人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步课时练汇编

Chapters

第八章立体几何初步

8.1基本立体图形

第1课时棱柱、棱锥、棱台

【学习目标】1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、

棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的

结构并进行有关计算.

知识梳理梳理教材夯实基础

■■■■■■■■■■■■■■■■----------------------------------------1-----------

知识点一多面体、旋转体的定义

类别多面体旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在

由若干个平面多边形围成平面内的一条定直线旋转所形成的

定义

的几何体曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围

成的几何体叫做旋转体

KE

图形

F

i

面：围成多面体的各个名

邂

相关概念轴：形成旋转体所绕的定直线

棱：相邻两个面的公共边

顶点：棱与棱的公共点

思考构成空间几何体的基本元素是什么？

答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.

知识点二棱柱的结构特征

1.棱柱的概念

名称定义图形及表示相关概念

底面(底)：两个互

有两个面互相壬丘，其

侧面底面相平行的面

余各面都是四边形，并服*假

侧面：其余各面

且相邻两个四边形的公A~铲顶点

棱柱侧棱：相邻侧面的

共边都互相壬任，由这如图可记作：棱柱

公共边

些面所围成的多面体叫ABCDEF—

夕CD'E1F顶点：侧面与底面

做棱柱A'

9的公共顶点

2.棱柱的分类

⑴按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直按拉，侧棱不垂直于底面的棱柱叫

做斜棱柱.

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.

思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

答案棱柱的侧面一定是平行四边形.

知识点三棱锥的结构特征

1.棱锥的概念

名称定义图形及表示相关概念

底面(底)：多边形

N顶点面

有一个面是空边形,其吟/'侧面

侧面：有公共顶点

余各面都是有一个公共Z与。

的各个三角形面

棱锥顶点的三角形,由这些

p八面

Afi侧棱：相邻侧面的

面所围成的多面体叫做

如图可记作：棱锥公共边

棱锥

S—ABCD顶点：各侧面的公

共顶点

2.棱锥的分类

(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……

(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱隹

知识点四棱台的结构特征

名称定义图形及表示相关概念分类

上底面：平行于棱

锥底面的截面由三棱锥、

用一个平行于1,下底面：原棱锥的四棱锥、五

上底面

棱锥底面的平偏面洋玉雕底面棱锥……

面去截棱锥，w七・卜.底面侧面：其余各面截得的棱台

棱台\B

顶点

底面与截面之侧棱：相邻侧面的分别叫做三

如图可记作：棱台

间那部分多面公共边棱台、四棱

ABCD—

体叫做棱台顶点：侧面与上台、五棱

AfB'C'D'

（下）底面的公共顶台...

点

思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？

答案一定相交于一点.

■思考辨析判断正误■

1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.（X）

2.棱柱的两个底面是全等的多边形.（V）

3.棱柱最多有两个面不是四边形.（V）

4.棱锥的所有面都可以是三角形.（V）

题型探究探究重点素希提升

一、棱柱的结构特征

例1（1）下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平

行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确的说法的序号是.

答案③④

解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.

②错误，棱柱的底面可以是三角形.

③正确，由棱柱的定义易知.

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.

⑵如图所示，长方体ABCO-ABGOi，M,N分别为棱AIi，GG的中点.

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面8CNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是

几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.

解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各

面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.

②截面5CNM右上方部分是三棱柱BBM-CGN,左下方部分是四棱柱44MAi—。CNQi.

反思感悟棱柱结构的箫析方法

(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形：②看“线”，

即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.

跟踪训练1下列命题中正确的是()

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面

C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

答案D

二、棱锥、棱台的结构特征

例2(1)有下列三种叙述：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案A

解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②®可用反例去检验，如图所示，侧棱延长

线不能相交于一点，故②③错.

(2)下列说法中，正确的是()

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②四面体的任何一个面都可以作为极锥的底面；

③棱锥的侧棱平行.

A.①B.①②C.②D.③

答案B

解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形

所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧

棱交于一点，不平行，故③错.

反思感悟判断棱锥、棱台的方法

(1)举反例法

结合棱锥、枝台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.

