2025年人教版八年级数学下册同步训练：平行四边形的判定（2个知识点+5类热点题型+习题巩固）解析版

第02讲平行四边形的判定

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合

①平行四边形的判定适的判定方法判定平行四边形。

②三角形的中位线2,掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位

线进行判断与对性质的熟练应用。

02思维导图

平行四边形的判定

03知识清单

知识点01平行四边形的判定

1.平行四边形的判定:

元素判定方法与文字语言数学语言图形

一组对边平行且相等的"：AB_幺_CD或AD_^_BC

A2

四边形是平行四边形

，四边形48CD是平行四边形

边

两组对边分别平行的四TAB〃CD,AD//BC

BC

边形是平行四边形二四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四VAB=CD,AD=BC

边形是平行四边形...四边形/8CD是平行四边形

*.*/ABC=/ADC,

两组对角相等的四边

角/BAD=/BCD

形是平行四边形

/.四边形/BCD是平行四边形

对角线相互平分的四边9：OA=PC,OB=OP

对角线

形是平行四边形/.四边形/BCD是平行四边形

【即学即练1】

1.如图，四边形/BCD中，对角线NC、3。相交于点。，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边

分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）两组对角分

别相等的四边形是平行四边形.（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可.

【解答】解：A、AB//DC,可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是

平行四边形，故此选项不合题意；

B、AB//DC,ND=8C不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；

C、AO=CO,80=0。可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故

此选项不合题意；

D、AB=DC,NO=3C可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形,

故此选项不合题意；

故选：B.

【即学即练2】

2.如图，在四边形/BCD中，若AB〃CD,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB=CD

（答案不唯一），使四边形/BCD是平行四边形.

AD

【分析】由平行四边形的判定方法即可得出结论.

【解答】解：添加条件48=8,可得四边形ZBCD为平行四边形，理由如下：

•:AB=CD,AB//CD,

四边形N3CD为平行四边形，

故答案为：AB=CD(答案不唯一).

【即学即练31

3.已知：如图，在四边形48CZ(中，AD//BC,DELAC,BFLAC,垂足分别为£、F,DE=BF,求证:

四边形/BCD是平行四边形.

【分析】先证△4ED咨△CF2G4/S),得4D=BC,又由4D〃8C,即可得出四边形/BCD是平行四边

形.

【解答】证明：

/DAE=ZBCF,

'：DE±AC,BFL4C,

：.ZAED=ZCFB=90°,

在△/££)和△C7喏中，

(Z.AED=Z.CFB

\^DAE=ABCF,

VDE=BF

.,.△AEDm4CFB(W4S),

:.AD=BC,

又•：AD〃BC,

...四边形/BCD是平行四边形.

【即学即练4】

4.如图，四边形N8CD的对角线NC,BD交于点、O,OA=OC,ZBAC=ZDCA,求证：四边形/BCD是

平行四边形.

【分析】证丝△COD(ASA),得OB=OD,再由平行四边形的判定即可得出结论.

【解答】证明：在△/O8与△CO。中，

(Z.AOB=乙COD

\OA=OC,

=LDCO

：.AAOB^/\COD(ASA),

：.OB=OD,

又・.・。4=。。，

四边形ABCD是平行四边形.

知识点02三角形的中位线

1.三角形中位线的定义:

连接三角形任意两边的中点得到的线段叫做三角形的中位线。

2.三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.

几何语言：•.•点。、E分别是48、/C的中点

1

J.DE//BC,DE=-BC

2

【即学即练1】

5.如图，OE是的中位线，若8c=10,则的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】已知。E是△ZBC的中位线，BC=10,根据中位线定理即可求得DE的长.

【解答】解：是△4SC的中位线，

1

：.DE=~BC,

：BC=10,

:.DE=5.

故选：B.

题型精讲

题型01熟悉平行四边形的判定条件

【典例1】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

A.对角线互相平分

B.两组对边分别相等

C.对角线互相垂直

D.一组对边平行，一组对角相等

【分析】利用平行四边形的判定可求解.

【解答】解：/、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；

8、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；

C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意；

。、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故

该选项不符合题意；

故选：C.

【变式1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）

A.相邻的角互补

B.两组对角分别相等

C.一组对边平行，另一组对边相等

D.对角线交点是两对角线中点

【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两

组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组

对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的

判定方法可知，只有选项。不能确定为平行四边形.

