・月考）已知数列｛。“｝的通项公式是%=„_6'7（〃eN*）,右数列{4}

a,〃>/

是递增数列，则实数。的取值范围是（）

A.B.?3C.（2,3）D.[2,3）

已知数列｛%｝满足4.=3+：,则下列说法正确的是（）

5.（24-25高三下•安徽铜陵•开学考试）

A.｛。,｝所有项恒大于等于收B.若4=1,则｛外｝是单调递增数列

见+1+?1是单调递增数列

C.若｛。“｝是常数列，则q=0D.若％=2,则

考点二：等差数列及其前n项和

・核不提炼：查漏补缺_____________

知识点1等差数列的概念及公式

1、等差数列的定义

（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

（2）符号语言：4+「册=、痴,d为常数）.

2、等差中项：若三个数a,A,方组成等差数列，则A叫做a,6的等差中项.

3、通项公式与前“项和公式

（1）通项公式：%=%.

（2）前〃项和公式：5,="%+%]"=幽".

（3）等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差』片0时，等差数列的通项公式为=4+5T）d=d"+%-d是关于〃的一次函数,

且一次项系数为公差小若公差d>0,则为递增数列，若公差d<0,则为递减数列.

②前“项和：当公差d*o时，s“=,/+如六4=5"+（%-3）〃是关于"的二次函数且常数项为0.

知识点2等差数列的性质

已知数列｛/｝是等差数列，S”是其前〃项和.

1、等差数列通项公式的性质：

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,meN*).

(2)若左+/=加+〃(左，/，九,贝!)以+q=。机+々〃.

(3)若｛4｝的公差为d,贝乂的“｝也是等差数列，公差为2d.

(4)若也｝是等差数列，贝U｛p。"+弛｝也是等差数列.

2、等差数列前"项和的性质

(1)S2n=n｛ax+a2ll)==〃(4+。用)；

⑵邑二=(2〃-l)a“;

⑶两个等差数列｛%,｝,也｝的前n项和S“，，之间的关系为2=子.

-^2n-l"n

(4)数列鼠，与〃「S“，S3,〃-S2”，…构成等差数列・

(5)若项数为2〃，贝!JS偶一5奇=几。，于二里1-;

3偶an+l

Sqn

(6)若项数为2〃—1,则S偶=("1)。“，S奇=〃凡，S奇—S偶=%,-^-=—-

S偶n-1

・题型特训・精准提分_____________

【题型1等差数列的基本量求解】

1、等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量ai,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体

现了方程思想.

2、数列的通项公式和前”项和公式在解题中起到变量代换的作用，而外和d是等差数列的两个基本量，用

它们表示已知量和未知量是常用方法.

1.(24-25高三上•四川绵阳•模拟预测)等差数列｛g｝的前〃项和为S“，且%-%=9,$8-55=66,则%=

()

A.8B.9C.10D.11

2.(24-25高三下•福建龙岩・月考)设S〃是等差数列｛4｝的前〃项和，若邑=15耳-55=18,则S&=()

A.132B.88C.44D.33

3.(24-25高三上・甘肃武威•期末)已知S〃为等差数列｛4｝的前〃项和，若$4=12,S8=40,则耳。=(

A.56B.60C.64D.68

4.（24-25高三下•山东泰安・月考）公差不为零的等差数列｛0｝的前〃项和为S〃，且&5=5（4+/+%）,则后=

（）

A.8B.10C.12D.13

5.（24-25高三上•上海浦东新•期中）已知S〃为等差数列｛%｝的前几项和，若2%+3%=20,则九二（）

A.39B.52C.65D.78

【题型2等差数列的性质及应用】

1、在等差数列｛斯｝中，当相初时，d=号球为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为

am=an~\~（m—n）d.

2、等差数列｛斯｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.

3、等差数列｛斯｝中，若加+〃=p+q,则以+。加=%+他（〃，m,p,q£N*）,

特别地，若加+〃=2〃，则斯+〃加=2他.

