湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷命题学校：红安一中命题教师：汪胜桥审题学校：罗田一中审题教师：张晖考试时间：年4月日下午：试卷满分：分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知函数在处的导数为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由导数的定义即可求解.【详解】，故选：D.2.设等差数列的前项和为，若，，则（）A.12B.18C.24D.25【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解.【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得.故选：B.3.下列求导运算正确的是（）A.B.第1页/共16页C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.4.当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可.【详解】当，即时，方程表示的曲线为圆；当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆；当，即时，方程表示的曲线为双曲线；方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线.故选：D.5.为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（）A.48B.36C.18D.12【答案】C【解析】【分析】平均分成三组，再全排列即可求解.第2页/共16页【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有，再分配到3个林场，共种方法，故选：C.6.若在上恒成立，则实数的最小值为（）A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】分参得到，进而求得的最大值，即可求解.【详解】由得，所以在上恒成立，构造，求得可得：，由可得：，由，可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在处取得最大值为，所以，故的最小值为，故选：D.7.已知函数的导函数为偶函数，函数为偶函数，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性与对称性可判断函数周期，进而可得解.第3页/共16页【详解】由函数为偶函数知图象关于直线对称，由为偶函数知为常数）为奇函数，由得，即为奇函数，则图象关于点中心对称，所以是函数的一个周期，又，，，，所以.故选：A.8.已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（）A.35B.56C.84D.120【答案】B【解析】【分析】令，得到，结合条件即可求解.【详解】由得，，令，.则原问题等价于方程的正整数解的个数，由题意知符合条件的个数为，故选：B36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目距求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】第4页/共16页【分析】根据等比数列的定义，逐项判断即可.【详解】设等比数列，的公比分别为，，则对于A，当时，不合题意；对于B，，数列一定是等比数列；对于C，，数列一定是等比数列；对于D，取，则，不合题意.故选择：BC.10.已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（）A.B.C.当与，不重合时，D.设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是【答案】ACD【解析】【分析】由题意确定椭圆方程，结合椭圆的性质及向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】由题意知：，由，可得，所以椭圆的方程为，所以，A正确；，B错误；设，，，则，C正确；设，则，第5页/共16页由，可得：，解得：，则，所以，即，D正确.故选：ACD.已知函数，，，则下列说法正确的有（）A.函数可能无零点B.若，则函数可能存在最值C.若函数存在两个极值点，则且D.若是函数的极大值点，则【答案】ACD【解析】【分析】求导，根据导数分情况讨论函数的单调性与极值情况，进而判断各选项.【详解】函数的定义域为，.当时，上无零点，A选项正确；当时，在上恒成立，所以在单调递增，函数无最值，B选项错误；若函数存在两个极值点，则在上存在两个变号零点，令，则需，，，整理得且，C选项正确；若是函数的极大值点，则由可得，第6页/共16页所以，所以，所以，D选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.二项式展开式中的系数为______.【答案】【解析】【分析】应用二项式的通项公式计算求解即可.【详解】通项公式，令得，，所以展开式中的系数为故答案为：13.若数列满足，，的前项和为取最大值时，_____.【答案】5或6【解析】、的函数特性可得或的正负性也可行.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为d因，，则公差，法一：所以，因函数的对称轴为，所以当取最大值时，或6法二：，则时，；时，；时，第7页/共16页所以当取最大值时，或6.故答案为：5或614.设为原点，双曲线的方程是（，.直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____.【答案】①.②.14【解析】【分析】利用点差法，可求直线斜率，在中，利用勾股定理可求的值.【详解】如图：设点，，渐近线方程为，则，，相减得，，所以.设与轴交于，，，则，，，在直角中，，，，所以，解得，实轴长为14.第8页/共16页故答案为：；14四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上.（1）求双曲线的标准方程.（2）若，证明数列是等差数列.（3）在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程；（2）根据等差数列定义证明即可；（3）应用裂项相消法求和即可.【小问1详解】由题意可设双曲线的标准方程为（，则，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】因为点（）在曲线上，所以所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可知，由于，所以第9页/共16页所以所以16.（1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？（22025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了233件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？（3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数.【答案】（1）2162）28803）28【解析】1）由分步乘法计数原理即可求解；（2）先将家公司的产品捆绑，再与公司的3件产品全排列，最后由插空法即可求解；（3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可.1）3个家庭依次选择，均有6种方法，根据分步计数原理，所有不同的方法数为.（2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列，最后让公司产品插空.所以符合条件的排法数为.（3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为，若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为，所以所有可能的出场顺序数为.17.已知函数，.第10页/共16页（1）讨论的单调性.（2）证明：当时，.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】1）求导，分，讨论导数符号，即可求解；（2）由（1）构造函数，求导，确定最值即可求解.【小问1详解】函数的定义域为，当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，由得，由得所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，由（1）知要证，只需证，即证令即证，因为，再令.第11页/共16页因为，由，可得，，可得所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以，所以当时，.18.已知平面上动点的坐标满足，，.（1）求点的轨迹方程.（2）设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，.（ⅰ）证明：直线过定点.（ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值.【答案】（1）（2【解析】1）方程联立，消去即可求解；（2，，角形面积公式得到进而可求解【小问1详解】因为，，所以，，第12页/共16页由得，，所以，即点的轨迹方程为（）【小问2详解】（ⅰ）设，，，，所以曲线在点处的切线方程为，整理得，同理曲线在点处的切线方程为由于是两切线的交点，所以所以直线的方程为，整理得，令得所以直线过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，当点在轴下方时，.因为第13页/共16页因为，，所以令（则当且仅当，即，时等号成立.所以的最大值为.19.“”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三.数阵的第一行是（的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.请仔细观察数阵，解决下列问题：（1）求数阵中数字为奇数的项数.（2）设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求.（3）设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由.【答案】（1）；（2），；（3），理由见解析.【解析】第14页/共16页1）根据数阵特点，进行分类讨论，即可求解；（2）观察每一行的前两项的增量规律，猜测出