【解答】解：根据平行四边形的判定，/、。均能确定为是平行四边形，而C则无法确定为平行四边

形，故选C

【变式2】能判定四边形为平行四边形的条件是（）

A.AB=AD,CB=CDB.ZA=ZB,ZC=ZD

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两

组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组

对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的

判定方法，采用排除法，逐项分析判断.

【解答】解：/、若4B=4D,CB=CD,无法判定，四边形/8CD为平行四边形，故此选项错误；

B、ZA=ZB,ZC=ZD,无法判定，四边形/BCD为平行四边形，故此选项错误；

C、AB=CD,AD=BC,可判定是平行四边形的条件，故此选项正确；

。、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误.

故选：c.

，B

DC

【变式3】下列条件中，能判断四边形/BCD是平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB./4=/B,ZC=ZD

C.AB=AD,CB=CDD.AB//CD,AB=CD

【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两

组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组

对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的

判定，逐一验证即可得出结论.

【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有。正确.

故选：D.

题型02添加平行四边形的判定条件

【典例1】（多选）如图，在四边形/BCD中，若42〃CD,添加一个条件，使四边形/BCD为平行四边

形，则下列正确的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.ZADB=ZDBCD.ZA=ZC

【分析】由4B〃CD,AB=CD,证明四边形48co为平行四边形，可判断/正确；因为AD=

BC,所以四边形488为平行四边形或等腰梯形，可判断3不正确；由乙1DB=/DBC,得AD〃BC,

可证明四边形/BCD为平行四边形，可判断C正确；由4B〃CD,得NABD=NCDB,而/4=NC,BD

=DB,可根据“44S”证明丝△CD8,得AB=CD,则四边形48CD为平行四边形，可判断。正

确，于是得到问题的答案.

【解答】解：'：AB//CD,AB=CD,

四边形/BCD为平行四边形，

故N正确；

'：AB//CD,AD=BC,

四边形/BCD为平行四边形或等腰梯形，

二四边形/BCD不一定为平行四边形，

故2不正确；

"?/ADB=ZDBC,

J.AD//BC,

'：AB//CD,AD//BC,

...四边形ABCD为平行四边形，

故C正确；

".'AB//CD,

：.ZABD=ZCDB,

在△N8O和△CO3中，

（Z.ABD=Z-CDB

，Z-A—Z.C,

（BD=DB

：.AABD^ACDB（AAS）,

:・AB=CD,

四边形/8CD为平行四边形，

故。正确，

故选：ACD.

【变式1】在四边形N2CD中，3。是对角线，ZABC^ZCDA,添加一个条件，下列条件不能判定四边形

48co是平行四边形的是（）

A./4=/CB.AB=CDC.AD//BCD.ZABD^ZCDB

【分析】根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案.

【解答】解：/、已知//8C=NCZM,若N/=NC,即可证明四边形/BCD为平行四边形（两组对角

分别相等的四边形是平行四边形），所以/选项能判定四边形为平行四边形；

B、根据题意若/5=CD,不能进一步得到所以8选项不能判定四边形/8CO为平行四边形.

C、已知若AD〃BC,即ZCBD=ZADB,所以/8〃CD,CB//AD,

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以C选项能判定四边形/BCD为平行四边形.

D、已知若/ABD=NCDB,即所以/8〃CO,CB//AD,两组对边

分别平行的四边形是平行四边形，所以。选项能判定四边形ABCD为平行四边形.

故选：B.

【变式2】在四边形/BCD中,/O=2C,添加下列条件后仍不能判定四边形/BCD为平行四边形的是（）

A.AB=CDB.AB//CD

C.AD//BCD.ZA+ZB=180°

【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A,U：AD=CD,AD=BC,

・・・四边形4BCD是平行四边形，故选项4不符合题意;

B、由45〃。。，AD=BC,可能是等腰梯形，不能判定四边形ZBGD是平行四边形，故选项5符合题意;

C、•:AD=BC,AD//BC,

・・・四边形4BCZ）是平行四边形，故选项C不符合题意;

。、VZA+ZB=1SO°,

:・AD〃BC,

•；AD=BC

・・・四边形是平行四边形，故选项。不符合题意;

故选：B.

