第二十八章 锐角三角函数 单元测试（含解析）2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数单元测试一、单选题1．如图，在中，，，，的值为（

）A． B． C． D．2．如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（

）A． B． C． D．3．如图，内接于，是的直径，P是上一点．若，，则的长为（

）．A．2 B．4 C． D．4．如图，在中，，点为的中点，连接．若，则的值为（

）A． B． C． D．5．在中，，，，则（

）．A． B． C． D．6．已知，且为锐角，则（

）．A． B． C． D．7．在中，，，，则的正切值为（

）A． B． C． D．8．小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（

）（参考数据：）．A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米9．如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（）A． B． C． D．110．如图，将激光笔倾斜固定在长方体水槽A处，开启激光笔发射一束红光线，水槽中不装溶液介质时，发现光斑恰好落在处，此时，当向槽内缓缓加入溶液介质上升至处时，光斑随之缓缓移至处．已知为的中点，，，作出法线与的交点，测得折射角等于，则光斑移动的距离为（）A． B． C． D．11．如图，的对角线，交于点，，平分交于点，交于点．若，且，则的值为（

）A．6 B．8 C．9 D．1212．如图，在中，于点D，，则的度数为（

）

A． B． C． D．二、填空题13．在中，，，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，则的值为．14．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，，若，则．15．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）．16．如图，在中，，，，点M与点N分别在边与上，，将沿翻折得到，连接并将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为．三、解答题17．计算：18．如图，在中，，点为线段上一点，过点作的垂线交的延长线于点．

(1)如图，若，，，求线段的长度．(2)如图，若，点为线段延长线上一点，连接交线段于点，且，求证：．19．已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，，与相交于点F．(1)如图①，若，求和的大小；(2)如图②，若，，求的长．20．乒乓球桌的侧面简化结构（如图所示）是轴对称图形，台面（台面厚度忽略不计）且与地面平行，高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端与台面下方相连，与的下端各是一个脚轮（脚轮大小忽略不计），直线型支架与的上端与台面相连，下端与相连，圆弧形支架分别与在点相连，且，，已知，，．求的长度．参考答案题号12345678910答案BCCABAABAC题号1112答案BB1．B【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，勾股定理求得，然后根据余弦的定义即可求解．熟练掌握余弦的定义是解题的关键．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，故选：B．2．C【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到，利用正弦值定义求解即可得到答案．【详解】解：过作，垂足为，如图所示：，在正方形中，，，，，，在和中，，∴，将边绕点逆时针旋转至，，，由“三线合一”可得是边上的中线，即，，在中，，设，则，由勾股定理得到，，故选：C．【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键．3．C【分析】根据圆周角定理，余弦函数的应用解答即可．本题考查了圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理和函数是解题的关键．【详解】解：∵是的直径，P是上一点．∴，∴，∵，∴，故选：C．4．A【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握解直角三角形的性质是解题的关键；根据题意，求得的长度，进而求解即可；【详解】解：，点为的中点，，，，；故选：A5．B【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．【详解】解：如图，∵，，，∴，∴，故选：．6．A【分析】本题考查特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：∵，且为锐角，∴，故选：．7．A【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，故选：A．8．B【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点P作，垂足为C，设米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴点P到赛道的距离约为86.6米，故选：B．9．A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键．【详解】解：过点作轴交轴于点，∵菱形的边长为，∴，∵，∴，∴，，∴，把代入，∴，∴，故选：A．10．C【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、三角函数及等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质与判定、三角函数及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，四边形、是矩形，则有，然后根据三角函数可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴四边形是矩形，同理可得也为矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵为的中点，，∴，∵，∴，∴；故选C．11．B【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；根据已知条件得出，，是等边三角形，得出，则，证明得出，进而求得，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵∴，∵平分交于点，∴∴，∴∴∴是的中点∵的对角线，交于点∴∴∵∴∵∴∴是等边三角形，∵，∴∴∴∵∴∴∴，∴的值为故选：B．12．B【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，特殊角的三角函数值，先根据，求出，得出，解直角三角形得出，，求出，得出，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：，，，∴，，，，，，∴，，．故选：B．13．【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理．过点A作于点P，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得和，求得，，在中，求得，推出，由，求得，，，进而得，设，，则，，由正切函数，，即可求解．【详解】解：过点A作于点P，过点E作交的延长线于点F，如图所示：∴，在中，，∴设，，∵，∴，解得，∴，，在中，∵，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，设，，，∴，在中，，∵，∴，在中，，解得：，，∴．故答案为：．14．【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及求角的正切值，设，，得，，根据得方程，解方程求出即可得解．【详解】解：设，，∴，，又，，∵，∴，整理得，，∴，∴，解得，，或，∵，∴，∴，∴，故答案为：．15．（答案不唯一）【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解．【详解】解：设米．在中，，，在中，，，，，∴，答：塔的高度约为米．故答案为：．16．/【分析】由折叠的性质得，，证明是等边三角形得，可得点在与夹角为的射线上运动，设交于点，证明是等边三角形得，由可知将逆时针旋转后所得线段在上，证明，求出，得出点在直线上运动，作于点，则当与重合时，的值最小．求出即可求解．【详解】解：连接并延长，∵在中，，，，，由折叠的性质得，，，∴是等边三角形，，∴点在与夹角为的射线上运动，设交于点，，∴是等边三角形，，，，∴将逆时针旋转后所得线段在上，∴，，∴，，，，，，，∴点在直线上运动，作于点H，则当E与H重合时，的值最小．，∴的值最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点和点运动的轨迹是解答本题的关键．17．【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，负整指数幂运算，根据相关法则正确运算是解本题的关键．分别进行算术平方根，零指数幂，乘方，负整指数幂运算，最后相加减即可．【详解】解：，，．18．(1)(2)证明见解析【分析】（）由直角三角形的性质得，进而由锐角三角函数得，再根据勾股定理即可求解；（）如图，作于点，可证，得到，，由是等腰直角三角形，可证得，得到，进而可证明，得到，又由，得，据此即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）证明：如图，作于点，

∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，余角性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．19．(1)，(2)【分析】（1）利用切线性质得出，结合直径所对圆周角是直角得，根据同角的余角相等求出．由同弧所对圆周角相等得，再根据得出，最后利用三角形内角和定理求出，进而由算出的度数．（2）连接、，根据圆周角定理及推出，通过全等三角形判定证明，得到垂直平分，从而得出，结合判定为等边三角形，得出，在中求出的长．算出的度数，在中利用正切函数求出的长．【详解】（1）解：是的切线，，，又为直径，，，，，∵，，，，；（2）解：连接，，，，，，，，，∴，垂直平分，即垂直平分，，又，，为等边三角形，∴，在中，，，∵，∴，，在中，，，长为．