⑵直接法

楂锥棱台

只有一个面是多边再，此面

定底面两个互相平行的面，即为底面

即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：

①校台的侧面一定不会是平行四边形；

②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥：

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

答案①②

解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形;

②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥;

③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

•核心素养之直观想象,

空间几何体的表面展开图

典例（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品

盒的表面展开图应该为（对面是相同的图案）（）

☆※冏

※险※口

答案A

解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相

邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相

邻.

（2）如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？

解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有

5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；药③中，有3个梯形,

且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为

原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.

［素养提升］多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体团形与

表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.

随堂演练基础巩固学以致用

------------------N------------------

1.下面多面体中，是棱柱的有（）

⑪50©

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案D

解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.

2.下面图形中，为棱锥的是（）

A.0@B.①③®C.®®®D.①②

答案C

解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.

3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（）

A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥

答案B

解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.

4.如图所示，在三棱台A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.组合体

答案B

解析余下部分是四棱锥A'-BCCB'.

5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A,B,。是展开图上的三点，则在正方体盒子

中，ZABC=.

答案60°

-课堂小结•

1.知识清单：

（1）多面体、旋转体的定义.

（2）棱柱、棱锥、棱台的结构特征.

2.方法归纳：举反例法.

3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.

课时对点练注重双基强化落实

-------------------1------------------

3基础巩固

1.有两个面平行的多面体不可能是（）

A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错

答案B

解析由棱锥的结构特征可得.

2.下列关于棱柱的说法中，错误的是（）

A.三棱柱的底面为三角形

B.一个棱柱至少有五个面

C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

答案C

解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方

形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C

错误；D正确.

3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱锥

C.③不是棱锥D.④是棱台

答案B

解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故

B错误.

4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

解析C无法将其折成三棱柱，故选C.

5.下列图形经过折置可以围成一个棱柱的是（）

答案D

6.四棱柱有条侧棱，个顶点.

答案48

7.一个棱台至少有个面，面数最少的棱台有个顶点，有条棱.

答案569

8.一棱柱有10个顶点，其所有的f则棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.

答案12

解析该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.

9.如图，在正方形48co中，E,尸分别为A8,8c的中点，沿图中虚线将3个三角形折起,

使点A,B,C重合，重合后记为点P.

问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）若正方形边长为2小则每个面的三角形面积为多少?

解（1）如图折起后的几何体是三棱锥.

P(A,B,C)

10.一个长方体的容器里装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程

中，

⑴水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗?

（2）水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台成棱锥，对吗？

解（1）不对，水面的形状始终是矩形.

（2）不对，水的形状只能是棱柱.

叶综合运用

11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）

AABi=2,A8=3,8Q=3,BC=4

BAS=1,AB=2,81G=1.5,BC=3,4C=2,AC=3

C.46i=l,AB=2,BiCi=1.5,BC=3,4G=2,AC=4

T）.AB=A\B\9BC=BiCi，CA=CiA\

答案c

解析选项A中装工萼故A不符合题意；选项B中第W笔，故B不符合题意;

anococ/vc

选项C中嘿二弟二务1，故c符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱,

f\ooCAC

不可能是三棱台.

12.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（）

A.三棱锥B.四棱锥

C.五棱锥D.六棱锥

答案D

解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60。，如果是六棱锥，

因为6X6(r=360。，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.

13.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()

Az5ZV酱宏

ABCD

答案AC

解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个

三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

14.从正方体48co—4山iG。的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：

(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三

角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面

体的4个顶点.

其中正确结论的个数为.

答案4

解析如图所示：

四边形ACG4为矩形，故(1)满足条件；四面体力-为每个面均为等边三角形的四面

体，故(2)满足条件；四面体为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件：

四面体为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)

满足条件.故正确的结论有4个.

叶拓广探究

15.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是观,小,<6,则这个长方体对角线的长是

答案V6

解析设长方体长、宽、高为4,y,z,则yz=讹，xz=y[3,yx=y(6,

三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=*,

解得工=小，y=&,z=l,所以。/+y+z2=N3+2+1=#.

16.如图，在三棱锥V-A8C中，VA=VB=VC=4,ZAVB=ZAVC=ZBVC=30°,过点A

作截面AER求AAE/周长的最小值.

解将三棱锥沿侧棱区剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段的长为

所求aAE尸周长的最小值.