A

【变式3】如图，在四边形/BCD中，已知N1=N2,添加下列条件不能判定四边形Z5CD是平行四边形

的是（

B.N3=N4C.AD=BCD.Z1=Z3

【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A,VZ1=Z2,

C.AD//BC,

FAB//CD,

・••四边形ABCD是平行四边形,故选项/不符合题意;

B、VZ1=Z2,

：.AD//BC,

VZ3=Z4,

J.AB//CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形,故选项5不符合题意;

C、VZ1=Z2,

：.AD//BC,

*：AD=BC,

・・・四边形是平行四边形,故选项。不符合题意;

D、Z1=Z3,无法判断四边形48co是平行四边形.故选项。符合题意.

故选：D.

题型03平行四边形的判定证明

【典例1】如图，点/、F、C、。在一条直线上，AB//DES.AB=DE,AF=DC,求证：四边形8CE户是

平行四边形.

【分析】先证△4PS也DCE(S4S),得FB=CE,/AFB=NDCE,则N8/C=NEC凡得FB〃CE,即

可得出结论.

【解答】证明：

NBAF=ZEDC,

在尸8和△£>(7£中，

(AB=DE

\^BAF=^EDC,

UF=DC

:.△AFB咨ADCE(SAS),

:.FB=CE,ZAFB^ZDCE,

：.ZBFC=ZECF,

：.FB//CE,

又,：FB=CE,

二四边形BC斯是平行四边形.

【变式1】如图，B,E,C,尸在一条直线上，已知AC//DF,BE=CF,连接ND.求证：四边

【分析】证出△/8C丝△OEP(4S4),得出再结合48〃DE,即可证出四边形是平行

四边形.

【解答】证明：'：AB//DE,AC//DF,

：.ZB=ZDEF,ZACB=ZF.

•:BE=CF,

：.BE+CE=CF+CE,

:・BC=EF.

在△ZBC和尸中，

(Z-B=乙DEF

\BC=EF,

Vz.ACB=乙F

:.LABC•LDEF(ASA),

：.AB=DE.

5L9：AB//DE,

四边形/BED是平行四边形.

【变式2】如图，四边形的对角线NC,BD交于点、O,已知。是/C的中点，AE=CF,DF//BE.

(1)求证：OD=OB.

(2)求证：四边形48co是平行四边形.#ZZ01

DC

【分析】(1)由点。是/C中点，得出O/=OC,因为NE=C/，贝|JOE=O尸，因为DE〃BE,贝！

=ZOFD,

利用44s证明△3OE和△DO厂全等即可，

(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.

【解答】(1)证明：♦.,点。是/C中点，

：.OA=OC,

,:AE=CF,

：.OE=OF,

'JDF//BE,

：./OEB=/OFD,

在△20E和△DO尸中，

(Z.OEB=/-OFD

，乙BOE=^DOF,

WE=OF

:.ABOEqADOF(AAS),

：.OD=OB,

(2)证明：'：OA=OC,OD=OB,

四边形48CD是平行四边形.

【变式3】已知：如图，E、尸是四边形48co的对角线NC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF//BE.

(1)求证：LAFD94CEB.

(2)求证：四边形/BCD是平行四边形.

【分析】(1)利用。尸〃8E证得NOE4=N8EC,再由NE=CF证得/尸=CE,即可证明△/£＞尸注ZXCBE

(SAS)；

(2)由(1)得到/O=C2,NDAF=/BCE,证出4D〃C5,即可得到结论.

【解答】证明：(1)'：AE=CF,

：.AE+EF^CF+EF,

即AF=CE,

\'DF//BE,

：.NDFA=NBEC,

在△/£)尸和△C8E中，

(AF=CE

\^DFA=^BEC,

VDF=BE

：.AADF^/\CBE(SAS)；

(2)VAADF^/\CBE,

；.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

J.AD//CB,

四边形/BCD是平行四边形.

【变式4】如图，分别以RtZ\/8C的直角边NC及斜边N3向外作等边△NCZ)、等边△N8E,已知/A4C=

30°,EFLAB,垂足为R连接。尸.

(1)求证：BC=AF；

(2)求证：四边形NDFE是平行四边形.

【分析】(1)由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案；

(2)证明RtZ\/EE丝Rt42C4(HL),由全等三角形的性质得出/C=EF,证出即〃由平行四边

形的判定可得出结论.

