2025北师版七年级数学下册培优专练：全等三角形的综合

专题4.3全等三角形的综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

♦知识点总结

一、全等图形的判定

判定方法解释图形

边边边

三条边对应相等的两个三角形全等

(SSS)—不

边角边两边和它们的夹角对应相等的两个

(SAS)三角形全等

角边角两角和它们的夹边对应相等的两个

(ASA)三角形全等

角角边两个角和其中一个角的对边对应相

(AAS)等的两个三角形全等ZX.

二、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等.(另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平

分线、高线均相等)

♦典例分析

【典例1】【初步探索】

(1)如图1：在四边形4BCD中，4B=AD,^B=N/WC=90。,E、尸分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD,

探究图中AB2E、NFAD、乙瓦4尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接2G,先证明A/IBE三△ADG,再证明△4EF三

AAGF,可得出结论，他的结论应是.

【灵活运用】

(2)如图2,若在四边形4BCD中，SB=XD,ZB+ZD=180。,E、f分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD,

上述结论是否仍然成立，并说明理由.

【拓展延伸】

(3)己知在四边形ABC。中，/.ABC+/.ADC=180°,AB^AD,若点E在C8的延长线上，点P在CD的延

长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若NC=70。，请直接写出NE4F的度数.

(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接4G,可判定△ABE0△4DG,进而得出NB4E=N£MG,AE=AG,

再判定△力EFgZkAGF,可得出NE4F=NGAF=N£MG+N£MF=NB4E+N£MF,据此得出结论；

(2)延长FD至1点G,使DG=BE,连接4G,先学J定△48E0△4DG,进而得出NB力E=ZZMG,AEAG,

再判定△力EF丝AAGF,可得出NEAF=^GAF=^DAG+^DAF=/.BAE+ADAF■,

(3)在DC延长线上取一点G,MDG=BE,连接4G,先判定△ADGgAABE,再判定△AEF四△4GF,

得出NB4E=^FAG,最后根据NR4E+ZFXG+乙GAE=360°,推导得到2NF2E+4DAB=360°,利用

AABC+^ADC=180°,NC=70。推导出的度数，即可得出结论.

【解题过程】

解：(1)NB4E+N凡4。=NR4F,理由如下：

如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接4G,

图I

在△ABE和AADG中,

AB=AD

Z.B=AADG=90°,

、BE=DG

••・△/BE也△ADG(SAS),

•••Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

vEF=BE+DF,DG=BE,

・•.EF=BE+DF=DG+DF=GF,

在△AEE和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

••・△/EF也△AGF(SSS),

・•・Z-EAF=Z,GAF=/-DAG+/-DAF=/-BAE+Z.DAF.

故答案为：^BAE+/.FAD=AEAF；

(2)上述结论仍然成立，理由如下：

如图2,延长FO到点G,使DG=BE,连接4G,

•・•(B+^ADF=180°,^ADG+Z.ADF=180°,

•••Z.B=Z.ADG,

在△ABE和△ADG中，

'AB=AD

乙B=AADG,

、BE=DG

•••△/BE也△ADG(SAS),

•••Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

在和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

•••△/EF四△AGF(SSS),

・•・Z.EAF=Z.GAF=/-DAG+Z-DAF=Z.BAE+Z-DAF^

(3)如图3,在。C延长线上取一点G,使得。G=BE,连接AG,

•・•^ABC+乙ADC=180°,L.ABC+^ABE=180°,

•••Z-ADC=乙ABE,

在△ABE和△ADG中，

AB=AD

Z.ABE=乙ADC，

、BE=DG

•••△/BE^ZkADG(SAS),

AG=AE,Z.DAG=Z.BAE,

•・•EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

AF=AF,

、EF=GF

••・△/EF也△AGF(SSS),

Z.FAE=Z.FAG,

•・•Z.FAE+Z.FAG+AGAE=360°,

・•・2(FAE+{/.GAB+Z.BAE)=360°,

•••2/.FAE+{/.GAB+/-DAG')=360°,

^2^FAE+Z.DAB=360°,

1

・•・^EAF=180°--Z.DAB.

2

•・•/,ABC+乙ADC=180°,乙BCD=70°,

・•・乙DAB=180°-70°=110°,

^LEAF=180°--x110°=125°.

