专题25指数对数运算【原卷】

【专题2.5指数对数运算】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：指数运算】知识讲解知识讲解指数的基本概念指数的定义：一般地，形如（，为正整数）的式子叫做指数式，其中叫做底数，叫做指数。表示个相乘，即（个）。例如，。指数的推广： 当时，规定（）。因为任何非零数的次方都等于，这是为了保证指数运算的连续性和一致性。 当为负整数时，（）。例如，。 当为分数时，（，$m,n$为互质的正整数，）。例如，。指数运算法则同底数幂相乘：（，$m,n$为实数）。例如，。同底数幂相除：（，$m,n$为实数）。例如，。幂的乘方：（，$m,n$为实数）。例如，。积的乘方：（，为实数）。例如，。商的乘方：（，为实数）。例如，。例题精选例题精选【例题1】（2425高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【例题2】（2425高一上·全国·课后作业）化简.【例题3】（2425高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．相似练习相似练习【相似题1】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式：(1)；(2)；(3)．【相似题2】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式：(1)；(2)．【相似题3】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）：(1)；(2)；(3)；(4).【题型2：指数对数互化】知识讲解知识讲解转化的依据1.若（，且），那么叫做以为底的对数，记作。其中，叫做对数的底数，叫做真数。2.例如，，根据指数与对数的转化关系，可写成。转化的规则1.指数式与对数式是等价的，它们之间的转化规则如下： 指数式中的底数，在对数式中仍然是底数。 指数式中的指数，在对数式中成为对数的值。 指数式中的幂，在对数式中是真数。特殊情况1.当时，对数通常记为，称为常用对数。例如，，可写成。2.当（，是自然常数）时，对数记为，称为自然对数。例如，，可写成。转化的应用1.求解指数方程：通过将指数方程转化为对数方程来求解未知数。例如，对于方程，转化为对数形式，因为，所以。2.求解对数方程：有时也需要将对数方程转化为指数方程来求解。例如，方程，转化为指数形式，即。3.简化计算：在一些复杂的计算中，利用指数与对数的转化可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，从而简化计算过程。例如，计算，可先将其转化为指数形式，再利用指数运算法则，因为，，所以，即。例题精选例题精选【例题1】（2223高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【例题2】（2425高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．12【例题3】（2324高二下·福建南平·期末）若，，则（

）A．10 B．20 C．50 D．100相似练习相似练习【相似题1】（2425高一上·全国·课后作业）若，，则的值为．【相似题2】（2526高一上·全国·课后作业）已知，则的值为．【相似题3】（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【题型3：对数的加减运算以及对数恒等式】知识讲解知识讲解基本性质1.零和负数没有对数：因为对数函数的定义域是正实数，所以在中，。例如，是无意义的。2.：因为（且），所以。例如，。3.：由于（且），所以。例如，。对数运算公式1.积的对数：（，，，）。例如，。2.商的对数：（，，，）。例如，。3.幂的对数：（，，）。例如，。4.换底公式：（，，，，）。例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。由换底公式还可以得到以下两个推论： 推论1：（，，，）。例如，。 推论2：（，，，）。例如，。对数恒等式1.（，，）。例如，。这个恒等式表明，对数运算和指数运算互为逆运算，将以为底取对数后再进行以为底的指数运算，结果还是。2.（，）。例如，。它体现了对数函数与指数函数的对应关系，的次幂的以为底的对数就是指数。例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【例题2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（

）A．1 B． C．2 D．【例题3】（2025·湖南·二模）已知实数满足，且，则.相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·天津·阶段练习）（1）已知，，求的值；（2）计算.【相似题2】（2425高一下·广西崇左·阶段练习）（1）计算：；（2）已知，，求ab的值.【相似题3】（2223高一上·云南昭通·阶段练习）计算求值：(1)；(2).【题型4：对数的换底公式】知识讲解知识讲解1.换底公式：（，，，，）。 例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。也可以转化为以为底的自然对数来计算，。2.换底公式的推论1：（，，，）。 例如，，因为，所以。3.换底公式的推论2：（，，，）。 例如，。例题精选例题精选【例题1】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（