【解答】(1)证明：•.•孔△/2C中，ZBAC=30°,

:.AB=2BC,

又,二△ZBE是等边三角形，EFLAB,

:・AB=2AF,

：.AF=BC；

(2)证明：在和RtA8C4中,

(AF=BC

\AE=BAf

：.RtAAFE^RtABCA(HL),

：.AC=EF,

•••△4CD是等边三角形，

/.ZDAC=60°,AC=AD,

：.ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°,

又・：EF2AB,

:.EF〃AD,

♦；AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

・••四边形ADFE是平行四边形.

题型04三角形的中位线的性质应用

【典例1】如图，DABCD中,对角线4C、5。交于点。点£是5。的中点.若OE=3cm,则45的长为

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【分析】由四边形N8CD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得O/=OC,又由点E

是8c的中点，易得OE是a/BC的中位线，继而求得答案.

【解答】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

：.OA=OC,

•.•点E是8c的中点，OE=3cm,

.'.AB=2OC=6cm.

故选：B.

【变式1】如图，在口4BC。中，对角线NC与区0相交于点。，E是边CD的中点，连接若N4BC=

50°,NA4c=80°,则N1的度数为()

•D

XI/E

BC

A.60°B.50°C.40°D.25°

【分析】直接利用三角形内角和定理得出N5C4的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得

出答案.

【解答】解：VZ^C=50°,ZBAC=S0°,

ZBCA=1SO°-50°-80°=50°,

•・•对角线4。与5。相交于点O,E是边CQ的中点，

・・・EO是△O5C的中位线，

：.EO//BC,

：.Zl=ZACB=50°.

故选：B.

【变式2】如图所示，在四边形/BCD中，AD=BC,E、F、G分别是45、CD、4。的中点，若ND4C=

20°,ZACB=66°.则NFEG的度数为（）

A.18°B.23°C.31°D.33°

【分析】根据三角形中位线定理得到四=网?，根据平行线的性质得到//GC=ND4C=20°,ZEGC=

180°-ZACB=114°,求出NEGR根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】解：・・・瓜F、G分别是48、CD、4C的中点，

:・EG、FG分别是△45。和△4DC两个三角形的中位线，

11

：.EG//BC,FG//AD,EG=《BC,FG=^AD,

*：AD=BC,

:・EG=FG,

■:EG//BC,FG//AD,

：.ZFGC=ZDAC=20°,N£GC=180°-乙4cB=114°,

:・NEGF=/FGC+/EGC=134°,

•:EG=FG,

1

：.ZFEG=-x(180°-134°)=23°.

故选：B.

【变式3】如图，在四边形/BCD中，AB=6,2C=10,N/=130°,ZD=100°,AD=CD.若点E,F

分别是边ND,CD的中点，则EF的长是()

【分析】连接/C,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出/。4C,结合图形求出NA4C=

90°,根据勾股定理求出NC,根据三角形中位线定理计算，得到答案.

【解答】解：连接NC,

\"DA=DC,Z£>=100°,

AZDAC=ZDCA=40°,

:.NBAC=/BAD-/DAC=130°-40°=90°,

"-AC=>JBC2-AB2=V102-62=8，

■:点、E,尸分别是边40,CD的中点，

1

：.EF=~AC=4,

题型03平行四边形的判定与性质综合

【典例1］如图，在口4BCD中，点G,X分别是48,的中点，点E,斤在对角线/C上，且NE=CF.

(1)求证：四边形EGEff是平行四边形；

(2)连接8D交/C于点O,若AD=10,AE+CF=EF,求EG的长.

AD

E

BC

【分析】(l)先由平行四边形的性质及点G,H分别是48,。。的中点，得出△4G£和△CHF全等的

条件，从而判定△ZGE0ZXCHF(S/S),然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE="F,GE

//HF,则可得出结论.

(2)先由平行四边形的性质及50=10,得出05=8=5,再根据AE+CF=EF及OA=OC

得出4E=OE,从而可得EG是△45。的中位线，利用中位线定理可得£G的长度.

【解答】解：(1)证明：・・•四边形458是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZGAE=ZHCF,

・・,点G,〃分别是CD的中点，

：.AG=CH,

\9AE=CF,

:・AAGEmACHF(SAS),

：.GE=HF,/AEG=/CFH,

：./GEF=/HFE,

：.GE//HF,

又•：GE=HF,

・•・四边形是平行四边形；

(2)连接5。交4C于点。，如图：

•・•四边形4BCZ）是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

•・•瓦）=10,

：・OB=OD=5,

'：AE=CF,OA=OC,

：.OE=OF,

■:AE+CF=EF,

：・2AE=EF=2OE,

：.AE=OE,

又；点G是4B的中点，

:.EG是AABO的中位线,

1

：.EG=~OB=2.5.