2

♦学霸必刷

1.（22-23七年级下•陕西西安•期末）如图，在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=24C,点。是线段4B的中点，

将一块锐角为45。的直角三角板按如图S4DE）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与4D重合，连接

BE、CE,CE与48交于点足下列判断正确的有（）

®AACE=^DBE；②BEICE；③DE=DF；®S^DEF=SAACF

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【思路点拨】

利用△ADE为等腰直角三角形得到NE4D=Z.EDA=45°,EA=ED,则NEAC=Z.EDB=135°,则可根据

“SAS”判断△力CEZADBE(S4S),从而对①进行判断；再禾！J用N4EC=NDEB证明N8EC=NDE4=90。,

贝1|可对②进行判断；由于NDEF=90°-乙BED=90°-/.AEC,乙DFE=^AFC=90°-^ACE,而AC=

AD>4E得至！U4EC>N4CE,所以NDEFC/DFE,于是可对③进行判断；由△4CE<△DBE得至!ISA.E=

s4DBE，由=4。得到SADAE=S^DBE,所以S&4CE=SAD4E，从而可对④进行判断•

【解题过程】

解：•.•48=24C,点。是线段2B的中点，

BD=AD=AC,

・•・△ZOE为等腰直角三角形，

・•・/LEAD=£.EDA=45°,EA=ED,

•・.AEAC=/-EAD+ABAC=45°+90°=135°,乙EDB=180°-Z-EDA=180°-45°=135°,

•••Z-EAC=乙EDB,

在△4CE和△DRE中，

'EA=ED

Z-EAC=Z-EDB,

、AC=DB

:AACE沿XDBE(SAS),所以①正确;

•••Z-AEC=乙DEB,

・•・乙BEC=乙BED+乙DEC=^AEC+乙DEC=LDEA=90°,

・•.BEJ.EC,所以②正确；

•・•乙DEF=90。—乙BED.

而ZTIEC=乙DEB,

・•・乙DEF=90°-4EC,

•・•乙DFE=/.AFC=90°一/.ACE,

而ZC=AD>AE,

・•.Z.AEC>Z.ACE,

乙DEF<乙DFE,

DE>DFf所以③错误；

-AACEADBE,

9

S〉ACE=S^DBE

BD=AD,

SADAE=SADBE，

S“ACE=SADAE，

S.DEF=SMCF，所以④正确•

故选：C.

2.（23-24八年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，在锐角三角形2BC中，4”是BC边上的高，分别以AB,4C为

一边，向外作正方形ABDE和2CFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE,BG和EG,EG与

的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；②BG1CE；③2M是△AEG的中线；④NE4M=41BC.其中

正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于

P,过点G作GQ于。构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正

方形的性质可得可求出NC4E=NB4G,由“边角边”可得△力BG三△AEC,可判断①是否正确；设BG、CE相

交于点N,由ATlBG三A4EC可得乙4CE=NHG8,即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出乙4BH=

^EAP,再证明△ABH三AEAP,根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明AEPMmAGQM,根据全

等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答.

【解题过程】

解：在正方形4BDE和4CFG中，AC=AG,AB=AE,^BAE=^CAG=90°,

.­./.CAG+/-BAC=/-BAE+/.BAC,即NC4E=/.BAG,

^^ABG^^AEC^,AB^AE,/.CAE=^BAG,AC=AG,

:.4ABG三SBC(SAS),

BG=CE,故①正确；

设BG、CE相交于点N,

ABG=△AEC,

•••Z-AGB=Z-ACE,

・•・乙NCF+乙NGF=乙ACF+^AGF=90°+90°=180°,

・•・乙CNG=360°-(乙NCF+Z.NGF+乙F)=360°-(180°+90°)=90°,

BGtCE,故②正确；

过点G作GQ于。，过点E作EP,从4的延长线于尸，如图所示：

・•・4ABH+ABAH=90°,

•・•4BAE=90°,

・•・^EAP+乙BAH=180°-90°=90°,

・•.LEAP=乙ABH,

在和中，

乙ABH=Z.EAP,乙AHB=^P=90°,AB=AE9

.*.△ABH三△瓦4P(AAS),

Z.EAM=7.ABC,EP=AH,故④正确；

同理可得GQ=AH,

•••EP=GQ,

•在GQM中，

ZP=AMQG=90°,Z.EMP=AGMQ,EP=GQ,

•••△EPMGQM(AAS),

EM=GM,

AM是A4EG的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确，共4个.

故选：D.

