分式与分式方程 重难点题型分类（解析版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题12分式与分式方程重难点题型分类-高分必刷题（解析版）

专题简介：本份资料包含《分式与分式方程》这一章在各次月考、期末中除应用题和压轴题之外的全部主

流题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含十一类题型：分式的定义、分式有

意义、分式值为0、分式的性质、整体代入法求分式值、最简分式、分式的先化简后求值、整数指数幕计

算、解分式方程、含参分式方程中参数的取值范围、分式方程的增根与无解问题。本专题资料适合于培训

机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型一分式的定义

11x-L12丫+2

1.（2022•永州）在上，：，W，三，士中分式的个数有（）

x32x+1x

A.2个B.3个C.4个D.5个

【详解】解：工，二7,虫的分母中含有字母，都是分式，共有3个.

Xx+1X

故选：B.

2.（2022•岳阳）下列代数式①上，②审，③巴，④」一中，分式有（）

x2兀m-n

A.1个B.2个C.3个D.4个

【详解】解:①和④分母中含有字母，是分式；②③分母中不含有字母，不是分式，

故选：B.

3.（2022•永州）有如下式子①?；②③；④/“，其中是分式的有（）

3x+1“'7i2（x+y）

A.①③B.②③C.③④D.②④

【详解】解：①U，是整式，不是分式，不符合题意；②3,是分式，符合题意；

③直E,是整式，不符合题意；④产审，是分式，符合题意.所以②④是分式

71（x+y）

故选：D.

题型二分式有意义（分母不为0）

X—2

4.（2021・衡阳）要使分式J有意义，则工的取值范围是（）

x-1

A.x=lB.x=2C.xwlD.xw2

x—2

【详解】解：要使分式一有意义，必须解得：*1,故选：C.

x-l

3+x

5.（2019・长沙）分式下彳有意义，则元的取值范围是（）

\x\-l

A.x>lB.x<lC.-1<x<1D.xw±l

3+x

【详解】•「国_］有意义,「.|x|—lw。，解得：犬w±l,故选：D.

6.（2018・望城）如果代数式正有意义，那么尤的取值范围是

x-1

【详解】解：由题意得，XN0且X-1H0,解得了20且XW1,

故填：XN0且1wl.

7.（2022••衡阳）如果式子，乏有意义，那么x的取值范围是_____.

x+2

【详解】解：根据题意得：q-xN；解得XVL目”/_2,故答案为：XVI且XW.2.

I乙"T"人U

题型三分式值为0（分子=0且分母W0）

8.（2022•洪江）若分式毕二|的值为零，则元的值是（）

2%+6

A.3B.-3C.±3D.4

【详解】解：...分式的值为零，.•・卜|-3=0,且2X+6H0,解得X=3.故选：A.

2%+611

9.（博才）如果分式正二9的值为0,那么x的值为（）

x—2

A.x=2B.兀=0

C.%=0或尤=2D.以上答案都不对

【解答】解：由题意，知x（x-2）=0且X-2W0.解得％=0.

故选：B.

尤2—4

10.（2022・长沙）若分式----的值为0,则冗=_______.

x+2

【详解】由题意得％2一4=0,x+2w0,x=±2,xw—2,:.x=2,即当x=2时，分式的值是0.

故答案为：2.

11.（青竹湖）若分式的值为0,贝心的值为。

x+3

【解答】解：..•分式上2的值是0,.•.尤2-9=0且尤+3六0,解得：x=3.

x+3

题型四分式的性质

12.（2021•株洲）下列分式的变形正确的是（）

11x2+y2

A.--------=----------B.---------=x+y

-a-ba-bx+y

2a+1aa2-1

C.=-D.-------=a—\

2b+1b。+1

【详解】解：A、—^—=--二，故此选项不符合题意；

-a-ba+b

22

x+v

B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；

x+y

C、汕是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；

26+1

D、匚1=（。+1）（”1）一一1,正确，故此选项符合题意；

Q+1Q+1

故选：D.

13.（2021・湖南）根据分式的基本性质，分式二Z可变形为（）

a-b

一Claaa

ArUr\.

-a-ba+bb-aa+b

一（一。）a

【详解】~-7、-，故选：C.

a-b一(za-b)b-a

X—y

14.（2020・邵阳）如果把分式一^中的x和＞都扩大了3倍，那么分式的值（）

孙

A.扩大3倍B.不变C.缩小3倍D.缩小6倍

【详解】答答=铝=；3,故分式的值缩小3倍.故选C.

3x-3y3xy3xy

题型五整体代入法求分式值

2

15.(长郡郡维)若x+x-=3,则/+x-=.

【解答】解：x2+x-2=x2+^=(x+-)2-2=32-2=7.

XX

2mn

16.（青竹湖）已知根+〃=4沏，则

m-mn+n

2mn_2mn_2mn_2

【解答】解：Vm+n=^mn,

m—mn+n4mn—mn3mn3

17.（长郡芙蓉）己知上」=2则分式3x+2xy-3y的值等于

xyx-2xy-y

【解答】解：上=2,.•.x-y=-2xy,.♦.原式=+2xy=16xy+2xy=*

xy(x-y)-2xy-2xy-2xy-4xy

=1.故答案为：1.