：.EG的长为2.5.

【变式1】如图，已知平行四边形/BCD中，2D是它的一条对角线，过/、C两点作CFLBD,

垂足分别为£、F,延长/£、C户分别交CD、AB于点、M、N.

(1)求证：四边形CWN是平行四边形；

(2)已知£>M=2,AN=3,求48的长.

【分析】(1)欲证明四边形NMCN是平行四边形，只要证明。/〃/N,/M〃CN即可;

(2)根据平行四边形的性质解答即可.

【解答】(1)证明：•.ZELBD,CFLBD,

J.AM//CN,

•..四边形ABCD是平行四边形，

/.CM//AN

二四边形CM4N是平行四边形；

(2)解：：四边形/BCD是平行四边形，

：.DC=AB,

•.•四边形C九〃N是平行四边形，

CM=AN,

:.DM=BN,

：.AB=AN+DM=2+3=5.

【变式2】如图，点。是△NBC内一点，连接。2,0C,并将OB,OC,NC的中点。，E,F,G依

次连接，得到四边形DEFG.

(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)若加r为E尸的中点，OM=2,N08C和/OC8互余，求DG,8c的长度.

A

【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得斯〃2C且DG=52C,DG

1一

〃夕C且。G=yc,从而得到Z)K=£F,DG//EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

证明即可；

(2)先判断出N8OC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出E尸即可.

【解答】(1)证明：：。、G分别是/8、NC的中点，

1

J.DG//BC,DG=-^BC,

,:E、尸分别是。3、OC的中点，

1

C.EF//BC,EF=~BC,

：.DG=EF,DG//EF,

...四边形DEFG是平行四边形；

(2)解：•.•/。8。和/。。8互余，

AZOBC+ZOCB=90°,

：.ZBOC=90°,

为E尸的中点，OM=2,

：.EF=2OM=4.

由(1)知四边形。斯G是平行四边形，

：.DG=EF=4,BC=2EF=8.

【变式3】如图，在四边形/8CD中，AD//BC,对角线NC、BD交于点、O,且NO=OC,过点。作E尸_L

BD,交AD于点、E,交于点足

(1)求证：四边形N8C。为平行四边形；

(2)连接8E,若4840=100°,ZDBF=2ZABE,求/48E的度数.

【分析】(1)证△40。乌△C02CASA),得AD=CB,再由4D〃2C,即可得出结论;

(2)先根据线段垂直平分线的性质得则NEBD=NEDB,再证NEBD=NEDB=NDBF=2x,

然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可.

【解答】(1)证明：

；./OAD=NOCB,

在△40D和△C05中，

(Z.OAD=乙OCB

\A0=CO,

JAOD=乙COB

：./\AOD^/\COB(ASA),

：.AD=CB,

又,：AD〃BC,

・・・四边形ABCD为平行四边形；

(2)解：设则

由(1)得：四边形45CZ)为平行四边形，

：・OB=OD,

•：EF2BD,

:・BE=DE,

：./EBD=/EDB,

,:AD〃BC,

：./EDB=/DBF,

：.4EBD=/EDB=ZDBF=2x,

•：NBAD+NABE+NEBD+/EDB=\80°,

.*.100°+x+2x+2x=180°,

解得：x=16°,

即N45£=16°.

05强化训练

1.如图，四边形4BCZ）的对角线相交于点O,下列条件能判定四边形/BCD是平行四边形的是（）

A.AD=BC,OB=ODB.AB=CD,AC=BD

C.AB//CD,OA=OCD.AB=CD,BC//AD

【分析】由平行四边形的判定即可得出结论.

【解答】解：4、AB//CD,OB=OD,不能判定四边形48CD是平行四边形，不符合题意;

B、AB=CD,AC=BD,不能判定四边形45CD是平行四边形，不符合题意;

C、•:AB〃CD,

:./BAO=/DCO,NABO=/CDO,

在△450和△SO中，

（Z.BAO=Z.DCO

、乙ABO=^CDO,

WA=0C

：.AB=CD,

，四边形是平行四边形，

故本选项符合题意；

D、AB=CD,BC//AD,不能判定四边形/BCD是平行四边形，不符合题意;

故选：C.

