导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立）【10大题型】原卷版-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

导数应用的经典题型突破

（单调性、不等式、零点、恒成立）110大题型】

【题型归纳】

＞题型一、利用导数研究函数的单调性问题

＞题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题

＞题型三、利用导数研究恒成立问题

＞题型四：利用导数研究能成立问题

＞题型五：利用导数研究零点问题

＞题型六：利用导数研究方程的根问题

＞题型七：利用导数研究函数性质和图像问题

＞题型八：利用导数研究双变量问题

＞题型九：利用导数研究实际问题

＞题型十、利用导数研究不等式问题

【题型探究】

题型一、利用导数研究函数的单调性问题

1.（23-24高二下•辽宁・期末）若对任意的国,X2C（e,+。），且再＜%,都有他红血也＜机，则加的最小值是

•^2

（）

A.yjeB.eC.0D.1

2.（2024高三•全国•专题练习）己知函数/（x）=（x-2）ei-ax2+2ax.

⑴当a=e时，求/（x）的单调性；

⑵若函数/（无）在x=l处取得极小值，求实数。的取值范围.

1

3.(23-24高二下•山东临沂•期中)已知函数-e"g(x)=ln(x+l)--^+l

⑴当a=0时，讨论;'(x)的单调性；

⑵若任意不，x2e[0,+oo),都有“xJ+lWgG)恒成立，求实数。的取值范围.

题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题

4.(23-24高二下•安徽芜湖・期中)若函数/(x)=；x3-ax-g在(-8,0)内只有一个零点，则/(无)的零点之和为

5.(23-24高二下•吉林•期中)已知函数/(无)=e，-皿

⑴讨论函数/(x)的单调区间并求出极值；

⑵若/(x)2x”n尤-r+gv+e，在g,+◎上恒成立，求实数。的取值范围.

2

6.(2024•江苏,二模)已知函数/(无)=^——-+aInx{aeR).

x

⑴当a=0时,证明：/(x)>l；

(2)若〃x)在区间(1,+s)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.

题型三、利用导数研究恒成立问题

7.(23-24高二下•江苏南通・期末)已知函数〃幻=^+7一，若V%,xeR,x^x,都有“网)一〃w)>一2,

22

再-x2

则实数加的最大值为()

A.V3B.V6C.273D.276

8.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/(x)=a(e=l),对任意xe(0,+s),总有〃x)N2x成立，则实数。的取值

范围为()

A.aN—B.0<a«2

2

C.QN2D.0<aW一

2

9.(23-24高二下•天津•期末)已知函数/■(无)=山工-："2一2z存在单调递减区间，则实数。的取值范围是()

A.y)B.

C.D.(l,+°o)

题型四：利用导数研究能成立问题

10.(23-24高三上•云南昆明)函数/(x)=(3x2-6x+a+3)e，，若存在x°eR,使得对任意xeR,都有

/(X”/(%),则a的取值范围是()

3

A.«>0B.Q40C.Q>3D.a<3

IL（22-23高二下•江苏镇江•阶段练习）若存在xe-,e,使得不等式2xlnx+,一y+320成立，则实数优的最

e

大值为（）

13

A.-+3e-2B.e+-+2C.4D.e2-l

ee

2m—1_

12.（24-25高二上•重庆渝中•期末）已知函数/（%）=/----7的图象与x轴有两个不同的交点，则实数机的取值

x+1

范围是（）

题型五：利用导数研究零点问题

13.（24-25高二上•江苏南京•期末）已知函数/（a=^+3/+根在R上有三个零点，则加的取值范围是（）

C.（0,4）K）

A.（-4,0）B.（-20,0）

函数》=尤3一"+!存在3个零点，则。的取值范围为（）

14.（23-24高二下•四川凉山•期中）

3「3、

C.（-,+℃）D.[-,+℃）

15.（23-24高二下•山东东营•期末）已知函数/（x）=（/-3以，若方程f（x）=a有三个实数解，则实数。的取值范

围为（）

A.^0,—B.（―2e,0）C.^-2e,—'jD.,6e3^j

题型六：利用导数研究方程的根问题

16.（23-24高二下•重庆・期末）若方程x2+3x+l=Ae，恰有三个不相等的实根，则上的取值范围是（）

17.（2024•四川攀枝花•二模）若关于x的方程/=e，（e，-ax）存在三个不等的实数根，则实数。的取值范围是（

18.（23-24高二下.甘肃兰州.期中）若不等式2xe「a（x-l）<0（其中。<1）的解集中恰有一个整数，则实数。的

取值范围是（）

343

A.—r«Q<—z-B.—TVQ<1

2e3e2e

4

14,1

C.—<Q<1D.--WQ<—

e3e2e

题型七：利用导数研究函数性质和图像问题

19.（23-24高二上•广东深圳•期末）过点（1M）可以做三条直线与曲线》=疣、相切，则实数〃的取值范围是（）

5

A.B.C.D.-1,o

-9~e2'e

20.（22-23高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中）已知函数〃x）=a，若不等式〃x）<0有且仅有1个整数解,

则实数。的取值范围为（）

In2In3ln31In2In2In3In2

A.B.C.D.