3.(23-24八年级上•内蒙古呼和浩特•期中)如图，在△ABC中，乙4=90。，△ABC的外角平分线C。与内

角平分线BE的延长线交于点。，过点D作。F1BC交BC的延长线于点R连接A。，点E为3。中点，

下列结论：①4BDC=45°；②：BD+CE=BC；③AB=DF；@S^ADE+S^CDF=S“其中正确的个数

有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【思路点拨】

在直角三角形48C中，由内角平分线和外角平分线可得NDCF=45。+/。8。，由此可证NBDC=45。；根据

三角形BCE的三边关系可知坪。+CE=BC错误；如图所示(见详解)，过点。作DH14C于H,可证△ABE=

△HDE(AAS),△DHC=△DFC(AAS),由此可知48=DF,^AADE+^ACDF=^ADCE-

【解题过程】

解：平分N4BC,CD平分N4CF,

AZ.ABD=4DBC=-7.ABC,/.ACD=/.DCF=-Z.ACF,

22

'：Z.ACF=^LBAC+Z.ABC,

11

・•・Z.ACD=乙DCF=^BAC+L.ABC)=45°+|乙ABC,

又,：乙DCF是△BDC的外角,

"DCF=LBC+乙BDC,

2

：.Z.DCF=-Z.ABC+乙BDC=45°+-zXBC,

22

：.ABDC=45°,故①正确；

•.•点E为BD中点，

J.-BD=BE=DE,

2

在△BCE中，BE+CE>BC,三角形中，两边之和大于第三边,

：.BE+CE=1BD+CE>BC,故②错误；

如图所示，过点。作DH14C于H,

'：DH1AC,

：./-DHE=^BAE=90°,

点E是BD中点，

：.BE=DE,/.AEB=/.DEH,

：.AABE三△HDE(AAS),

：.AB=DH,

又,：乙DCH=LDCF,/.DHC=/-DFC=90°,DC为公共边,

△DHC34DFC[A9,

：.DH=DF,

：.AB=DH=DF,即4B=DF,故③正确；

如图所示，过点。作于H,

BCF

由结论④可知，△ABESA”DE(AAS),△DHCSADFC(AAS),

♦•S44BE=S&HDE，S^DHC=^ADFC,^ADCE=^t^DHE+SADHC，

在△力BD中，点E是BD中点，

,,SAABE=SFDE'

♦•SADCE=SAADE+S^DCF，故④正确.

综上所述，正确的有①③④，共3个

故选：B.

4.（23-24八年级上•河北石家庄•期中）已知力8=10,AC=6,BD=8,其中Z.C4B=4DBA=a,点P以

每秒2个单位长度的速度，沿着C-4-B路径运动.同时，点Q以每秒X个单位长度的速度，沿着D-B-4

路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为t秒.

①若x=1.则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；

②当P、Q两点同时到达4点时，%=6：

③若a=90°,t=5,x=1时，4ACPmABPQ；

④若△力CP与ABPQ全等，贝l|x=0.8或高.

A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④

【思路点拨】

此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置.本

题根据路程等于时间乘以速度求出点尸和点。的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然

后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出4C=6,4P=10-6=4,8Q=80-

DQ=3,PB=AB-AP=6,然后得到4CAP^APBQ不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断

【解题过程】

解：①：点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为f秒，

.,.点尸运动路程为23

若第=1,则点。运动路程为3

・,•点尸运动路程始终是点。运动路程的2倍，故①正确;

②当尸点到达A点时，y6+2=3秒，

TP、。两点同时到达A点，

.*.x=(10+8)+3=6,故②正确；

当t=5,x=1时，

点P运动的路程为2x5=10,点。运动的路程为5x1=5,

\9AC=6,DQ=5,

：.AP=10-6=4,BQ=BD-DQ=8—5=3,

'.'AB=10,

=AB-AP=10-4=6f

：.APWBQ,

・•・△CAP^WLPBQ不全等，故③错误；

④当△/CP时，则4P=BQ,AC=BP.

U：AC=BP,

A10-(2t-6)=6,

t=5,

'：AP=BQ,

10—6=8-5%,

••x=0.8；

当△ZCP三ZkBQP时，贝lj/尸=BP,AC=BQ.

9CAP=BP,

2t—6—10—(21—6)f

9：AC=BQ,

.*.6=8——%,

2

・4

••X—.

11

:.若XACP与XBPQ全等,贝卜=0.8或高，故④正确.

综上所述，正确的选项为①②④.

故选：C.

5.(23-24八年级上•北京海淀•期中)如图，锐角△4BC中，4BAC=60。,BD平分乙4BC,CE平分NACB,BD与

CE相交于点。则下列结论①NBOC=120。；②连接ED,则EO||BC；®BC=BE+CD；④若B。=4C,则

AABC=40°.其中正确的结论是()

【思路点拨】

本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知识点，解

题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形.①根据NBOC=180。-(NOBC+NOCB)即可判断；②假设

EDWBC,可推出EB=ED=CD得到4B=AC,即可判断；③在BC上取一点/使得BF=BE,证4EBO=

△FB。、△COF三ADOF即可判断；④作BG1CG,CH1AB,证△BG。SACHA△BEGmACEH,设NEBG=

Z.ECH=x,根据/E8C=NECB即可判断.

