2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算练习含解析新人教A版必修5

PAGE1-第6课时三角形中的几何计算学问点一三角形的面积问题1．已知三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两条边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．答案40eq\r(3)解析设另两条边分别为8t，5t，t＞0，则142＝(8t)2＋(5t)2－2×8t×5t×cos60°，得49t2＝142，t＝2，故S＝eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3)．2．在△ABC中，a，b，c为它的三边，且三角形的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则角C等于________．答案eq\f(π,4)解析∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，∴sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴sinC＝cosC．∴∠C＝eq\f(π,4)．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝eq\f(4,5)，B＝60°，b＝eq\r(3)．(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解(1)∵角A，B，C为三角形内角，且B＝60°，cosA＝eq\f(4,5)．∴C＝120°－A，sinA＝eq\f(3,5)．∴sinC＝sin(120°－A)＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10)．(2)由(1)知，sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(3＋4\r(3),10)．又∵B＝60°，b＝eq\r(3)，∴由正弦定理，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(6,5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×eq\r(3)×eq\f(3＋4\r(3),10)＝eq\f(36＋9\r(3),50)．4．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3)．(1)若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4．又因为△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得a＝2，b＝2．(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA．当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3)．∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)·eq\r(a2－b2)·b＝eq\f(2\r(3),3)．当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理，知b＝2a，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3)．学问点二三角形中的几何计算5．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)＋1，AD＝eq\r(6)，∠ABC＝120°，∠DAB＝75°，则CD＝()A．eq\r(3)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．eq\r(2)＋1答案A解析如图，过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，则DE∥CF，∠CBF＝60°，DE＝ADsin∠DAB＝eq\r(6)×sin(45°＋30°)＝eq\r(6)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(3＋\r(3),2)，CF＝BCsin∠CBF＝(eq\r(3)＋1)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以四边形DEFC是矩形，CD＝EF＝AB－AE＋BF，因为AE＝ADcos∠DAB＝eq\r(6)×cos(45°＋30°)＝eq\r(6)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝eq\f(3－\r(3),2)，BF＝BCcos∠CBF＝(eq\r(3)＋1)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以CD＝1－eq\f(3－\r(3),2)＋eq\f(\r(3)＋1,2)＝eq\r(3)．故选A．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B－5cos(A＋C)＝2．(1)求角B的大小；(2)若cosA＝eq\f(1,7)，△ABC的面积为10eq\r(3)，求BC边上的中线长．解(1)由题易知2cos2B－1＋5cosB＝2，即2cos2B＋5cosB－3＝0，解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝－3(舍去)．又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3)．(2)∵cosA＝eq\f(1,7)，∴sinA＝eq\f(4\r(3),7)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝10eq\r(3)，∴bc＝35．①由正弦定理，得eq\f(b,sin\f(π,3))＝eq\f(c,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))))，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\f(5\r(3),14)，∴5b＝7c，②由①②知，b＝7，c＝5，∴由余弦定理，得a＝eq\r(52＋72－2×5×7×\f(1,7))＝8，∴BC边上的中线长为eq\r(52＋42－2×5×4×\f(1,2))＝eq\r(21)．7．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝eq\r(21)，b＝4，且BC边上的高h＝2eq\r(3)．(1)求角C；(2)求边a的长．解(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，则C＝60°．(2)由余弦定理，可知c2＝a2＋b2－2abcosC，则(eq\r(21))2＝42＋a2－2×4×a×eq\f(1,2)，即a2－4a－5＝0．所以a＝5或a＝－1(舍去)．因此所求角C＝60°，边a长为5．易错点一解三角形时忽视解的个数8．已知△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面积．易错分析三角形内角的正弦值都是正数，而这个内角可能是锐角，也可能是钝角，该题求出sinC后易丢掉C＝120°的状况漏解面积eq\r(3)．解由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(2\r(3)sin30°,2)＝eq\f(\r(3),2)．