418IP丁

21.（22-23高三上•山东烟台•期中）若对任意正实数》,y者B有Qy-q（lnx-In〉）-

-^0,则实数机的取值范围为

m

(

A.(0,1]B.(0,e]

C.(—8,0)[1,+CO)D.(-oo,0)o[e,+oo)

题型八：利用导数研究双变量问题

22.（20-21高二下•重庆九龙坡•期中）已知函数/（x）=Q-lnx,g（x）=x2e"若对任意的王£[l,e],都存在唯一的

x2e[-l,l],使得/（再）=8（々）成立，则实数〃的取值范围是（）

1,l+el+1,e

A.[l,e]B.C.D.l+-,e+l

In,

23.（20-21高三上,安徽•阶段练习）已知函数/（x）=x/,g（x）=xlnx,右/（可）=g®）=:，t>0,则---的最大值

XlX2

为（）

1412

A.—zB-7C.一D.-

eee

24.（23-24高二下•山东荷泽・期中）若函数〃x）=e，-alnx+l在区间（1,2）上不单调，则实数。的取值范围为（）

2

A.e,e2B.C.(-oo,e)U(e,+oo)D.,e2

5

题型九：利用导数研究实际问题

25.（23-24高二下•北京通州,期中）如图1所示，现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各

截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积后？是容器底面边

长xm的函数.

⑴写出函数的解析式并注明定义域;

⑵求这个容器容积的最大值.

26.（23-24高二下•北京西城•期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池

的底面是正方形，且水池最大储水量为6mM已知水池底面的造价为600元/n?,侧面的造价为400元/n?.（注：衔

接处材料损耗忽略不计）

（1）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；

（2）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？

6

27.(23-24高二下•四川南充・期中)请你设计一个包装盒.如图1所示，/BCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切

去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得/、B、C、。四个点重合于图2中的点P,

正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E、尸在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设

AE=BF=x（单位：cm）.

图1图2

⑴某厂商要求包装盒的容积片(x)(单位：cm)最大，试问无应取何值?

(2)设g(x)=Inx—X⑴+6广_me，,(其中叫”是忆⑴的导数)，己知g(x)在(0,2］上单调递增，求实数加的取

60yj2

值范围.

7

题型十、利用导数研究不等式问题

28.（23-24高二下•福建福州•期末）已知函数/（x）=e2工-"-1,

（1）讨论的单调区间；

⑵若/'（X）在区间（0,+8）上存在唯一零点七,证明：x0<a-2.

29.（22-23高二下•广东阳江•期中）己知函数/（x）=lnx+g7nx2-x+2,其中〃2V2.

（1）若冽=一2,求/（X）的极值；

⑵证明：r（x）<—.

8

30.（23-24高二下•辽宁・期中）已知函数/（x）=ox-l-lnx（aeR）.

⑴若。=2,求/（尤）在1,e上的最大值和最小值；

（2）若。=1,当x>l时，证明：xhu>/（x）恒成立；

⑶若函数/（无）在x=l处的切线与直线/：x=l垂直，且对Vxe（O,+s）,/（x"bx-2恒成立，求实数6的取值范

围.

【专题强化】

一、单选题

31.（23-24高二下•北京大兴•期中）已知函数/（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数。的取值范围是（）

A.B.g,+4

C.（0.1）。.陷

32.（23-24高二下•云南昆明•期末）已知函数y=x2-cosx-a在（-%，万）上有且仅有一个零点，则实数。的值为

（）

A.1B.-1C.2D.-2

33.（2024•四川成都•模拟预测）已知函数/（x）=x3-x+l,则（）

A./（无）有三个极值点B./（》）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心D,直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

34.（23-24高二下•福建三明•期末）已知函数/（a=€2，+（"19-》有两个零点，则实数。的取值范围是（）

A.(-℃,0)B.(-8,2)C.(-oo,l)D.

9

阿x>0

35.（23-24高二下•北京通州・期末）已知函数y（x）=,X'；若方程〃x）=a恰有三个根，则实数a的取值

x2+2x,x<0

范围是（）

A.(0,-)B.[0,—]C.(-1,—)D.(O,-)U{-1}

eeee

〃X）=牛，g（x）=[/（x）]2-的3-1,若g（x）在其定义域上有且仅有两个

36.（23-24高二下•江苏苏州•期末）

零点，则加的取值范围是（）

122ee2

A.1+—,+00B.

e2'2e

2e

C.-00,----------D.

e2

二、多选题

37.（23-24高二下•江苏常州•期中）已知下列说法正确的是（）

A.f（x）在x=l处的切线方程为ey-l=OB.单调递减区间为（1,+。）

c./（X）的极小值为:D.方程2024/（x）=l有两个不同的解

y_Qr>0

38.（23-24高二下•吉林•期中）已知函数/（"=<*'1，若/（x）的零点为口，极值点为夕，则（）

JCQ,X<U

A.a=0B.a-°=3

c./（X）的极小值为一e-D.〃X）最小值为-e-

39.（23-24高二下•四川凉山•期中）已知函数/（x）=；x3-ax2+x（aeR）,则下列说法正确的有（）

A.若〃尤）是R上的增函数,则

B.当。>1时，函数〃无）有两个极值

C.当时，函数/（x）有两零点

D.当。=1时，/（》）在点（0,7（0））处的切线与只有唯一个公共点

40.（23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中）己知函数〃x）=x"M-lnx（eeR）,则（）

A.若tz=0,则函数/（X）的最小值为1

B.若a=0,贝|/（2023）</（2024）

10

C.若a=l,则方程〃