2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破04 双变量与多变量问题（七大题型）（原卷版）

重难点突破04双变量与多变量问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳总结 2题型一：双变量单调问题 2题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 3题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 5题型四：双变量不等式:中点型 6题型五：双变量不等式:剪刀模型 7题型六：双变量不等式:主元法 8题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换 1003过关测试 11

破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【典例1-2】已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【变式1-1】已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，如果对任意，，求证：.【变式1-2】（2024·安徽·三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式1-3】已知函数.(1)若函数在点处的切线与直线平行，求的方程；(2)判断命题“对任意恒成立”的真假，并说明理由；(3)若对任意都有恒成立，求实数m的取值范围.【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题【典例2-1】设函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设是函数的两个极值点，证明：．【变式2-1】已知函数，其中自然常数．(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；(2)若，满足，且，求的取值范围．【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，为函数的两个零点，求证：．【变式2-4】已知函数．若有两个零点，且，证明：．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题【典例3-1】已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最大值.【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数，(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，求的最小值.【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，，证明：.题型四：双变量不等式:中点型【典例4-1】已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)记函数的图象为曲线C.设点，是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点，使得:①;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.【典例4-2】已知函数，．(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．【变式4-1】已知函数．(1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．【变式4-2】（2024·广东·二模）已知.(1)求的单调区间；(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.题型五：双变量不等式:剪刀模型【典例5-1】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若方程有两个实数根，，且，证明：.【典例5-2】已知函数有两个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：；(3)求证：．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．题型六：双变量不等式:主元法【典例6-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.【典例6-2】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．【变式6-1】已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）【变式6-2】已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．【变式6-3】设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换【典例7-1】已知函数．(1)讨论函数的单调性;(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，（i）求实数的取值范围;（ii）求证:．【典例7-2】已知函数有三个极值点，，（）．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的最大值．【变式7-1】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若存在零点，求a的取值范围；(2)若，为的零点，且，证明：．1．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.2．（2024·四川·一模）已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若有2个零点，证明：．3．已知是函数的导函数．(1)求函数的单调区间；(2)设为函数的两个零点且，证明：．4．已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当，时，证明：.5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．(1)求实数的取值范围；(2)求证：．6．已知函数.(1)试判断函数的单调性；(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.7．（2024·福建龙岩·二模）已知函数，．(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；(2)若，且，证明：．8．（2024·新疆·三模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．9．已知函数.(1)当时，试比较与的大小；(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.10．已知函数（a为常数）．(1)若函数是增函数，求a的取值范围；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．11．设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.13．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.14．已知函数，其中为常数．曲线过点，曲线关于点中心对称．(1)求的值;(2)记．（i）讨论在区间上的单调性;（ii）若存在两个极值点，且，求的取值范围．15．已知函数．（