中考数学几何模型归纳训练专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（原卷版）

专题09三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型

赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，

相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久

远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学

思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，

它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型

（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE

于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3

（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且

四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。

（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.

例1．（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型

是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是

16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2b2ab10，那么图中小正方形的面积是（）

A．2B．3C．4D．5

例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵

爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若ADEAED，

AD45，则ADE的面积为（）

A．24B．6C．25D．210

例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角

三角形围成的，若AC6,BC5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2

所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

A．24B．52C．61D．76

例4．（2022·杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵

爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形

EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）

A．S1＝2B．S2＝3C．S3＝6D．S1+S3＝8

例5．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵

爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，

记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1S2，则下列四个判断：

1

①SSS四边形②DG2AF；③若EMH30，则S3S；④若点A是线段GF的中点，则

124MNPQ12

3S14S2，其中正确的序号是

模型2.勾股树模型

例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是___．

例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，BD90，分别以AB，BC，CD，

DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确

的是（）

A．S甲S丁B．S乙S丙C．S甲S乙S丁S丙D．S甲S乙S丙S丁

例3．（2022·河南八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直

角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，

则S9的值为（）

6789

1111

A．B．C．D．

2222

例4．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一

棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，

如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．

例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以Rt△ABC的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积

分别为S1、S2，Rt△ABC的面积S3．若S14，S28，则S3的值为________．

例6．（2022春·浙江温州·九年级校考开学考试）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如

图2，在Rt△ABC中，BAC90，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点

S9

N，K，连接KN交AG于点M，若1，则tanACB为（）

S216

1235

A．B．C．D．

23412

例7．（2023·贵州遵义·统考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所

画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，ACB90，分别以RtABC的三条边为边向外作正

方形，连接BE，DG、BE，交AC于点Q，若BAC30，BC2，则四边形EQGD的面积是．

例8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家

称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家

赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常

见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）

【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角

形，这三个图形中面积关系满足S1S2S3的有个；

（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分

别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．

课后专项训练

1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方

形的个数是（）

A．12B．32C．64D．128

2．（2022·浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如

图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大

正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且ABAC8，则BC的长为（）

图1图2

2513

A．42B．6C．D．

42

3．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方

形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边

形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，SABC＝4，则正方形BCFG的面积为

△

（）

A．16B．18C．20D．22

4．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学

的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab8，大正方形的面积为25，则EF的

长为（）

A．9B．92C．32D．3

5.（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有

记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边

上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（）

A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积

C．最大正方形与直角三角形的面积和D．较小两个正方形重叠部分的面积

6．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国

古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方

形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为（）

A．144B．100C．49D．25

7．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介

绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小

正方形EFGH，连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P，若GOGP，则直角三角形的边CG与BG

之比是（）

12

A．B．C．21D．32

25

8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾

股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：ABC为等边三角形，

AD、BE、CF围成的DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若ABC

的面积为14，则DEF的面积是（）

A．1B．2C．3D．4

9．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所

画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，ACB90，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正

方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若BAC30，BC2，则四边形EQGD的面积是（）

533

A．B．23C．533D．3

2

10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称

之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、

b，斜边长为c，若ba4，c20，则每个直角三角形的面积为．

11．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊

发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在

ABC中，ACB90，分别以ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相

DG

交于点P,Q．若ABE30，则的值为.

QM

12．（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图①，在RtACB中∠ACB=90°，分别以

AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S△1、S2、S3，请解答以下问题：

（1）S1、S2、S3满足的数量关系是．

（2）现将ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．

13．（2023·△湖北孝感·统考三模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直

角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设

如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树

中正方形的个数为．

14．（2022·山东临沂·统考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独

特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，

开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正

方形A1B1C1D1（如图1），则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正

方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为（用含n的式子表示，

n为正整数）．

15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正

方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．

（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；

（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为．

16．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵

爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AFa，DFb，

b2a2

连接AE,BE，若VADE与△BEH的面积相等，则．

a2b2

17．（2023·江苏徐州·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形

EFGH．连接AC，若AG平分CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．

18．（2023·陕西渭南·统考二模）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为

朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四

边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE2，CE4，则BF的长为．

19．（2022·宁夏吴忠·统考一模）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵

爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大

正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图

2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．

20．（2023·山东济宁·统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯

定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股

定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形

的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2．

(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形

中面积关系满足S1S2S3的有______个；

(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边

长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知123，则当

变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）