VZAVB=ZAiVC=ZBVC=30°,ZAVA^O0.

:

又VA=VAi=4t.•・A4i=40.

二△/1£：/周长的最小值为4^2.

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

【学习目标】1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义2掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.

3.了解简单组合体的概念及结构特征.

知识梳理梳理教材夯实基础

------------------------------------N----------

知识点一圆柱的结构特征

圆柱图形及表示

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边

旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直王驰的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲旋

图中圆柱表示为圆柱

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴

o'0

的边

思考圆柱的轴战面有个，它们（填''全等"或“相似”），圆柱的母线有

条，它们与圆柱的高

答案无穷多全等无穷多相等

知识点二圆锥的结构特征

圆锥图形及表示

定义：以直角三角形的所在直线为旋转

轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体£轴

相关概念：嚏

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面底萨干

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

图中圆锥表示为圆锥S。

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都

是母线吗？

答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线

都是母线.

知识点三圆台的结构特征

圆台图形及表示

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底而与截

面之间的部分叫做圆台

相关概念：

圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面

圆台的侧面：不垂直了轴的边旋转周所形成的曲面图中圆台表不为圆台

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边0,0

知识点四球的结构特征

球图形及表示

定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转•周形成

承

的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：连接球心和球面上任意一点的线段

图中的球表示为球。

直径：连接球面上西点并经过球心的线段

知识点五简单组合体的结构特征

1.概念：由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.

2.基本形式：一种是由简单几何体援接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

■思考辨析判断正误■

1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.（X）

2.圆锥横去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（V）

3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.（X）

4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.（X）

题型探究探究重点素养提升

""""""""""""""""""---------------------------------N----------

一、旋转体的结构特征

例1下列说法正确的是.（填序号）

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成

的几何体是圆锥：

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

答案③④

解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为

圆面；③④正确.

反思感悟（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

跟踪训练1下列说法，正确的是（）

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角

形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.

A.①②B.②③C.①③D.②④

答案D

解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②®正确，①③错误.

二、简单组合体的结构特征

例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.

解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;②是由一个长方体截去一个三棱锥后得

到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

(2)如图所示，已知梯形A8CO中，AD//BC,且AZX8C当梯形A8CD绕A。所在直线旋转

一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合

体.

反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其

次要有一定的空间想象能力.

(2)判断旋转体形状的关键是轴的痛定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图

形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()

A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥

C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱

答案B

(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()

A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥

答案D

解析图①是一个等腰梯形，CO为较长的底边，以8边所在直线为旋转轴旋转一周所得

几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.

三、旋转体的有关计算

例3一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4冗cm?和25兀cm?,求:

（1）圆台的高；

⑵将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.

解（1）圆台的轴截面是等腰梯形（如图所示）.

由已知可得0iA=2cm,OB=5cm.

又由题意知腰长AB=12cm,

所以高AM=dl22_（5—2）2

=3y[\5（cm）.

（2）如图所示，延长8A,00],CD,交于点S,

设截得此圆台的圆锥的母线长为/,

/—I?2

则由△SAOIS/\S8O,可得一1一=彳

解得/=20.

即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

反思感悟用平行于底面的平面云栈柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全

等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的极面（轴极面）的性质，利用相似三角形中的相

似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解.

跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆链，截得圆台上、下底

面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台。'。的母线长.

解设圆台的母线长为/cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1：16,可设截得的圆台

的上、下底面的半径分别为rem,4rcm.过轴SO作截面，如图所示.

则AS。'A's^soA,SA1=3cm.

3/•I

所以而===不

解得/=9,即圆台的母线长为9cn

随堂演练基础巩固学以致用

1.下列说法中正确的是（）

A.将正方形旋转不可能形成圆柱

B.夹在圆柱的两个平行截面间的匚何体还是一个旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案C

解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个

平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确,

所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.

2.（多选）下列命题中正确的是（）

A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等

C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面

D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

答案ACD

3.下列几何体是台体的是（）

答案D

解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面

与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（）

A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台

答案D

解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱）或等腰梯形（圆

台）,不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.

5.两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积

为cm2.

答案16兀或9兀

解析当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4cm,底面积为

167tcm2；

当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3cm,底面积为Mem?.

