第一章集合与常用逻辑用语单元教学设计-高一上学期数学人教A版

单元教学设计单元基本信息课程标准模块数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人类生活和社会发展紧密关联。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到很大的提升，伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展。数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性和发展性。必修课程面向全体学生，构建共同基础；选择性必修课程、选修课程充分考虑学生的不同成长需求，提供多样性的课程供学生自主选择；高中数学课程为学生的可持续发展和终身学习创造条件。使用教材版本人教A版单元名称集合与常用逻辑用语单元课时数5一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值）主题名称集合与简易逻辑主题概述1.集合：在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。（１）集合的概念与表示①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。③在具体情境中，了解全集与空集的含义。（２）集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。（３）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。③能使用Ｖｅｎｎ图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。2.常用逻辑用语：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。（１）必要条件、充分条件、充要条件①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。（２）全称量词与存在量词通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。（３）全称量词命题与存在量词命题的否定①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。主题学情分析学生由初中的学习进入到高中的学习，学习跨度是非常大的，初中知识相对于来说更加基础，简单，题目更加呆板，考察的不够细致，学生可以通过已有的知识水平和经验快速解决。高中知识对于学生而言是晦涩难懂的，集合与常用逻辑这一部分内容在高中阶段属于基础简单内容，学习起来并不困难，但也要根据学生的理解水平作出调整，根据以往的学习效果分析，学生对于该部分知识的掌握较为熟练，在学习到相应的定义定理后，可以自己做出相应题目，无需老师过多强调。但要注意规范学生的学习方法和态度，刚接触知识由于简单，或导致学生轻视高中的内容，不利于函数部分内容的学习。学习条件支持采用常规座位的方式进行教学，利用黑板，多媒体设备等器材辅助进行教学。二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向）单元学习目标1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。3.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念。4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会求给定子集的补集。5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．6.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．三、各课时学习目标（聚焦课时内容，具体、可操作、可检测，学习符合学科要求）学习目标解析（明确各学习目标达成之后，学生的具体表现和评价方式。）第1课时A.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.B.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.C.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。1.能够举出生活中集合的实例；2.选择集合不同的语言形式描述具体的问题；3.由集合与元素之间的关系求值；第2课时A.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；B．理解子集、真子集的概念；C．能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。1.举例说明集合间的关系；2.由集合的元素的关系推导集合之间的关系；3.由集合与集合之间的关系求值；第3课时A.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算；B.理解补集的含义，会求给定子集的补集；C.能使用图表示集合的关系及运算。1.举例说明集合交集、并集、补集；2.能够进行集合的运算；3.用图、数轴表示集合的关系及运算。第4课时A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．C.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.D.在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质1.举出充分条件、必要条件、充要条件的生活实例；2.正确判断命题的充分条件、必要条件、充要条件；第5课时A.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．C.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。D.使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．1.说出全称量词与存在量词的含义；2.正确判断全称量词命题和存在量词命题的真假；3.能够说出全称量词命题和存在量词命题的否定。四、各课时任务设计及学习活动（指向学习目标，强调学生的活动与体验）第1课时任务/活动1情景引入，温故知新情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（18291920，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会.问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？高一学生全体初中阶段，我们学习过哪些集合？代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合；几何方面：点的集合等．在初中学习中，我们用集合描述过什么？圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．二、探索新知探究一集合的含义1.考察下列问题：（1）1～20以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;（5）方程的所有实数根；（6）地球上的四大洋。思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？2、归纳新知（1）集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.探究二集合中元素的性质所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的2.由1,3,0,5,︱3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5.集合中的元素是互异的3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？集合没有变化集合中的元素是没有顺序的归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？确定性、互异性、无序性4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流.【解析】（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合.（2）由集合元素的确定性知其不能组成集合.探究三：元素和集合的关系1.已知下面的两个实例：（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.2.元素与集合的“属于”关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.练习2.用符号“∈”或“∉”填空.(1)2N；(2)_____Q；(3)0{0}；(4)b{a,b,c}.【答案】(1)∈(2)∉（3）∈（4）∈探究四集合的表示方法1.列举法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？【提示】可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？【提示】{1,2}问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意：=1\*GB2⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；=2\*GB2⑵元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。思考3：a与{a}有什么区别？【答案】a是一个元素，{a}是集合。例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合.（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.注意：=1\*GB3①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，