【解题过程】

解："：ABAC=60°,

J./.ABC+/.ACB=120°

BD平分N4BC,CE平分N4CB,

，乙OBC+AOCB=|(N4BC+ZXCB)=60°

：ZBOC=180°-(zOBC+Z.OCB)=120°,故①正确;

A

•・・B0平分乙4BC,CE平分乙4俎

，乙EBD=乙CBD,乙ECD=乙BCE

若EDIIBC,

贝UzlEDB=乙CBD,乙DEC=乙BCD

：.Z-EBD=乙CBD=乙EDB,乙ECD=乙BCE=乙DEC

：.EB=ED=CD

VEDIIBC,

：.AB=AC,与题目条件不符，故②错误；

在上取一点F,使得=BE,如图1所示：

■:乙EBD=乙CBD,BO=BO

：.△EBO=AFBO

:,乙EOB=(FOB=180°-Z-BOC=60°

:ZFOC=乙BOC-Z-FOB=60°

V/-DOC=180°-乙BOC=60°

：.Z-FOC=乙DOC

.:乙ECD=(BCE,CO=CO

：.△COF=^DOF

：.CD=CF

•；BC=BF+CF

：.BC=BE+CD,故③正确；

作BG_LCG,CH14B,如图2所示:

A

•；B0=AC,乙BOG=^CAH=60°,Z.BGO="HA=90°,

A△BGO=△CHA

：.BG=CH/OBG="CH=90°-60°=30°

•；BG=CH,乙BEG=乙CEH,乙BGE=（CHE=90°,

A△BEG=LCEH

:・EB=EC,乙EBG=CECH

即：Z.EBG+Z.EBO=30°

C.Z.EBC=乙ECB=-/.ACB

2

设NEBG=Z.ECH=x,则％+乙EBO=30°

■:（EBO=-£.EBC

2

：.x+-乙EBC=30°,Z.EBC=60°-2x

2

•:乙ECB=Z.ACE=^ECH+"CH=x+30°

.,.60°-2x=x+30°

解得：x=10°

：.£.EBC=60°-2x=40°,故④正确；

故选：C

6.（22-23八年级上•河南南阳•阶段练习）如图，NE=NF=90。,NB=^C,AE=AF,给出下列结论：①41=

Z2；②BE=CF；③AACNmAABM；@CN=MB,其中正确的结论是.（将你认为正确的结论序

号都填上）

EC

F

【思路点拨】

本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的

判定和性质，可以证明△4EB三△AFCAAEM=△AFN,AACN=AABM,由此即可---判断.

【解题过程】

解：在AAEB和中，

2E=乙F

Z-B—Z.C,

AE=AF

：.△AEB三△ZFC(AAS),

：.Z.EAB=^LCAF,

■:z.1+Z-CAB=z.2+乙CAB,

Azi=A2fBE=CFfAB=AC,故①②正确，

在aAEM和△4FN中，

z2=zl

AE=AF,

/E=Z-F

：.△AEM且AFN(ASA),

：.EM=NF,

VCF=BE,

：.CN=MB,故④正确，

在AACN和AABM中，

,ZC=4B

/.CAN=/.BAM,

CN=MB

：.^ACNSAXBM(AAS),故③正确，

故答案为：①②③④.

7.(23-24八年级上•广东中山•期中)如图，点C在线段48上，DA1AB,EB1AB,FC1AB,S.DA=BC,

EB=AC,FC=AB,AAFB=51°,连接DF,EF,则NDFE=

【思路点拨】

根据等腰三角形的性质推出乙8。F=4BFD,求出乙4FE=/.BFD=45。即可求出答案.

【解题过程】

解：连接肛AE,

VDA1AB,FC1AB,

A.DAB=/-BCF=90°,

在△D4B和ABCF中，

'DA=BC

Z.DAB=乙BCF,

.AB=FC

：.ADAB三△BCF(SAS),

：.BD=BF,AADB=/.ABF,

：.ABDF=乙BFD,

:4DAB=90°,

：.^ADB+^DBA=90°,

:.乙DBF=2LABD+乙ABF=90°,

:.乙BFD=乙BDF=45°,

同理N4FE=45°,

:.乙DFE=45°+45°-51°=39°,

故答案为：39。.

