黑龙江省部分学校2025届高三第二次检测模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1黑龙江省部分学校2025届高三第二次检测模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，即得故在第二象限，故选：B3.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】展开式的通项公式为，当时，，当时，，所以展开式中含的项为，故展开式中的系数.故选：D4.某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）C.估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25D.从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4【答案】C【解析】A选项，，解得，A错误；B选项，，估计这200名学生的平均体重为54.75千克，B错误；C选项，前3组数据的频率和为，前4组数据的频率和为，故该校中学生体重的第65百分位数落在第4组中，设为，则，解得，C正确；D选项，从频率分布直方图可知，体重不低于60千克的频率为，故从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.2，D错误.故选：C5.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（）A B. C. D.1【答案】B【解析】，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.因为，所以，所以，所以，即实数的最小值为.故选：B6.已知椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于，若线段的中点在上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】左焦点的坐标为，其中，离心率.过点且斜率为的直线方程为.当时，直线与轴交点的坐标为.线段的中点坐标为.中点在椭圆上，代入椭圆方程得到：，化简得：.利用和，代入上式得到：.通分并整理得到方程：，解得（舍去不合理的解），故离心率.故选：D.7.已知函数，如图，是直线与曲线的三个交点，若，点的横坐标为，则函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，结合的图象可得关于对称，关于对称，所以，，解得因为，所以，即，即，解得，所以函数的最小正周期为.故选：C8.已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，则由得，令，则在上单调递增，因为所以，故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC10.已知函数的极小值为，则（）A.B.曲线是中心对称图形C.若直线与函数的图象有个交点，则实数的取值范围为D.当时，【答案】BCD【解析】函数的定义域为，导函数，当时，，函数为增函数，与条件矛盾，当时，令可得，或，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为，由已知，所以，A错误，所以，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，关于曲线是中心对称图形，B正确，因为当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，，当时，，当时，，所以函数的大致图象如下：因为直线与函数的图象有3个交点，所以，所以的取值范围为，C正确；因为，又，所以，即，因为，，函数在上单调递减，所以，D正确；故选：BCD.11.已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（）A.B.直线过抛物线的焦点C.当为等腰三角形时，或D.过点且与抛物线相切的直线平分【答案】ABD【解析】因为准线方程为，所以，A正确；抛物线的焦点为，设，则,直线，由，可得，，即,当时，，即，此时直线过抛物线的焦点；当时，直线的斜率分别为，则，所以直线过抛物线的焦点，B正确；由抛物线定义可知,当时，则在的中垂线上，则，即，解得，此时,C不正确；设过点的切线方程为，联立，得，易知，令，可得；直线的斜率即为直线的斜率，即.设直线过点的切线的倾斜角分别为，则，而，即，因为点在第一象限，所以，所以；因为直线的斜率为0，所以过点且与抛物线相切的直线平分.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量满足，则__________.【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴.故答案为：.13.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________.【答案】【解析】设，则，，因为，所以，所以，即，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，圆的圆心为，半径为，又点为上一动点，所以，当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________.【答案】1或3【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，，，，，因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，所以，根据两点距离公式可得：，，,解得：，所以，因为，解得：或，所以或.故答案为：1或3.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记中，内角所对的边分别为.已知.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由题意得，所以，即，所以，因为为三角形的内角，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，所以，即，又因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以.所以的最大值为.16.如图，在四棱锥中，底面，点满足.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面与平面所成的二面角的正弦值.解：（1）延长交于，由，可知：，又因为平面，平面，且平面平面，所以，即，所以，故；（2）由，又由底面，则可以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，所以，则有，又因为，所以，设平面的法向量为，则有，令，则，则，设平面的法向量为，则有，令，则，则，所以有，此时平面与平面所成的二面角的正弦值为.17.为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为.（1）若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.解：（1）由题意随机变量的可能值为，，，．，的分布列为：012；（2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为：，设，，则，时，递增，时，，递减，所以时，，所以所求最大值为．18.已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点.（1）求双曲线的方程；（2）证明：；（3）当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程.解：（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可知：再由点是双曲线上一点得：，代入得：，故，所以双曲线；（2）设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为，与双曲线，联立消去得：，其中，不等于0，设，则，所以设的中点为，则，，所以线段的垂直平分线方程为：，令得：，则，所以有；（3）设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为，与双曲线，联立消去得：，设，则，由直线与双曲线右支相交，则，解得，由（2）知，由可知：，即，根据，结合与右支交点可知，根据（2）可知：，则，，代入到上两式得：，，再消得：，此时满足，故符合题意，则直线方程为.19