）A． B．C． D．【例题2】（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（

）A． B．1 C．3 D．4【例题3】（2425高三下·河南·开学考试）已知且，则a=（

）A．64 B．32 C．16 D．8相似练习相似练习【相似题1】（2425高一下·上海·阶段练习）已知，，用，表示．【相似题2】（2425高一下·湖南常德·阶段练习）已知，则．【相似题3】（2425高三上·河南信阳·期末）已知，则.【相似题4】（2425高一上·山西晋中·期末）已知（），则.【相似题5】（2425高一下·江苏扬州·阶段练习）计算：(1)；(2)已知，试用表示.【题型5：指数运算的实际应用】知识讲解知识讲解1.理解题意： 仔细阅读题目，明确题目所描述的实际情境，确定是人口增长、金融复利、放射性衰变等哪一类指数应用问题。 找出题目中给出的关键信息，如初始值、增长率或衰减率、时间等相关数据。2.选择合适的公式： 根据问题类型，选择对应的指数运算公式。例如，人口增长用，复利计算用或，放射性衰变用等。3.代入数据进行计算： 将题目中给出的具体数值代入所选公式中。 注意单位的统一和数据的准确性，按照指数运算规则进行计算。例题精选例题精选【例题1】（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（

）A．300 B．450 C．600 D．750【例题2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（

）A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时【例题3】（2425高二上·云南曲靖·期中）2023年8月29日，华为发布了备受瞩目的Mate60系列智能，在国际市场上引起了广泛关注.尽管面临外国技术封锁和制裁，华为仍然凭借自主研发的创新技术，成功推出了这款被网友称为“争气机”的新一代旗舰产品.Mate60系列搭载了华为自主研发的最新芯片，其性能和稳定性得到了极大提升.在电池续航、图像处理和用户体验等方面均有显著突破，展现了华为在高科技领域的实力和韧性.华为Mate60智能的核心部件之一是其自主研发的芯片，研究发现，该芯片的性能随着时间的推移会经历指数型衰减.假设芯片的性能衰减可以用函数大致描述，其中表示时间（单位：年），是经过年后的性能指标，是测试开始时的初始性能指标量.则根据上述函数模型，若该芯片使用5年，性能大约降至最初的（

）（参考数据：，）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（

）A． B． C． D．【相似题2】（2425高三上·黑龙江·期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（

）A． B． C． D．【题型6：对数运算的实际应用】知识讲解知识讲解精准审题：全面剖析题目所描绘的实际场景，确定其所属的应用领域，比如是在化学中计算酸碱度（pH值）、在天文学里衡量天体亮度，还是在工程领域处理信号强度等问题。仔细筛选出题目中给出的各项关键信息，包括已知的对数值、真数、底数以及其他与之相关的数据。匹配公式与模型：依据所确定的问题类型，快速从对数运算的知识体系中调取适配的公式或模型。例如，若涉及酸碱度计算，会用到pH=lg[H⁺]（其中[H⁺]表示氢离子浓度）；在天文学中，星等与亮度关系常涉及对数运算模型等。倘若题目中所给的对数底数并非常用的10（常用对数）或e（自然对数），可能需要考虑运用换底公式，将其转换为便于计算的底数形式。数据代入运算：把从题目中提取出的准确数据，逐一对应代入已选定的公式或模型之中。在进行对数运算时，严格遵循对数的运算法则，像积的对数、商的对数、幂的对数等，确保计算过程的准确性。例题精选例题精选【例题1】（2425高一上·湖北恩施·阶段练习）“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（

）（参考数据：）A． B． C．6min D．【例题2】（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：）A．72 B．73 C．74 D．75【例题3】（2425高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟相似练习相似练习【相似题1】（2324高二下·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton'slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（

）A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟【相似题2】（2324高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（

）A．16 B．72 C．74 D．90【相似题3】（2425高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过．年，其残留量为初始量的（参考数据：，）课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2425高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．2．（2122高三上·广西柳州·阶段练习）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟3．（2122高三上·江苏盐城·开学考试）已知，则等于（

）A．1 B．2 C．5 D．104．（2425高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．12二、填空题5．（2