2.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（）

【分析】依据题意，根据平行四边形的判定定理逐个进行分析可以判断得解.

【解答】解：A,,：AO=CO,BO=DO,

...四边形/BCD是平行四边形，故不符合题意；

B、,:AB=CD,AD=BC,

，四边形/5CZ）是平行四边形，故不符合题意；

C、VZACB=ZDAC=40°,

J.AD//BC,

\"AB=CD,

...不能判定四边形/BCD是平行四边形，故符合题意；

D、N4CB=/C4D=40°,

C.AD//BC,

VZABD=ZBDC=35°,

：.AB//CD,

四边形是平行四边形，故不符合题意；

故选：C.

3.已知四边形/BCD的对角线NC,BD交于点、O,从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边

形/BCD是平行四边形的是（）

①/8=处②/C=20C；（3）ZBAD=ZBCD；④BO=DO.

A.①②B.②④C.①③D.①④

【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可.

【解答】解：①②不能证明不能证明43〃CD,故不能判定四边形/BCD是平行四

边形，故/不符合题意；

②④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形，故8符合

题意；

①③不能证明△48。丝△C08,进而得到故不能判定四边形/BCD是平行四边形，故C不

符合题意；

①④不能证明△/。8之△COD,不能证明/8〃CD,故不能判定四边形/BCD是平行四边形，故。不

符合题意.

故选：B.

【分析】直接利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四

边形判定即可.

【解答】解：：在四边形/8CO中，AB=CD,要使四边形N8CZ）是平行四边形，

还需添加一个条件是：AC=BD或AB〃CD.

故选C.

5.如图，已知△N5D,用尺规进行如下操作：①以点8为圆心，长为半径画弧；②以点。为圆心，

长为半径画弧；③两弧在2。上方交于点C,连接8C,DC.可直接判定四边形为平行四边形

的条件是（）

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论.

【解答】解：由作图知，BC=AD,CD=AB,

四边形/BCD为平行四边形，

故判定四边形/BCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等，

故选：B.

6.如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△N8C,跷跷板中间的支撑杆£尸垂直于地

面（£、尸分别为/8、NC的中点），若EF=35cm,则点8距离地面的高度为（）

【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题.

【解答】解：W、歹分别为/2、4C的中点，EF=35cm,

:.BC=2EF=70（cm）,

.•.点B距离地面的高度为70cm.

故选：B.

7.如图，ZUBC中，ZACB=9Q°,点、D,E分别在8C,NC边上，且/£=4,BD=6,分别连接

BE,点、M,N分别是8E的中点，连接MN,则线段九W的长（）

A.V5B.3C.3V2D.V13

【分析】取A8的中点尸，连接而、儿田，根据直角三角形的性质得到/C/5+NC8/=90°,根据三角

形中位线定理分别求出MR、NF,以及NMFN=90°,根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：取48的中点R连接NF、MF,

△/5C中，VZACB^90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

\'AM^MD,AF=FB,

:.MF是AABD的中位线，

1

：.MF=~BD^3,MF//BC,

：.AAFM=ZCBA,

1

同理，NF=--AE=2,NF//CC,

/./BFN=/CAB,

：.ZAFM+ZBFN=ZCAB+ZCBA=90°,

:・/MFN=90°,

：.MN=VMF2+NF2=V13，

8.现有一张平行四边形48cZ）纸片，AD>AB,要求用尺规作图的方法在边5C,40上分别找点M,

使得四边形4MCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（）

C.甲、乙都对D.甲、乙都不对

【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可.

【解答】解：乙：由作图可知，4M平分CN平分/BCD,

：.ZBAM=ZDAM,ZBCN=ZDCN,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：・AD=BC,AD//BC,

：.ZDAM=ZBMA,ZDNC=ZBCN,

:・/BAM=/BMA,ZDNC=ZDCN,

:・AB=BM,CD=DN,

:・BM=DN,

:・AN=CM,AN//CM,

・・・四边形ANCM是平行四边形；

甲：由作图可知，BM=BA,DN=DC,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.BM=DN,

：.CM=AN,CM//AN,

・••四边形ANCM是平行四边形;

故选：c.