•课堂小结

1.知识清单：

（1）圆柱、圆维、圆台的结构特征.

（2）球的结构特征.

（3）简单组合体的结构特征.

2.方法归纳：分类讨论.

3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.

课时对点练注重双基强化落实

-----------------------------------------------------------1--------------------

V基础巩固

1.下列几何体中不是旋转体的是（

AD

答案D

2.如图所示的简单组合体的结构特征是（）

B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的

C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的

D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的

答案A

3.如图所示的平面中阴账部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

答案B

解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B.

4.若圆柱的母线长为10,则其高等于（）

A.5B.10C.20D.不确定

答案B

解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）

答案D

解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部

是直角三角形，下部为直角梯形构成.

6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是.（填序号）

(D④

答案①④

解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.

7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是。，则此圆柱的底面半径为.（用

Q表示）

答案平

解析设圆柱的底面半径为，，则母线长为2r.

・・・4产=。，解得/•=平，

・•・此圆柱的底面半径为乎.

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的高为.

答案<3

解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，因为4兀=冗巴所以母线长为

1=2,又半圆的瓠长为2加，圆锥的底面的周长为2仃=2兀，所以底面圆半径为r=l,所以该

圆锥的高为h=邓_户=42_、2=小

9.一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30。，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.

解如图轴截面SA8,圆锥S。的底面直径为48,S。为高，SA为母线，则NASO=30。.

在Rt/^SOA中，

AO=SOtan30。=邛^（cm）.

SO24s

SA-cos3O°-^3_3（皿）.

2

所以5.8=30・2>10=斗&cm?）.

所以圆锥的母线长为芈cm,圆锥的轴截面的面积为挚cm?.

10.如图所示，有一个底面半径为1,高为2的圆柱体，在A点处有一只蛆蚁，现在这只蚂蚁

要围绕圆柱表面由4点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

解把圆柱的侧面沿剪开，然后展开成为平面图形一矩形，如图所示，连接，

则4夕即为蚂蚁爬行的最短距离.

为底面圆的周长，

AA4/=2兀乂1=2兀又48=4'B'=2,

：,AB'=山，8,2+村2川4+(2瓦)2=2山+干2,

即蚂蚁爬行的最短距离为2产能.

7综合运用

11.上、下底面面积分别为36兀和49m母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()

A.4B.3啦

C.2小D.2乖

答案D

解析圆台的母线长/、高〃和上、下两底面圆的半径，，R满足关系式尸=/+(/?——)2,由

题意知/=5,R=7,r=6,求得〃=2#,即两底面之间的距离为2#.

12.已知球的半径为10cm,若它的一个截面圆的面积为36兀cm?,则球心与截面圆圆心的距

离是cm.

答案8

解析如图，设截面圆的半径为7,球心与截面圆圆心之间的距离为"，球半径为R.由示意

图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.

由题意知，R=10cm,由几户=36兀，得/*=6,

所以r2=,\/100—36=8(cm).

13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点七沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短

距离为________.

答案|\后7

解析如图，矩形是圆柱沿着其母线E尸剪开半个侧面展开而得到的,

E^r------|昌

F3三号----------6

由题意可知G”=5,GFi=苧，6臼=、^条2+25=,冗2+4

所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是到西i

14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是.（填序号）

答案①⑤

解析由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①©.

g拓广探究

15.已知球的两个平行截面的面积分别为57c和8冗，它们位于球心的同一侧，且距离为1,那

么这个球的半径是（）

A.4B.3C.2D.0.5

答案B

解析如图所示，•・•两个平行截面的面积分别为5兀和8m

・•・两个截面圆的半径分别为八=市,

9=2也

•・•球心到两个截面的距离小=邓?_爪小=m_3

・•・4一心=、代一5一、供一8=1,・・.R2=9,・・・R=3.

16.圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线A8的中点M

拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

解（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中42的长度，

设OB=l,

贝|]8/=2北X5,。(/+20)=2TTX10,

解得e=],1=20cm.

.*.(7A=40cm,OM=30cm.

JAM=\OP+OM2=50cm.

即绳子最短长度为50cm.

(2)作OQ_LAM于点Q,交弧8夕于点P,

则PQ为所求的最短距离.

