广西河池市2023～2024学年高一数学下学期5月月考试题含答案

2024年春季学期高一第二次联考数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.3.梯形（如图）是一水平放置的平面图形的直观图（斜二测），若轴，轴，，则平面图形的面积是（）A.B.C.20D.104.已知向量满足，则为（）A.B.C.D.5.若为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在中，为边上的点且，则（）A.B.C.D.7.已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（）A.B.C.D.8.已知中，点在边上，.当取得最小值时，则的值为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，则平面的图形是（）A.B.C.D.10.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（）A.舰艇所需的时间为2小时B.舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里C.D.舰艇与舰艇对接时距离处为50公里11.已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为C.D.的面积为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，其中是实数，则__________.13.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为__________.14.在中，已知角所对的边分别为，若，则角的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知棱长为1的正方体中.（1）求证：；（2）求直线与平面所成的角.16.（15分）已知中三个内角所对的边为，且.（1）若，求的值；（2）若时，求的周长.17.（15分）如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由.18.（17分）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.19.（17分）在中，角的对边分别是，满足.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的角平分线，且，求的最小值.2024年春季学期高一年级校联体第二次联考数学科参考答案及评分标准1.【答案】A【详解】因为，故，故，即为第一象限，故选：A.2.【答案】D【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，故选：D.3.【答案】C【详解】根据题意还原成平面图形，则为直角梯形，，，所以面积为，故选：C.4.【答案】C【详解】：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.故选C.5.【答案】B【详解】选项有可能在平面内，故A错误；选项B，因，则，使得.因，则，使得，即，故B正确；选项C，有可能在平面内，故C错误；选项D，有可能在平面内，故错误.故选：B.6.【答案】B【详解】由题意得，，所以，所以.故选：B.7.【答案】C【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，设正方体的棱长为，则，解得，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径，所以球的体积，故选C.8.【答案】D【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.所以.故选D.9.【答案】AD【详解】对于A：连接，如图①所示.由，可知平面平面，所以平面.故选A；对于B：连接交于，连接，如图②所示.由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交，故不选B；对于C：连接，如图③所示.则，而与相交，即与平面相交，所以直线与平面相交，故不选C；对于D：连接，如图④所示.则，由线面平行的判定定理可知平面.综上所述，平面的图形是A和D.故选：AD10.【答案】BCD【详解】如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.根据余弦定理得，解得或（舍去），故.由正弦定理得，解得.故选：BCD.11.【答案】BD【详解】依题意，，所以，A选项，圆锥的体积为A选项错误；B选项，圆锥的侧面积为B选项正确；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则C选项错误；D选项，，所以D选项正确.故选：BD.12.【答案】【解析】由，即，可得，所以.故答案为：.13.【答案】56【详解】方法一（割补法）：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为.故答案为：56.14.【答案】【详解】由余弦定理，代入，得，整理得：，则，当且仅当时取“，因为，所以，所以角的最大值为.15.【详解】如图，（1）连接，在正方体中，因为平面平面则，因为，，所以平面，又平面，所以（2）连接，设，连接，因为平面平面，则，因为，所以平面，所以为直线在平面上的射影，为直线与平面所成的角，因为正方体棱长为1，则，所以，故直线与平面所成的角为16.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，，（2），又因为，所以由余弦定理得，，即的周长为.17.【详解】（1）如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面平面，所以平面（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面由（1）知平面，又因为平面，所以平面平面18.【详解】（1）证明：折叠前，因为在正方形中，，折叠后即有，又平面，所以平面，（2）由（1）得平面，所以，由题意知，故，故；（3）取线段的中点，连接，因为，