例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}；=2\*GB3②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。描述法思考：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数．这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作:思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？，或；问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.例2试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)方程x22=0的所有实数根组成的集合.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解：(1)设方程x22=0的实数根为x,并且满足条件x22=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x22=0}.方程x22=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为B={x∈Z∣10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.任务/活动2任务/活动3第2课时任务/活动1活动1：情景引入，温故知新（一）学生回答下列问题：1.集合、元素的概念

2.元素与集合的关系：属于，不属于

3.集合中元素的三大特性：确定性、互异性，无序性

3.集合的表示方法：列举法、描述法

4.常用数集：

（二）练习用列举法表示下列集合：（1）；（2）（三）思考1：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？活动2：探索新知探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：

①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};

②A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合;

③A={x|x＞2},B={x|x＞1};

2.子集定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.

记作：读作：“A含于B”(或“B包含A”)

符号语言：任意有则。3.韦恩图（Venn图）：

用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.

牛刀小试1：下图中，集合A是否为集合B的子集？BABAABAA 牛刀小试2判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:

①A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}(√)

②A={1,3,5},B={1,3,6,9}(×)

③A={0},B={x|x2+2=0}(×)

④A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}(√)

思考2：与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”。相类比，在集合中，你能得出什么结论?

探究二集合相等1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系

（1）A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，

B＝｛x｜x是等腰三角形｝.

（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．

2.定义：如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ任何一个元素都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作Ａ＝Ｂ

牛刀小试3：【答案】A=B。探究三真子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}；（2）A={四边形},B={多边形}。2.定义：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且xA，并且A≠B,称集合A是集合B的真子集．

记作：AB（或BA）读作：“A真含于B”（或B真包含A）。韦恩图表示：BBA探究四空集

1.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。即B，（B）例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程x2+1=0的实数根组成的集合为。

问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系与属于关系有什么区别？【解析】前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2）集合AB与集合有什么区别？【解析】A=B或AB.（3）.0，{0}与Φ三者之间有什么关系?

【解析】{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。如Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即。（2）对于集合A、B、C，若则（类比，则）。例1.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

解：集合{a，b}的子集：，{a},{b},{a,b}。集合{a，b}真子集，{a},{b}。【规律总结】写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.

写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.

一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n1个.