18.(中雅)已知a+b=2,ab=-3,求:

12

⑴(j)20b+ab

【解答】解：(1)Va+b—2,ab—-3,a2+b2=(〃+。)2-2〃/?=4+6=10,(a-b)2=〃2一2ab+b2

10+6=16；

⑵a'b+ab』=ab(a+b)=-6=_3

2,,22.,2元

a+ba+b1U0

Y1Y*2*

19.(一中)阅读下面的解题过程：已知：--=—,求工一的值.

x2+l3x4+l

X1x-1-11

解：由二土，知XWO,所以-----=3,即x+±=3.

x+13xx

,X4+l1(1丫c52crQ+11

所CC1以>——=x2+-T=X+-—2=32—2=7,故一T—=-.

x2x2Ix)x47

该题的解法叫做“倒数法”，请类似利用,到数法”解决下面的题目:

L求V2

⑴已知一I的值.

7

4zx4xyz，士

⑵已知上=2,上----=—，求-----------的值.

x+yy+z3z+x3xy+yz+zx

=1,得到尤江且

【解答】解：（1）由丁^―=x+--1=7,即X+A=8,

X-x+17XX

则原式=——\一]11

21,2-1

x-^y+i64-163

Xx

x+y1.1-1y+z_1,1_3z+xA+A=A,可得-L+-1+J1

（2）根据题意得:------------t--—,--------------------十——,----------1,

xyxy2yzyz4zxxz4

1

则原式=1.

111

—+—+—

xyz

题型六最简分式

20.（2022•衡阳）下列分式中，属于最简分式的是（）

x

【详解】解：A，4=-1-故不符合题意；6=3故不符合题意；

xx2aa

C.F三是最简分式，故符合题意；D.Le=±D=-i,故不符合题意；故选：C.

尤‘+1x-1x-1

21.（2022•湘潭）下列分式为最简分式的是（）

A.=B.*C.I5x

D.-；----------

x+2lab九一yx2-3x

【详解】A.尤一2）5+2）=X一2,不是最简分式，故不符合题意；

x+2x+2

B.不能再化简，是最简分式，符合题意；

2ab

c.二一一不是最简分式，故不符合题意；

x-yx-y

SY5Y5

D.一丁=7不；=—不是最简分式，故不符合题意；

x—3xx（x—3）x—3

故选：B.

22.（2018•怀化）下列式子中，是最简分式的是（）

A。gaQA+^口2。

a~+b~cr+ua~-b~cibe

【详解】A、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式；

B、分子、分母含有公因式a,能够约分，不是最简分式；

C、分子、分母含有公因式a+b,能够约分，不是最简分式；

D、分子、分母含有公因式a,能够约分，不是最简分式；

故选：A.

题型七分式的先化简后求值（不能把让原方程分母为0的值代进去！）

23.（2022•湖南永州）先化简再求值：若7^二！+|3-6|=0,求二的值.

11a-ba2+2ab+b2a2-b1

【详解】解：原式=三•b）•（。-颂。+»=2a—26；

a—b（Q+。）

'/+|3-Z?|=0,。-2=0,3-/?=0,/.a=2,b=3

原式=2。-2。=4-6=-2.

24.（2。22•湖南湘西）先化简,再求值：（△-£）「二,其中『3.

3aa、2a3a1+6aa?—2tzt/2—43a2+6a—"+2atz2—43/+6〃—a?+2a

【详解】解:---------)+—；---=(-------=--------------------------------

22

a—2a+2a—4Q?—4a—42aa—42a2Q

=笞"+4,当0=3时，原式=3+4=7.

‘九24、尤之+4r+4

25.（2022•永州）先化简，再求值：一^+一卜--------，其中x是-2,0,1,2这四个数中合适的数.

（尤一22-x）x

，九2+4].尤2+4%+4_(%24x2+4%+4x2-4,x2+4x+4x

【详解】解:=(x+2>

22—xJx1%—2x—2xx-2x(%+2)2

Yj1

=分母不能为0'.…12且"O''尤"将E代入,原式=壬=§

「•原式二X，当X=1时，原式=!•

X+23

26.（2022•湖南永州）先化简，再求值：fl—-+七金，其中14x43的正整数选一个合适的x的值代

Ix-1）x+2

入求值.

(x—11)x+2x-2x+2i

原式尸))____x___________________________i

【详解】解:/F-T(x+2(x-2-

X-1(x+2)(x-2)x-i

因为的正整数，满足条件的x=3,代入，原式=；.

27.（2。22・涟源）先化简,再求值：［^+［£+1］，然后从T，1，2中选一个合适的代入求值.

x-1l-x+x2-lx+l

【详解】解:原式=,0J[4+(2)(1)

+|_x+lx+17+1"7+]x+1x(x-l)

x^±l,x=21当％=2时，

原式=；.

28.（一中）先化简—--a+1然后将—1、0、->K2中，所有你认为合适的数作为Q的值,

+1Jci—12

代入求值.

