浙江省稽阳联谊学校2025年4月高三联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省稽阳联谊学校2025年4月高三联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x∈N|x≤3}，A={1,2,3}，B={x∈N|x2−x≤2}，则∁A.{0,1,3} B.{0,1} C.{0,3} D.{0,2,3}2.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=(3−i)，则z的共轭复数z的模为(

)A.5 B.22 C.3.下列可以作为方程x3+y3A. B.

C. D.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如下图所示，y=f(x)的图象与y轴交于点C，D(5,0)，B(2,A)，且BC⋅CDA.4 B.25 C.105.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，aA.33 B.46 C.49 D.426.如下图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1有共同的右焦点FA.5−12 B.22 7.已知函数f(x)的定义域为[2,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，满足f′(x)xlnx+f(x)=x2，且f(2)=2ln2.已知a与bA.22−2 B.52 C.8.有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为n，则将向上数字为n的卡片翻面并放置原处;若没有向上数字为n的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为(

)A.1336 B.313 C.1139二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若随机变量X服从正态分布X~N(3,σ2),且P(X≤4)=0.7,则P(3<X<4)=0.2

B.数据5,8,10,12,13的第40百分位数是8

C.在一元线性回归模型中,若决定系数R2=1,则残差的平方和为0

D.x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4的方差分别为S12和S22,若x10.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P、Q分别在线段A1D、A.正方体被经过P、Q两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形

B.PQ不可能与A1D、AC都垂直

C.PQ有可能与正方体的六个表面所成的角都相等

D.线段PQ的中点M所围成的区域的面积为11.设a和b是两个整数，如果a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记作a≡b(modm).(

)A.若公比为q的等比数列{an}满足a1≡a2(modq)，则Sn≡an(modq)

B.若公比为q的等比数列{an}满足Sn≡an(modq)，则a1≡a2(modq)

C.若{an三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若非零向量a，b满足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是−34a，则向量13.已知P是直线l:x+y−2=0上的任意一点，若过点P作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别记为A、B，则劣弧14.若eax+1−x≥(ax+lnx+1)(ax−lnx+1)恒成立，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC=1且bcosC+3(1)求∠B的大小．(2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B，CD=3，AC=AD，求sin16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D为BC的中点，P在底面的投影O落在线段AD上．

(1)证明：AP⊥BC;(2)若BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.M在线段AP上，且满足平面AMC⊥平面BMC.求直线BM与直线CP夹角的余弦值．17.(本小题15分)已知整数数列{an}满足2an=an+1+an−1(n≥2)，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且b1+b2(1)求Sn和(2)用[x]表示不超过x的最大整数，求数列{[Tn]}的前2025项和18.(本小题17分)已知函数f(x)=a(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)无极值点，求实数a的取值范围;(3)若x0为函数f(x)的极小值点，证明：3219.(本小题17分)位于第一象限的一点P1(x1,y1)满足x12>2y1，过P(1)证明：x(2)ⅰ.若过P2的另一条切线切x2=2y于A2，设P3为P2关于A2的对称点，如此重复进行下去，若Pn+1为ⅱ.由ⅰ所设且P1(1,0)，求|P参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.5π613.π214.[115.解：(1)∵bcosC+3csinB=1+2c= a+2c，

∴在△ABC中，由正弦定理得，sinBcosC+3sinCsinB=sinA+2sinC，

由三角形内角和为180∘可得sinA=sin(B+C)，

∴sinBcosC+3sinCsinB=sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC，

即3sinCsinB−cosBsinC=2sinC，

16.解：(1)证明：因为AB=AC，D为BC的中点，故AD⊥BC，

又PO⊥面ABC，故得PO⊥BC，

PO∩AD=O,PO,AD⊂面APO，

所以BC⊥面APO，又AP⊂面APO，

从而AP⊥BC。

(2)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz

，

则AO=3，O(0,0,0)，A(0,−3,0)，B(4,2,0)，C(−4,2,0)，P(0,0,4).于是AP=(0,3,4)，BC=(−8,0,0)，

令AM=λAP=(0,3λ,4λ)，所以M=(0,3λ−3,4λ)，又

因为AC=(−4,5,0)，设面AMC的法向量为m=(x,y,z)．

所以−4x+5y=03λy+4λz=0，所以m=(5,4,−3)．

又BC=(−8,0,0)，BA=(−4,−5,0)，

所以BM=BA+AM=(−4,3λ−5,4λ)，

设面BMC的法向量为n=(x1,y1,z1);

所以8x1=0−4x1+(3λ−5)y1+4λz1=0，所以n17.(1)当n=1时，1<2S1<4．

又因为an∈Z，所以a1=1．

设an=1+(n−1)d，则Sn=n+n(n−1)2d，

依题意，n2<2n+n(n−1)d<(n+1)2，

得1−dn+d−2<0d−1n2−dn−1<0恒成立，

解得d=1，所以，an=n，Sn=12n(n+1)，

设等比数列{bn}的公比为q，b1+b2+b3=14，b1b2b3=64．

所以b1+b1q+b1q2=14，b13q3=64．

18.解：(1)因为f′(x)=acosx+21−x2，所以f′(0)=a+2，

又因为f(0)=0，所以切线方程为y=(a+2)x；

(2)函数f(x)定义域为(−1,1)，因为函数f(x)无极值点，

所以f′(x)=acosx+21−x2恒大于等于0，或者恒小于等于0．

又因为21−x2>0，所以f′(x)=acosx+21−x2≥0.

所以f′(0)=a+2≥0，即a≥−2，所以由必要性开路可得a≥−2；

下证充分性：即a≥−2且x∈(−1,1)时，f′(x)=acosx+21−x2≥0.

令g(a)=acosx+21−x2，则g′(a)=cosx>0，

所以g(a)=acosx+21−x2在a≥−2上单调递增，

所以g(a)≥−2cosx+21−x2，所以即证−2cosx+21−x2≥0.

令ℎ(x)=−2cosx+21−x2，

则ℎ′(x)=2sinx+4x(1−x2)2在x∈(−1,1)单调递增，且ℎ′(0)=0．

所以ℎ(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，得证；

综上可得，若函数f(x)无极值点，实数a的取值范围为a≥−2。

(3)由(2)可得，当a≥−2时，函数f(x)无极值点．

当a<−2时，又因为此时f′′(x)=−asinx+4x(1−x2)2在x∈(−1