*：OAOM=AMOQf，OQ=24cm

故PQ=OQ—OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短也离为4cm.

8.2立体图形的直观图

【学习目标】1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见

的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

知识点二空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个耳轴，直观图中与之对应的是乙轴.

⑵画底面：平面f。'平表示水平平面,平面y'O'平和7O'z'表示竖直平面,按

照平面图形的画法，画底面的直观图.

（3）画侧棱：已知图形中平行于z*日（或在z轴上）的线段，在其直观图中位性和长度都不变.

（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚缰

■思考辨析判断正误二

1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（X）

2.在几何体的直观国中，原来平行的直线仍然平行.（V）

3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、平面图形的直观图的画法

例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解画法：（1）如图所示，取AB所在直线为“轴，中点O为原点，建立直角坐标系，画

对应的坐标系/O'y',使O'y'=45°.

（2）以。'为中点在/轴上取A'B'=48,在y'轴上取O'E1=1c>E,以&为中点画

CD'//x'轴，并使C'D'=CD.

（3）连接"C,D'A',所得的四边形A'"CQ'就是水平放置的等腰梯形ABCO的

直观图.

反思感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐存系是关键之一，一般

要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段

可以通过作平行于坐标轴的线段呆作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借

助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.

跟踪训练1已知正五边形A8CQE,如图，试画出其直观图.

解画法:

(1)在图①中作AG_Lx轴于点G,作轴于点”.

⑵在图②中画相应的『轴与y'轴，两轴相交于点0',使O')，'=45°.

(3)在图②中的『轴上取。'B'=0'。'G'=0G,O'C'=0C,O'H'=0H,yf

轴上取O'Er分别过G'和H'作了轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'

=|GA,H'Dr=^HD.

1

(4)连接A'B',AE'fE'D'，D’C,并擦去辅助线G'A’,WD'，/轴与y'

轴，便得到水平放置的正五边形A88E的直观图4'B'CD'戌(如图③).

二、空间几何体的直观图

例2用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABC。一A'B'CD'

的直观图.

解⑴画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点。，使NxO.y=45。，ZxOz=90°.

(2)画底面.以点。为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在y轴上取线段PQ,使PQ

=；cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和。作x轴的平行线，设它们的交点分

别为4,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面A8CD

(3)画侧棱.过4,B,C,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的

线段A4',BB',CC',DD'.

(4)成图.顺次连接A',(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长

方体的直观图.

反思感悟空间几何体的直观图的画法

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较

快较准确地画出.

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向.

(3)zz轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.

跟踪训练2用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDE尸为正六

边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心0.(尺寸自定)

解画法：

⑴画出六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取A。所在的直线为x轴，

对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O,如图(1);画出相应的x'轴、y'轴、z'

轴，三轴相交于0',使Nx'O'y'=45°,O'z'=90°,如图(2)；②在图(2)中，以

O'为中点，在/轴上取A'D'=AO,在y'轴上取"N'=%1N,以点M为中点，

画出C平行于/轴，并且长度等于8C,再以M'为中点，画出E'/平行于广

轴，并且长度等于E/；③连接A'8',C'。'，D'E',F'A'得到正六边形ABCOE尸

水平放置的直观图A'"CD1E'F'.

(2)画出正六棱锥尸一A8CDE尸的顶点，在z'轴正半轴上截取点P',点P'异于点0'.

(3)成图.连接P'A',P'夕，P'C',P'。'，P'E',P'尸，并擦去/轴、y'轴

和z'轴，便可得到六棱锥P—A3CDE尸的直观图P'—A'B'C'D'E'F',如图(3).

ZfV

A0|/DX

（1）(2)(3)

三、直观图的还原与计算

例3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'夕O',若

O'B'=1,那么原三角形48。的面积是（）

A.1B.乎C.啦D.2啦

答案C

解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为今又直观图与原平面图形面积

比为啦：4,所以原图形的面积为明，故选C.

反思感悟平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为斜二测画法

得到直观图的面积为S和则有S产坐S包

跟踪训练3如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'

=6cm,O'C=2cm,CO'=2cm,则原图形是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四边形

答案C

解析如图，在原图形O4BC中，

应有0。=20'D'=2X272

=4&(cm),

CD=C'D'=2cm,

所以oc=7o»