2

,a22a1-]、二a=a2-2aT+1.a

【解答】解：（1）（二一-a+l）+T—

2

a+1a-l、a+la+1a1软+1a1

=_1-Ja+1)(a-1,)=2ll,1/-iwo,aWO,；.aW±l,0,当a=2时，原式

a+1aa22

当°=』时，原式=±~j-=-1.

2A

2

然后在不等式x<2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.

【解答】解：原式=4.^―二一一=，・（x+l）（x-l）=心

X-1X-1（x+1）（x-1）X-1XX

・."W±1且xWO,・,•在不等式的非负整数解中取x=2,

则原式=21L=S.

22

题型八整数指数塞计算

30.(2022・永州)计算-产侬4万-杼。+百+(-2y+(-；尸.

【详解】解：原式=一1一：1+3+4—3=3+4—1-1—3=2.

31.(2022・衡阳)计算：(2022-3.14)°+3?-gx

【详解】解：原式=1+9-白16=1+9-8=2.

32.(2022•长沙)计算：(-1)2021+(万-3.14)°-4『-1一石|

【详解】解：(-1)2021+(7T-3.14)°-(1)1-11-73|=-1+1-3-+1=-2-73.

题型九解分式方程

33.(2022•长沙)解方程：上=+3=F.

x—22—x

Yx—4

【详解】解：--+3=--,方程两边都乘％-2,得x+3(x-2)=-(九-4),解得：％=2,

x—22—x

检验：当x=2时，x-2=0,所以x=2是增根，即原分式方程无解.

14x2

34.(2。】&邵阳)解方程：一+4r一乩

【详解】解：方程两边同乘(x+2)(x-2)得：x-2+4x—2(x+2)=尤2-4,整理，得d—3x+2=0,

解这个方程得玉=1,X2=2,经检验，％=2是增根，舍去，所以，原方程的根是x=l.

X3

35.⑵22•永州)解分式方程：--1^.

x3113

【详解】解：二pl=「即力…(x+l)(x-l)去分母得：x(^+l)-(x+l)(x-l)=3.

\x2+x-x2+1=3,解得：x=2,

检验：把尤=2代入(x+D(x—l)中得(x+l)(x—l)wO,所以x=2是原方程的根.

36.(2018•澧县)解分式方程:

X—2312x+2x+2炉—2

(1)---------------=1；(2)-----------------=-------.

x+3x-3xx-2x-2x

【详解】解：(1)方程两边同乘(x+3乂x—3),得(x—2)(x—3)—3(x+3)=(x+3Xx—3),整理得-8x=-6,解

33

得乂=^.经检验，x=a是原方程的根.

2(x+l)x+2x2-2

(2)原方程可化为方程两边同时乘x(x—2),得2(x+l)(x—2)—x(x+2)=x2—2,

?

Xx-2x(x-2)

整理得一4x=2,解得x=一5.经检验，x=一5是原方程的解.

题型十含参分式方程中参数的取值范围

37（2018•武冈）已知关于X的方式方程双；=:的解是非负数，那么。的取值范围是（）

x-33

A.a>lB.“21且〃工3C.“21且。。9D.a<l

【详解】解：3（3x-a）=x-3,9x-3a=x-3,8x=3a-3,

%匚.由于该分式方程有解，令后即匚代入X-3工0,.,.a#9.

88

■「该方程的解是非负数解，

3a-3

-----20,•.•应1,的范围为：应1且4H9.故选：C.

8

38.（中雅）已知关于x的分式方程上——二=-1的解是非负数，则机的取值范围是（）

X—1\—X

A.加W-2B.m22C.加22且小W3D.小W-2且用W-3

【解答】解：分式方程去分母得：根+3=1-羽解得：x=-m-2,

由方程的解为非负数，得到-m-220,且-加-2W1,解得：

故选：D.

39.（雅礼）若分式方程，—一1=上的解是负数，则。的取值范围是.

x+2x+2

【解答】解：去分母得：a-x-2=x,解得：一土2,二•分式方程-1=_A_的解是负数,

2x+2x+2

.\a-2<0,解得：a<2,当％=@2=-2时，a=-2,此时分式方程无解，

2

故a<2且aW-2.

40.（一中）若关于x的方程*-1=—k的解为非负数，则左的取值范围是.

x+1x-1

【解答】解：方程主"-1=4_,（x+Z）（X-1）-（x+1）（X-1）=k（x+1）

x+1X-1

j?~x+kx~k~x^+1=kx+k,x=~2k+1,*.*x^0且xW1,-2Z+120且一2Z+1W1

解得左wl且k^Q.

2

故答案为kW上且k^O.

2

题型十一分式方程的增根与无解问题

41.(2022•邵阳)若关于尤的分式方程=-一==有增根，那么，〃的值是

【详解】解：二-一j=锣7，(x+l)(x-2)—2(x+2)=2m,

x+2x—2,x—4

x2-2x-^-x-2-2x-4=2m,x2-3x+6=2m，0-0分式方程有增根，

/.(x+2)(%-2)=0,x=2或x=-