8.（23-24八年级上•浙江宁波・期末）如图，等腰△力BC中，AB=AC,^BAC=70°,。为AABC内一点,

且NOCB=5°,^ABO=25°,贝此。"=.

【思路点拨】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长B。交NB4C的角平分线于点P,连结CP,

根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出乙4BC=乙ACB=55°,Z.BAP=4cAp=35°,进而得出NOBC=

30°,利用SAS证明AAPB三Aacp,根据全等三角形的性质求出"IBP=N力CP=25。，^APB-^APC,根

据角的和差及三角形内角和定理求出N8PC=120。，结合平角定义求出/4PC=120。=NBPC,利用ASA证

明△力PCOPC,根据全等三角形的性质得出4P=OP,再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可.

【解题过程】

解：如图，延长B。交NBAC的角平分线于点P,连接CP.

••,4P平分NB4C,ABAC=70°,

•••乙BAP=^CAP=35°,

VAB=AC,/-BAC=70°,

・・・/.ABC=乙ACB=55°,

・・•(ABO=25°,

・・・Z,OBC=^ABC-乙ABO=30°,

在aaPB和△4CP中，

AB=AC

Z-BAP=Z.CAP,

AP=AP

/.△APB三△ACP(SAS),

・•・Z.ABP=Z.ACP=25°,乙APB=44PC,

・・・乙BCP=Z.ACB-乙4cp=30°,

・•・乙BPC=180°-乙PBC-Z-BCP=120°,

・•・Z-APB+Z.APC=360°-120°=240°,

・•・乙4PB=乙APC=120°=乙BPC,

・・・Z-OCB=5°,

・・・ZOCP=乙BCP-Z-OCB=25°=4ACP,

在△4PC和△OPC中，

/-ACP=乙OCP

CP=CP,

AAPC=〃)PC

/.△APCOPC(ASA),

・•・AP=OP,

・・・L.OAP=BOP=|x(180°-Z.APO)=30°,

・・・^OAC=£.OAP+Z.CAP=65°,

故答案为：65°.

9.(22・23八年级上•湖北武汉•期中)如图，在直角三角形中，乙4cB=90。，的角平分线/0、BE

相交于点。，过点。作OF14。交BC的延长线于点F,交/C于点G,下列结论：①=45°；②4。=OE+

OF；③若8。=3,4G=8,则48=11；④S“CD：S“BD=CD:BD.其中正确的结论是.(只填写

序号)

A

【思路点拨】

根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长F。交48于X,通过

证明△4。“三AAOG,ABODE4BOH,利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明ABOA三ABOF,利

用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，

从而得解.

【解题过程】

解：:△ABC的角平分线A。、BE相交于点。，

"0=皿。=2孔，血。=皿C=^BAC,

乙BOD=AAB0+Z.BAO=|("BC+NBAC)=X90°=45°,

故①正确；

延长F。交AB于”，如图所示：

又..";M。=NG4。，4。=4。,

：.^AOH=AAOGQASA),

：.AG=AH,OG=OH,

:.乙BOH=180°-4BOD-乙DOF=45°,

:.乙BOH=(BOD=45。，

•••△BODw△BOH(ASA),

；・BD=BH,OH=OD,

：.AB=AH+BH=AG+BDf

•；BD=3,AG=8,

：.AB=11,

故③正确；

V/.BOA=乙BOH+乙AOH=135°,乙BOF=乙BOD+乙DOF=135°,

J.^LBOA=乙BOF,

：.ABOA=ABOF(ASA)f

：.A0=OF,

*：0H=OD,OG=OH,

：.0D=OG,

：.AD=AO+OD=OF-^OG,

又TNOGE=90。一4F,乙BEC=90。一乙EBC,

,\Z-OGEW乙BEC,

：.0EHOG,

：.AD=OFOGOF+OE,

故②错误；

:同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，

^AABD=CD：BD,

故④正确；

因此正确的有：①③④.

故答案为：①③④.

10.(22-23八年级上•江西赣州•期末)如图，△IBC中,乙4cB=90。，AC=8cm,BC=14cm,点尸从A

点出发沿4-C-B路径向终点运动，终点为8点，点。从B点出发沿B-C-2路径向终点运动，终点

为A点，点P和。分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运

动，分别过尸和。作PE11于E,QFl/于凡设运动时间为t秒，要使以点P,E,C为顶点的三角形与以

点Q,F,C为顶点的三角形全等，贝1的值为.

B

A

【思路点拨】

先求出点P从A点出发到达点C和点B所需要的时间，点Q从B点出发到达点C和4点所需要的时间，然后根据P、

Q所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间t表示，然后列出方程即

可得出结论.