1.（24-25高三下•安徽合肥・月考）S”为等差数列｛%｝的前〃项和，已知。5+4+%=15,则%为（）

A.25B.30C.35D.55

2.（24-25高三下•广东•模拟预测）在等差数列也,｝中，若生+%+。9=27,则2ag-%的值为（）

A.18B.15C.12D.9

3.（24-25高三下•福建厦门•模拟预测）记等差数列｛%｝的前力项和为S.,公差为d,若阳+%>0,几<。，

则（）

A.邑。<。B.4+%7<。C.%]>0D.]©（-9,—8）

4.（24-25高三上•海南・月考）（多选）设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,公差为d,若为+%>0,ag<0,

则下列结论正确的是（）

A.d<QB.当〃=8时，S,取得最大值

C.a2+a5+al2>0D.使得S“>0成立的最大自然数〃是15

5.（24-25高三下・四川成都•二模汨知正项等差数列｛帽满足*「|^=舟（心d），则等=（）

A.4050B.2025C.4048D.2024

【题型3等差数列的前n项和性质及应用】

1、等差数列的依次上项之和，Sk，S2k-Sk,珀上一Sk，…组成公差为Md的等差数歹！J.

2、数列｛斯｝是等差数列=S,=a/+加（a,6为常数）=数列为等差数列.

3、若S奇表示奇数项的和，S倜表示偶数项的和，公差为d,

①当项数为偶数2〃时，SK-S^=nd,^=—；

3偶4"十1

②当项数为奇数2w—1时，S奇一S倜=a“，

J偶n—1

1.（24-25高三下•山西•一模）设S,是等差数列｛q｝的前“项和，若邑=28,儿=88,则｛%｝的公差d=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三下•吉林长春•二模）已知等差数列｛%｝的前"项和为S,，若S?=S9=6,则无的值为（）

A.0B.3C.6D.12

3.（24-25高三上•河北•期中）若两个等差数列｛%｝,｛〃｝的前“项和分别为满足'=%J（"eN*）,

%

则

一-

打

57

一

15一

17一

A.9-B.D.

122326

4.（24-25高三上•安徽六安•月考）（多选）已知等差数列｛%｝的首项为6,公差为d,前〃项和为工，若

几<S8<S9,则下列说法正确的是（）

A.当“=9时，S,最大B.使得S“<0成立的最小自然数”=18

C.侬+⑷>ko+On|D.数列:^中最小项为“

5.（24-25高三上•山西吕梁・月考）（多选）记S“为等差数列｛%｝的前w项和，则（）

A.S6=3（S4—52）B.若｛%｝的公差不为0,S］5=5（%+/+%），贝！］%=10

c.s2n,S4n-S2n,$6“-S.成等差数列D.［今4是等差数列

【题型4等差数列的单调性及最值】

1、二次函数法：将5“=〃的+的严d=$2+（s—配方.转化为求二次函数的最值问题，但要注意“

GN*,结合二次函数图象的对称性来确定〃的值，更加直观.

［。仑0,f〃及0,

2、邻项变号法：当的>0,d<0,八时，S〃取得最大值；当QI<0,d>0,八时，S〃取得最小值.

〔斯+1S0〔斯+仑0

特别地，若〃1>0,d>0,则51是｛S〃｝的最小值；若〃1<0,dvo,则S1是｛*｝的最大值.

1.（24-25高三上•广西贵港•月考）已知等差数列｛4｝的前〃项和是5,,为>。39<。，则数列｛叫中最小的项

为第一项.

2.（24-25高三上•上海•期中）已知无穷等差数列｛4｝的各项均为正整数，且的=2024,则％的最小值是.

3.（24-25高三上•黑龙江齐齐哈尔•期中）设等差数列｛风｝的前〃项和为S“，且％+为=-22,Sn=-110,

则S“取最小值时，〃的值为（）

A.15或16B.13或14C.16或17D.14或15

4.（24-25高三上•云南昆明•月考）（多选）数列｛%｝的前a项和为S“，已知S”=加？一力?纸eR）,则下列结

论正确的是（）

A.｛0｝为等差数列B.｛4,｝不可能为常数列

C.若｛。“｝为递增数列，贝必>0D.若电｝为递增数列，贝心>1

5.（24-25高三上•浙江杭州•期末）已知S”是等差数列｛4｝的前力项和，且为>。，a6+a9<0,贝I］（）

A.数列｛%｝为递增数列B.6>0

C.S”的最大值为S7