∵AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°．当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2eq\r(3)；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\r(3)．故△ABC的面积为2eq\r(3)或eq\r(3)．易错点二忽视角的隐含范围9．在△ABC中，B＝3A，求eq\f(b,a)的取值范围．易错分析解三角形时角的范围至关重要，该题中易由A，B为三角形内角得A∈(0°，60°)致错，所以审题时要细致挖掘隐含条件．解由正弦定理得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin3A,sinA)＝eq\f(sinA＋2A,sinA)＝eq\f(sinAcos2A＋cosAsin2A,sinA)＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1．∵A＋B＋C＝180°，B＝3A．∴A＋B＝4A＜180°，∴0°＜A＜45°．∴eq\f(\r(2),2)＜cosA＜1，∴1＜4cos2A－1＜3，∴1＜eq\f(b,a)＜3．

一、选择题1．已知圆的半径R＝4，a，b，c为该圆的一个内接三角形的三条边，若abc＝16eq\r(2)，则该三角形的面积为()A．2eq\r(2)B．8eq\r(2)C．eq\r(2)D．eq\f(\r(2),2)答案C解析S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(c,2R)＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(16\r(2),4×4)＝eq\r(2)．故选C．2．已知三角形的两边之差为2，夹角的余弦为eq\f(3,5)，面积为6，那么这个三角形的两边分别为()A．1和3B．2和4C．3和5D．4和6答案C解析设该三角形的某两边为b，c，夹角为A．依题意有c－b＝2，cosA＝eq\f(3,5)，则sinA＝eq\f(4,5)．又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝6，所以bc＝15．又c－b＝2，故c＝5，b＝3．故选C．3．平行四边形中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周长为18，则平行四边形面积是()A．16B．17．5C．18D．18．53答案A解析设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65．解得：a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)或a＝4，b＝5，cosα＝eq\f(3,5)，∴S▱ABCD＝absinα＝16．4．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c满意关系式()A．b＝acB．b2＝acC．a＝b＝cD．c＝ab答案B解析由Δ＝0，得4sin2B－4sinAsinC＝0．结合正弦定理得b2＝ac．故选B．5．如图，平面上有四个点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且AB＝eq\r(3)，P，Q为动点，且满意AP＝PQ＝QB＝1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S2＋T2的最大值为()A．eq\f(6,7)B．1C．eq\r(3)D．eq\f(7,8)答案D解析PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA＝PQ2＋BQ2－2PQ·BQcosQ，即3＋1－2eq\r(3)cosA＝1＋1－2cosQ，所以cosQ＝eq\r(3)cosA－1，所以S2＋T2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinQ))2＝eq\f(3,4)sin2A＋eq\f(1,4)sin2Q＝eq\f(3,4)(1－cos2A)＋eq\f(1,4)(1－cos2Q)＝－eq\f(3,2)cosA－eq\f(\r(3),6)2＋eq\f(7,8)，所以当cosA＝eq\f(\r(3),6)时，S2＋T2取得最大值eq\f(7,8)．故选D．二、填空题6．在△ABC中，已知a＝8，c＝18，S△ABC＝36eq\r(3)，则B等于________．答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析由S＝eq\f(1,2)acsinB得eq\f(1,2)×8×18×sinB＝36eq\r(3)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)．又∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)．7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．答案30解析∵a－b＝4，∴a>b．又∵a＋c＝2b，∴b＋4＋c＝2b．∴b＝4＋c，∴a>b>c．∴最大角为A，∴A＝120°．∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)．∴b2＋c2－a2＝－bc．∴b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b．∴b2－10b＝0，∴b＝10，a＝14，c＝6，∴三角形的周长为a＋b＋c＝30．8．在△ABC中，a2－b2＋bccosA－accosB＝________．答案0解析由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得bccosA＝eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)，同理accosB＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)．∴a2－b2＋bccosA－accosB＝a2－b2＋eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)－eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)＝a2－b2＋b2－a2＝0．三、解答题9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(3)(a－ccosB)＝bsinC．(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积S＝10eq\r(3)，a＋b＝13，求sinAsinB及cosAcosB的值．解(1)eq\r(3)(a－ccosB)＝bsinC⇒eq\r(3)[sin(B＋C)－sinCcosB]＝sinBsinC，∴eq\r(3)sinBcosC＝sinBsinC，又在△ABC中，sinB≠0，∴tanC＝eq\r(3)⇒C＝60°．(2)S＝10eq\r(3)＝eq\f(1,2)absin60°⇒ab＝40，由余弦定理得c2＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝49，∴c＝7，∴由正弦定理得sinAsinB＝eq\f(ab,c2)sin260°＝eq\f(30,49)，∴cosAcosB＝cos(A＋B)＋sinAsinB＝－cosC＋eq\f(30,49)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(30,49)＝eq\f(11,98)．