【解题过程】

解:由题意知，点P从2点出发到达点C所需要的时间为：8+2=4s；到达点B共需要的时间为：（8+14）+2=

11s

点Q从B点出发到达点C所需要的时间为：14+3=£S；到达点4共需要的时间为：（8+14）+3=£S

当0W1W4,点P在2C上，点Q在BC上，如图所示：

此时AP=2t,BQ=3t

CP=8-2t,CQ=14-3t

•••APEC=Z.ACB=乙QFC=90°

•••LPCE+乙QCF=90。,NCQF+QCF=90°

.­.乙PCE=乙CQF

•••要使以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等

•••CP=CQ

.­-8—2t=14—3t

:.t=6（不符合题意，舍去）；

当4<twg,点P在BC上，点Q在上，如图所示：

B

A

\^P&)/

CE(F)

・••要使以点P,E,。为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等

・•.P和Q重合,E和F重合

:.CP=2t-8,QC=14-3t,CP=QC

2t—8=14—3t

t=Y(符合题意)

当拳点P在BC上，点Q在/c上，如图所示：

FCE

・•.CP=2t-8fCQ=3t-14

•・•乙PEC=乙ACB=乙QFC=90°

・•.Z.PCE+乙QCF=90。，乙CQF+QCF=90°

・•・乙PCE=Z.CQF

•••要使以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等

・•.CP=CQ

2t—8=3t—14

•••t=6（符合题意）；

当彳＜1411,点P在上，点Q与点/重合，如图所示：

CP=2t-8fCQ=CA=8

•・•乙PEC=Z.ACB=/.QFC=90°

•••(PCE+4QCF=90°,Z.CQF+QCF=90°

・•・乙PCE=乙CQF

•・•要使以点P,E,。为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等

・•.CP=CQ

2t—8=8

•••t=8(符合题意)；

.••要使以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等，贝亚=8或t=6或t=当

故答案为：?或6或8.

11.(23-24八年级上内蒙古鄂尔多斯•阶段练习)如图.在△ABC中，4ABe=60。.AD,CE分别平分NR4C,

/-ACB.

(1)求NE。。的度数；

(2)求证：OD=OE.

【思路点拨】

本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分

线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质.

(1)先由乙4BC=60。得NBAC+N力CB=120。，然后根据三角形内角和得到N40C=120。，所以NE。。=

Z.XOC=120°；

(2)在4C上截取CF=CD,连接。尸，先证明ACODSACOF,得。。=OF；再证明AAOE=AAOF,得。E=

OF,所以。D=OE.

【解题过程】

⑴解：•••AABC=60°,

•••/LBAC+乙4cB=120°,

•••AD,CE分另ij平分NB4C,^ACB,

•••/.CAD=-ZFXC,/.ACE=-^ACB,

22

1

・•・乙AOC=180°-{Z.CAD+RACE)=180°--^BAC+乙ACB)

=180°--x120°=120°,

2

・•・乙EOD=Z.AOC=120°,

的度数是120。；

(2)在ZC上截取CF=CD,连接。F,

在△COO和△COF中,

CD=CF

"CD=Z.OCF,

OC=OC

.*.△COD=ACOF(SAS),

OD=OF；

•・•^AOC=120°,Z.AOE=乙COD=180°-Z,EOD=60°,

・•.Z,COF=乙COD=60°,

・•・AAOF=AAOC-乙COF=60°,

・•.Z.AOE=Z.AOF,

在A/OE和AZOF中，

^OAE=AOAF

OA=OA,

./LAOE=Z.AOF

・••△/OE=A71OF(ASA),

・•.OE=OF,

OD=OE.

12.（22-23七年级下•重庆南岸・期末）在NM4V点D,过点O分别作14M,DC1AN,垂足分别为8,C.且

BD=CD,点E,F分别在边和AN上.

(1)如图1,若乙BED=£CFD,请说明DE=DF

(2)如图2,若NBDC=120。，AEDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的

理由.

【思路点拨】

(1)由。81AM,DC1AN,可得4EBD=4FCD,结合BD=CD,/.BED=Z.CFD,可证ABED三八

CFD(ASA),即可求解，

(2)在上取点G,使BG=CF,通过证明△GBD三△FCD,AGDE三△EFD,即可求解，

本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形.

