第二单元圆锥·提高篇【十七大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版）苏教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第二单元圆锥·提高篇【十七大考点】专题解读本专题是第二单元圆锥·提高篇。本部分内容包括圆锥的切面积问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，不规则及组合立体图形的体积等，总体来说，考点考题较多，难度相对较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为十七个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】圆锥的旋转构成法其一：基础型 4【考点二】圆锥的旋转构成法其二：提高型 5【考点三】圆锥的旋转构成法其三：拓展型 6【考点四】圆锥的切面积问题 8【考点五】比在圆锥体积中的应用 8【考点六】圆柱与圆锥的关系问题其一 10【考点七】圆柱与圆锥的关系问题其二 11【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其三 12【考点九】等积变形问题其一：圆柱与圆锥的等积变形 13【考点十】等积变形问题其二：正方体与圆锥的等积变形 14【考点十一】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形 15【考点十二】排水法求不规则物体的体积其一：圆锥的高 16【考点十三】排水法求不规则物体的体积其二：水高 17【考点十四】排水法求不规则物体的体积其二：溢水问题 18【考点十五】正方体中的最大圆锥 19【考点十六】组合立体图形的体积 20【考点十七】圆锥中的倒水问题 22典型例题【考点一】圆锥的旋转构成法其一：基础型。【方法点拨】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题】下图的下边为轴，旋转一周，形成的图形是()，新图形的体积是()。【对应练习1】一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个()体，它的体积是()立方厘米。【对应练习2】将图中三角形的小旗绕旗杆旋转一周，可以形成一个立体图形，这个立体图形的底面周长是()厘米，体积是()立方厘米。【对应练习3】两条直角边分别为3厘米和4厘米的直角三角形，以直角边3厘米为轴旋转一周，形成()体，它的体积是()立方厘米。【考点二】圆锥的旋转构成法其二：提高型。【方法点拨】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题】以下面直角三角形的直角边为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（单位cm）【对应练习1】以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？【对应练习2】将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？（得数保留两位小数）【对应练习3】一个直角三角形两直角边分别是4cm和6cm,现在分别以两直角边为轴，旋转一周，得到两个圆锥体，体积最大的是哪个？是多少？【考点三】圆锥的旋转构成法其三：拓展型。【方法点拨】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题】下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？【对应练习1】如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米）【对应练习2】下图中长方形ABCD绕m轴旋转一周后，甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是多少？【对应练习3】在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点o。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？【考点四】圆锥的切面积问题。【方法点拨】将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。【典型例题】一个圆锥的底面直径是6cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是()cm3。【对应练习1】一个圆柱的高是9cm，如果把它横切成两个同样的小圆柱，那么它的表面积会增加180cm2。如果把它削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是()。【对应练习2】把一个底面半径是5厘米的圆锥体木块，从顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，这时表面积增加120平方厘米，求这个圆锥体木块的体积是()立方厘米。【对应练习3】一个底面直径是6cm的圆锥，沿着高方向切成2个半圆锥，表面积增加了48cm²，圆锥的高是()cm，圆锥的体积为()。【考点五】比在圆锥体积中的应用。【方法点拨】1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。【典型例题】（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（）。（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（）。（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少?【对应练习1】有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?【对应练习2】一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。【对应练习3】已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？【对应练习4】如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？【对应练习5】一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（）平方厘米。【对应练习6】一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？【考点六】圆柱与圆锥的关系问题其一。【方法点拨】底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。【典型例题】1．一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？2．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？3．把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？【对应练习1】一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。（1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？（2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？【对应练习2】一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是28.26平方厘米，圆锥的底面积是多少？【对应练习3】一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？【考点七】圆柱与圆锥的关系问题其二。【方法点拨】底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。【典型例题】等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是()立方分米，圆柱的体积()立方分米。【对应练习1】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和68dm3，圆柱体积是()dm3。【对应练习2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是36立方分米，它们的体积相差()立方分米。【对应练习3】一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3，它们的体积之差是()。【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其三。【方法点拨】底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。【典型例题】一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是()cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是()cm。【对应练习1】一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是()立方厘米。【对应练习2】一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是()立方厘米，圆柱的体积是()立方厘米。【对应练习3】一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差12.56cm3，它们的体积之和是()cm3。【考点九】等积变形问题其一：圆柱与圆锥的等积变形。【方法点拨】等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。【典型例题】一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？【对应练习1】把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？【对应练习2】把一堆底面半径为3米，高为1.8米的圆锥形小麦堆放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，正好装满，请问粮囤的高是多少米？【对应练习3】把一个底面周长是31.4分米，高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥体，圆锥的高是多少分米？【考点十】等积变形问题其二：正方体与圆锥的等积变形。【方法点拨】等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。【典型例题】一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？【对应练习1】将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？【对应练习2】一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？【对应练习3】一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）【考点十一】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形。【方法点拨】等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。【典型例题】一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？【对应练习1】一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？【对应练习2】一个圆锥形沙堆，底面积是平方米，高是米。把这堆沙均匀地铺在一个面积平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？【对应练习3】一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？【考点十二】排水法求不规则物体的体积其一：圆锥的高。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题】有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？【对应练习1】一个圆柱形容器里面装有60厘米深的水，从里面量该容器的底面半径为10厘米。调皮的弟弟将一个底面半径为6厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中，这时水面上升了3厘米（水未溢出），这个圆锥形玩具的高是多少厘米？【对应练习2】有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。【对应练习3】一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？【考点十三】排水法求不规则物体的体积其二：水高。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题】一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？【对应练习1】一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？【对应练习2】在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？【对应练习3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？【考点十四】排水法求不规则物体的体积其二：溢水问题。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题】一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？【对应练习1】把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？【对应练习2】有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）【对应练习3】一个盛满水的圆柱形玻璃容器，底面半径是20厘米。先将一个圆柱形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，溢出一些水，然后将铁块取出，水面下降了3厘米；接着再将一个圆锥形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，也溢出一些水，发现这两次溢出的水一样多。若这个圆锥形铁块的底面半径是12厘米，则它的高是多少厘米？【考点十五】正方体中的最大圆锥。【方法点拨】将正方体削成一个最大的圆锥