9.如图，在平行四边形48co中，NC=135°,AB=2,AD=3,点、H,G分别是CD,BC上的动点，连

接NH,GH.E,F分别为4H,G8的中点，则斯的最小值是（）

A.2B.V2C孝D.2五

【分析】过点Z作/N,8c于点N,证△N3N是等腰直角三角形，得BN=AN=尬,再由三角形中位线

1

定理可得斯=pG,当NGLBC时，NG有最小值，即所有最小值，即可解决问题.

【解答】解：如图，过点N作NN_L8C于点M

••,四边形/BCD是平行四边形，ZC=135°,

：.AB//BC,

：.Z5+ZC=180",

；./2=180°-ZC=180°-135°=45°,

•：ANLBC,

:.NBAN=9Q°-/B=45°,

/./\ABN是等腰直角三角形，

V2V2r-

：.BN=AN=—AB=—x2=VI-

,:E、尸分别为/8、GHr的中点，

：.EF是△/GH的中位线，

1

：.EF^~AG,

当NG,3c时，NG有最小值，即所有最小值,

当点G与点N重合时，AG的最小值为五，

：.EF的最小值为

故选：C.

10.如图，在口47CD中，E,尸分别是4D,8c的中点，G,〃是对角线2。上的两点，MBG=DH.对

1

于结论：@GF1BD；②/DEH=/BFG；③四边形EGEH■是平行四边形；@EG^-BD.正确的个数

为()

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】证△GBFg/kHDE(£45),得GF=EH,ZBGF=ZDHE,则NFGH=NEHG,得GF〃EH,

再证出四边形EGF"是平行四边形，得EG=FH,故②③正确，/尸G”不一定等于90°,故①不正确，

1

EG=58。不一定成立，故④不正确，即可得出结论.

【解答】解：・・•四边形45co是平行四边形，

：.BC//AD,BC=AD,

：.ZGBF=/HDE,

又E、/分别是的中点，

11

.\DE=-AD,BF=]BC,

:・BF=DE,

在aGB/和汨中，

(BF=DE

\z-GBF=Z.HDE,

VBG=DH

:・AGBF空AHDE(SAS),

:,GF=EH,ZBGF=ZDHE,ZBFG=ZDEH,故②正确

/.ZFGH=NEHG,

：.GF//EH,

・・・四边形EGFa是平行四边形，故③正确

:・EG=FH,

1

而£6=尹£)不一定成立，故④不正确.

•・・NFG〃不一定等于90°,

・・・G/_L5O不正确，故①不正确，

故选：B.

11.四边形48CZ)中，N/+N5=180°,添加一个条件AD=BC或AB〃CD,则使四边形/BCD成为

平行四边形.

【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题.

【解答】解：・.・N4+N5=180°,

：.AD//BC,

二只要添加40=2C或48〃CD,四边形ABCD是平行四边形,

故答案为：4D=BC或4B〃CD.

12.如图，在△/5C中，CD平分N/C3,且CD_L4B于点。，DE〃BC交AC于点、E,BC=3cm,AB

2cm.那么的周长为4cm.

【分析】先由等腰三角形的性质得/。=1。怙再证CE=AE=DE,然后由三角形中位线定理得

3

~cm,即可解决问题.

【解答】解：平分//C8,

ZACD=ZBCD,

•.S_L48于。，

:.NADC=NBDC=90°,

ZA=ZB,

:・AC=BC=3cm,

•：CD_L4B,

1

：・AD=BD=]AB=lcm,ZADC=90°,

,:DE〃BC,

:・NEDC=NBCD,ZADE=ZB,

:・/EDC=NACD,NA=/ADE,

：.DE=CE,DE=AE,

：.CE=AE=DE,

・・・OE是△力8C的中位线，

13

:・AE=DE=~BC=~cm,

33

，△力。£的周长=ZZ)+DE+4E=1+5+5=4(cm),

故答案为：4.

A

B

13.如图，△4BC的顶点坐标分别为/(2,3)、2(-2,0)、C(0,-1)，点。在坐标轴上，若以“、

【分析】根据题意，点。在坐标轴上，则只能在y轴的正半轴上，根据平行四边形的性质即可求解.

【解答】解：依题意，点。在坐标轴上，若以/、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，则点。在y

轴的正半轴上，

设。(0,加)，

.3+0—1+m

：,~27^-2-'

解得：m=4,

故答案为：(0,4).

14.如图，四边形/3CD中，ZA=60°,AD=2,AB=3,点、M,N分别为线段8C,上的动点(含端

点，但点M不与点2重合)，点、E,尸分别为DM