【解题过程】

⑴解：•••DB1AM,DCLAN,

Z.EBD=乙FCD,

•••BD=CD,乙BED=CCFD,

BEDCFZ)(ASA),

DE=DF,

(2)解：在BM上取点G,使BG=CF,

M

图2

•••DBLAM,DCLAN,

・•・(GBD=Z-FCD,

•・•BD=CD,BG=CF,

/.△GBD三△ECO(SAS),

DG=DF,Z,GDB=乙FDC,

•・•(BDC=120°,Z.EDF=60°,

・•・乙EDB+乙FDC=120°-60°=60°,

・•・乙EDB+乙GDB=60°,即4EOG=60°,

・•.△GDE=△EFD(SAS),

EF=EG,即：EF=BE+BG=BE+CF,

・•.EF=BE+CF.

13.(23-24八年级上.吉林・期末)(1)如图1,在ATIBC中，ABAC=90°,AB^AC,直线机经过点A,

BO1直线机.CELS线相，垂足分别为。，E.求证：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为在△力BC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，且有/BD4=AAEC=

^BAC=a,其中a为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由.

【思路点拨】

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

(1)由直角三角形的性质及平角的定义得出4=可证明△408WZXCEZ(AAS),根据全等三角

形的性质及线段的和差求解即可；

(2)与(1)类似，可证明△4)8三△CEA(AAS),根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

【解题过程】

解：(1)・.・8。_1直线相，“，直线机，

：.Z-BDA=/.CEA=90°.

：.Z.BAC=90°,

：./.BAD+Z.CAE=90°.

,：Z-BAD+/-ABD=90°,

：.Z.CAE=Z.ABD.

在和中，

A.BDA=Z.AEC,

乙ABD=Z.CAE,

AB=CA,

：.△ADB=△CEZ(AAS),

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AEAD=BD+CE.

(2)成立.证明如下：

VZ-BDA=Z-BAC=a,

：.Z.DBA+/-BAD=匕BAD+Z.CAE=180°-a,

：.Z-CAE=乙ABD.

在和△(7瓦4中，

^LBDA=Z.AEC,

Z-ABD=Z-CAE,

、AB=CA,

：.^ADB三△CE/(AAS),

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE.

14.(23-24八年级上•安徽安庆・期末)(1)如图①，在△ABC中，若4B=6,AC=4,AD为BC边上的中

线，求4。的取值范围;

(2)如图②，在△ABC中，点。是BC的中点，DEIDF,DE交AB于点E,DF交力C于点尸，连接EF,判

断BE+CF与EF的大小关系并证明；

(3)如图③，在四边形4BCD中，ABWCD,AF与DC的延长线交于点R点E是BC的中点，若4E是NB4F的

角平分线.试探究线段力B,AF,CF之间的数量关系，并加以证明.

(1)由已知得出4B-BE<4E<4B+BE,即6-4<2E<6+4,AD为4E的一半，即可得出答案；

(2)延长尸。至点M,使DM=DF,连接BM,EM,可得ABMDmACFD,得出BM=CF,由线段垂直平

分线的性质得出EM=EF,在A8ME中，由三角形的三边关系得出BE+8M>EM即可得出结论；

(3)延长4E,DF交于点G,根据平行和角平分线可证4F=FG,也可证得A48ESAGCE,从而可得2B=

CG,即可得到结论.

【解题过程】

解：(1)如图①，延长4。到点E,使DE=4D,连接BE,

：£)是BC的中点，

：.BD=CD,

'：^.ADC=乙BDE,

：.AACDmAEBD(SAS),

：.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

・・・6-4<ZE<6+4,，

：.2<AE<10,

Al<AD<5,

故答案为：IV40<5；

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延长尸。至点“，使。M=DR,连接BM、EM,如图②所示.

同(1)得：△BMDNZkCED(SAS),

：.BM=CF,

9：DE1DF,DM=DF,

：.EM=EF,

在aBME中，由三角形的三边关系得:

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如图③，延长DF交于点G,

9：AB||CD,

Z.BAG=Z.G,

在△/BE和△GCE中,

CE=BE,

|Z-BAG=Z-G,'

y^AEB=乙GEC

：.△ABE三△GEC(AAS),

ACG=AB,

・・・/E是乙84户的平分线，

A/.BAG=Z.GAF,

乙FAG=Z-G,

：.AF=GF,

VFG+CF=CG,

：.AF^-CF=AB.

15.(2023八年级上•全国・专题练习)(1)如图1,在四边形中，AB=AD,乙B=2D=90。,E、F分

别是边BC、CD上的点，且NE4F=^ABAD.求证：EF=BE+FD；

(2)如图2,在四边形力BCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E、F分别是边BC、CD上的点，S.^EAF=

"BAD,(1)中的结论是否仍然成立？

(3)如图3,在四边形力BCD中，AB=AD,AB+AD=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且

^EAF=^BAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，

本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角

形解决问题.