变式练习：1.写出集合{a,b,c}的所有子集并指出，真子集.解：集合{a,b,c}子集：，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}集合{a,b,c}真子集，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。任务/活动2任务/活动3······第3课时任务/活动1活动1：情景引入，温故知新已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．问题：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？活动2：探索新知探究一并集的含义1.思考:考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A=｛1，3，5，7｝，B=｛2，4，6，7｝，C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．（2）A=｛x|x是有理数｝，B=｛x|x是无理数｝，C=｛x|x是实数｝．【答案】集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．2、归纳新知（1）并集的含义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Unionset）．记作：A∪B（读作：“A并B”）即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．Venn图表示：（2）“或”的理解：三层含义：（3）思考：下列关系式成立吗？（1）（2）【答案】成立（4）思考：若,则A∪B与B有什么关系？【答案】典型例题例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．例2．设集合A={x|1<x<2}，B={x|1<x<3}，求AUB．解：A∪B={x|1<x<3}【注意】由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。探究二交集的含义1、思考：考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝．（2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝，C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．【答案】集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．2.交集的概念：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersectionset）．记作：A∩B（读作：“A交B”）即：A∩B={x|x∈A且x∈B}说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合．3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.典型例题例3立德中学开运动会，设A=｛x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，B=｛x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，求解：就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以，=｛x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝.例4.设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示直线的位置关系.5、思考：下列关系式成立吗？（1）（2）。【答案】成立探究三：补集的概念1.在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果问题：在下面范围内解方程(1)有理数范围(2)实数范围2、全集与补集的定义（1）全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.（2）对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集．记作：即：={x|x∈U且xA}说明：补集的概念必须要有全集的限制．例题例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求．解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以：={4，5，6，7，8}，={1，2，7，8}．例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，。已知全集U=R，集合解：。4.性质：（1）；（2）。任务/活动2任务/活动3······第4课时任务/活动1活动1：情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常),记p:闭合开关A,q:灯泡亮。请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。【答案】真命题情景2：记p:x>2,q:x>0。判断命题“若x>2，则x>0”的真假。【答案】真命题活动2：探索新知探究一充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。【答案】（1）真(2)假(3)假（4）真2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即,那么p叫做q的充分条件,p叫做q的必要条件.P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。【解析】（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）、（3）中，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件；(2)这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件；（3）这是一条菱形的性质定理，,所以p是q的充分条件;（4）由于,所以p不是q的充分条件。（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件。（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件。4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，，所以q是p的必要条件；（2）这是一条相似三角形的性质定理，，所以q是p的必要条件；（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以q不是p的必要条件；（4）显然，所以q不是p的必要条件。（5）由于所以q不是p的必要条件；（6）为无理数，但1，不全是无理数，，所以q不是p的必要条件。思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。探究二充要条件的含义1.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则。（4）若是空集，则A与B均是空集。【解析】命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。2.定义：一般地，如果既有，又有，就记作：,这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。其中叫做等价符号。。例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程的一个根，q:。解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要条件。（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即，所以P是q的充要条件。（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以，所以p不是q的充要条件。（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以P是q的充要条件。3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？【解析】四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。解析:设：，：直线与⊙O相切。要证是的充要条件，只需证明充分性（）和必要性（）即可。解：教材P22点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。任务/活动2任务/活动3······第5课时任务/活动1活动1：情景引入，温故知新情景1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．情景2：我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：（1）所有学生都来自高二年级；（2）至少有30名学生来自高二.一班；（3）每一个学生都有固定表演路线.结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词.活动2：探索新知探究一全称量词命题的含义1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数【答案】（1）不是(2)不是(3)是（4）是关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.2、归纳新知（1）全称量词及表示:定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。表示：用符号“”表示。（2）全称量词命题及表示:定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。例如:命题(1)对任意的nZ,2n+1是奇数;(2)所有的正方形都是矩形。都是存在量词命题。3.练习：用量词“”表达下列命题:(1)实数都能写成小数形式;(2)凸多边形的外角和等于2；（3）任一个实数乘以1都等于它的相反数。【解析】（1）x能写成小数形式;x{x|x是凸n边形},x的外角和等于;(3)x·(1)=x.例1.判断下列全称量词命题的真假(1)所有的素数都是奇数;(2),|x|+1≥1(3)对每一个无理数x,x2也是无理数【解析】（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;(2)∵,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;（3）∵是无理数,但是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;4、思考：如何判断全称量词命题的真假？【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得P(x)不成立即可。探究二存在量词命题的含义1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.【解析】(1)不是（2）不是（3）是（4）是关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.2.存在量词命题的定义（1）存在量词及表示:定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号“∃”表示。（2）存在量词命题及表示：定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.3.练习：下列命题是不是存在量词命题？（1）有的平行四边形是菱形;（2）有一个素数不是奇数【答案】都是存在量词命题。4.练习：设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”【解析】存在实数x,使x2=x成立；至少有一个x∈R,使x2=x成立；对有些实数x,使x2=x成立；有一个x∈R,使x2=x成立；对某个x∈R,使x2=x成立。例2下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。(1)有一个实数a，a不能取倒数；(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R；(3)有的四边形不是平行四边形。【解析】（1）存在量词命题（2）全称量词命题（3）存在量词命题例3判断下列存在量词命题的真假(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.【解析】(1)由于，,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。5.思考：如何判断存在量词命题的真假【答案】要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.探究三全称量词命题和存在量词命题的否定1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。牛刀小试：说出下列命题的否定。（1）56是7的倍数；（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；【解析】（1）否定：56不是7的倍数；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。2.思考：（2）每一个素数都是奇数；。【解析】(2)存在一个素数表示奇数；。从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。【结论】含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上【解析】（1）否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；（3）否定：的个位数字等于3.3.思考：（2）某些平行四边形是菱形；。【答案】否定:（1）所有实数的绝对值都不是正数;（2）每一个平行四边形都不是菱形;（3）从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.【结论】存在量词命题的否定是全称量词命题。（3）有一个偶数是素数.【解析】（2）该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数例6写出下列命题的否定，并判断真假；（1）任意两个等边三角形都相似；【解析】（1）该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。（2）该命题的否定：.所以这是一个假命题。任务/活动2任务/活动3······五、单元学习评价设计（教师或同伴对学生的评价，指向学习目标的达成）（备注：方案1、方案2选择其一）需要评价的活动方案1：针对任务/活动描述活动A名称第1课时活动1：通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.第2课时活动1：由具体例子，让学生概括出集合相等的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。通过练习巩固集合相等的定义，提高学生解决问题的能力。由具体例子，让学生概括出真子集的含义.提高学生分析、解决问题的能力。第4课时活动2：通过例题进一步巩固必要条件的含义，提高学生解决问题的能力。通过判断命题及其逆命题的真假，概括归纳充要条件的定义，提高学生的抽象概括能力。提高例题掌握充要条件的证明方法，提高学生解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。活动B名称活动C名称······评价要素方案2：针对单元整体描述评价内容对于该单元知识应用熟练，并且能够结合情景和学情进行。评价指标评价内容可以更加量化，能更具体的看出学习情况。评价方法赋值方法五、单元作业设计每节课结束后进行单独的习题练习和知识巩固，在整个单元结束后，进行单元测试。单元作业设计要关注实践性、综合性及长周期作业，在后续知识内容中也及时进回顾，避免学生遗忘六、反思性教学改进（实施后填写）七、单元教学结构图图示学科核心素养、单元学习目标、核心问题串、学习活动设计、学习评价任务以及课时数的对应关系。

课时教学设计参考模板第1课时教学设计课题集合的概念课型新授课第一章第一节1.教学内容分析由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。2.学习者分析本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义，学生对于日常生活中的实例出发，循序渐进学习。3.学习目标确定课程目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。数学学科素养1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。4.学习重点难点重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．5.学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）6.学习活动设计过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环节一内容1.（创设情境）教师活动：（1）情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（18291920，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。（2）高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会.问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？初中阶段，我们学习过哪些集合？在初中学习中，我们用集合描述过什么？学生任务1.学生学习活动：学生回答：高一学生全体；代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合；几何方面：点的集合等．圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．回顾初中知识，形成集合的初步认识内容2.教师活动：（1）1.考察下列问题：（1）1～20以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;（5）方程的所有实数根；（6）地球上的四大洋。思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？（2）2、归纳新知（1）集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.学生任务2.学生学习活动：学生分组讨论六个问题的答案，并进行回答通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。小结：理解集合含义让学生对集合有初步认识，方便后续内容开展环节二内容3.教师：（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？由1,3,0,5,︱3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？（2）归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？（3）两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等学生任务3.学生学习活动：学生回答：不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的；不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5.集合中的元素是互异的；集合没有变化，集合中的元素是没有顺序的；学生总结性质：确定性、互异性、无序性利用实例学习