(1)延长EB到G,使BG=DF,连接4G.利用全等三角形的性质解决问题即可；

(2)先证明AaBM三△ADF(SAS),由全等三角形的性质得出4F=AM,Z2=z3.△4ME三△AFE(SAS),

由全等三角形的性质得出EF=ME,即EF=BE+BM,则可得出结论;

(3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接4G.证明ATlBG三△4。工由全等三角形的性质得出N84G=

ADAF,AG=AF.证明A/IEGmAAEF,由全等三角形的性质得出结论.

【解题过程】

证明：延长EB到G,使BG=DF,连接4G.

V/.ABG=N4BC=4。=90°,AB=AD,

••△ABG=△ADF.

*.AG=AF,zl=Z2.

.,.Z.1+Z3=Z.2+Z3=Z.EAF=-Z-BAD.

2

：.Z-GAE=Z.EAF.

^：AE=AEf

/.△AEG=△AEF.

：.EG=EF.

9：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论ET=BE+FO仍然成立.

•・•/.ABC+ZD=180°,z.1+/.ABC=180°,

•••z.1=Z.D,

在△ABM与△ZOF中，

AB=AD

z.1=乙D,

、BM=DF

••.△ABM三△AOF(SAS),

AF=AM,z2=z3,

1

Z.EAF=-Z-BAD=Z.EAF,

2

z3+z4=Z.EAF

即4M/E=AEAF

在△河£•与中

'AM=AF

^LMAE=Z.EAF

、AE=AE

/.△AME=Ai4FE(SAS),

・•.EF=ME,

即EF=BE+BM,

EF=BE+DF；

(3)结论EF=+不成立，应当是=

证明：在BE上截取BG,使BG=OF,连接AG.

VLB+^ADC=180°,^LADF+^ADC=180°,

:•乙B=^ADF.

\9AB=AD,

/•△ABG=△ADF.

：.^BAG=/-DAF,AG=AF.

i

ALBAG+/-EAD=^DAF+Z.EAD=£.EAF=-ABAD.

2

：.^GAE=Z.EAF.

'：AE=AE,

/.△AEG=△AEF.

：.EG=EF,

9：EG=BE—BG,

：.EF=BE-FD.

16.(23-24八年级上•吉林辽源•期末)在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC,AABC=45°.MN是经过点力的

直线，BD上MN于D,

(1)求证：BD=AE

(2)若将MN绕点4旋转，使MN与BC相交于点G(如图2),其他条件不变，求证：BD=AE.

(3)在(2)的情况下，若CE的延长线过AB的中点F(如图3),连接GF,求证：zl=Z2.

【思路点拨】

(1)首先证明N1=N3,再证明A/lOB三ACEa,然后根据全等三角形的性质可得80=4E；

(2)首先证明/瓦1。=乙4CE,再证明AaBO三ANCE,根据全等三角形对应边相等可得8。=AE；

(3)首先证明AAC尸三AABP,然后再证明ABFG三A8PG,再根据全等三角形对应角相等可得NBPG=

乙BFG,再根据等量代换可得结论41=42.

【解题过程】

•••/.BAC=90°,

•••zl+Z2=90°,

又43+乙2=90°,

zl—Z,3,

在△ZOB和△CE4中,

2BDA=Z.AEC

Z3=Z1,

、AB=AC

.*.△ADB=△CE/1(AAS),

・•.BD=AE；

(2)如图2,vBD1MN.CE1MN,

・•.ABDA=/.CEA=90°,

•••/.BAD+ACAE=90°,

Z.ACE+Z.CAE=90°,

Z-BAD=Z-ACE,

在△480和中，

ZBDA=/.CEA

ABAD=/.ACE,

、AB=AC

.*.△ABD三△4CE(AAS),

・•・BD=AE；

(3)如图3,过B作BP||/C交MN于P,

•••BP||AC,

・•・乙PBA+Z-BAC=180°,

•・•乙BAC=90°,

・•・乙PBA=ABAC=90°,

由(2)得：^BAP=AACF,

・•・在△4CF和△ABP中，

Z.PBA=4FAC

AB=AC，

ZBAP=^ACF

ACF=AXBP(ASA),

Z1=Z.BPA,AF=BPf

BF=AF,

BF=BP,

・・・△4BC是等腰直角三角形，

・•・乙ABC=45°,

又•・•Z.PBA=90°,

・•・乙PBG=45°,

•••Z-ABC=Z-PBG,

在aBFC和中，

BF=BP

Z.FBG=乙PBG，

、BG=BG

.*.△BF