2025年中考数学总复习《二次函数与反比例函数》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《二次函数与反比例函数》专项检测卷附答

案

学校:姓名:班级：考号：

一、单选题

1.若抛物线y=（x+i）（x-i）与无轴围成封闭区域（包含边界）内整点（点的横、纵坐标都是

整数）的个数为七则函数、=履（*＞。）的图象是如图所示的（）

A.L4D.匕

2.如图，一次函数、=依+6的图象与反比例函数y=：的图象交于点A（2,3）,B（-3,-2）,

则不等式依+b＞人的解集是（）

X

A.一3<%<0或x>2B.xv—3或0<%<2

C.—2<%<0或%>2D.一3<元<0或%>3

3.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2Y的图象向左平移5个单位，所得图象的解析式

为（)

A.y=2x2-5B.y=2x2+5C.y=2(x—5尸D.y=2(x+5)2

4.已知点A（4,yi）,B（-1,”），C（-3,”）均在抛物线-4仪+。（〃>0）上，贝Uy/,

丁2,”的大小关系为（）

A.yi<y2<ysB.yi<ys<y2C.y2<yi<ysD.y2<ys<yi

5.如图，双曲线y优>0）经过RR。钻斜边05的中点与边A3相交于点C,若

C.10D.12

6.已知抛物线丁=依2+云+《。。0）的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为（-1川.则下列结

论：@abc>0；（2）4ac-b2<0；③3o+c>0；④关于x的方程依2+法+。="+2无实根.其中

正确的结论是（）

C.①②④D.②③④

二、填空题

k

7.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点尸是反比例函数y=勺图像上的一点，等

X

边三角形PQ4的面积是10,则改=.

8.已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，VAOB的边与反

k

比例函数y=—（%＞。）有交点.

X

面积为6,则k的值为.

（2）如图②，反比例函数'=幺（左＞0）的图象经过VA03的顶点A和边的中点C.若

X

△AOC的面积为6,则左的值为.

k

9.如图，RfAAOB的一条直角边在x轴上，双曲线y=—（尤＞0）经过斜边0A的中点C,

X

与另一直角边交于点O.若S/0CZ）=6,则%的值为.

10.如图，在平面直角坐标系中，oABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2,o）、c（-l,2）,反

比例函数y=：（女00）的图象经过点B,则反比例函数的表达式为一.

11.如图，等腰AABO的边。4在无轴的负半轴上，点8在第二象限且AABO的面积为6,

反比例函数＞=上的图象经过点8,则上的值是.

12.已知正比例函数＞=依(a为常数，awO)与反比例函数y=—的图象的一个交点坐标

X

为(1,相)，则另一个交点的坐标为.

三、解答题

13.有一块形状如图1的四边形余料ABCZ),AB=6,4)=2,ZA=90°,ZD=135°,

tan/3=2,要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上.

(1)如图2,若所截矩形材料的另一条边AE在AD上，设AE=x,矩形A£FG的面积为y,

①求y关于龙的函数表达式.

②求矩形面积y的最大值.

(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如

果不能，说明理由.

k

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂办+6与双曲线y=[(尤＞0)交于A(1,3),B

(3,m)两点，与x轴交于点C,与y轴交于点。，连接。1,0B.

(2)求AOAB的面积；

(3)在x轴上是否存在点P,使△PC£＞的面积等于AOAB的面积的3倍，若存在，请直接写出

所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

15.在平面直角坐标系中，抛物线、=内2+版+4与x轴交于4(一2,0),8(4,0)两点，与y轴

交于点C,点尸是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点尸的横坐标为

m.

⑴请直接写出。，人的值；

(2)如图，若抛物线的对称轴为直线/，点。为直线/上一动点，当BC垂直平分PO时，求加

的值；

⑶过点尸作无轴的垂线交BC于点”，过点尸作》轴的垂线与抛物线的另一个交点为N,线

段尸M,PN的长度之和记为d.

①求d关于加的函数解析式；

②根据d的不同取值，试探索点尸的个数情况.

16.如图，已知A(-4,〃)，3(2,T)是一次函数y=6x+6的图像和反比例函数＞=:的图像

的两个交点.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵求VA03的面积；

(3)根据图像直接写出不等式h+6〈'时x的解集.

x

17.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=/+版-4与x轴交于A(-1,O),5(4,0)

两点，与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线上一点且在x轴上方，满足ND54=/ACO,求。点坐标;

⑶点M为线段BC上一动点(不与3,C重合)，过点M作MPLx轴于点P,交抛物线于点

N.如图2,在抛物线上找一点0,连接AM,QN,QP,使得VPQN与的面积相等，

①求出点。到直线PN的距离；②当线段QN的长度最小时，直接写出此时。点坐标.

18.在平面直角坐标系中，已知点(T,加)，(2,〃)在二次函数y=%2+岳;-3的图象上.

⑴当m="时,求6的值;

⑵在(1)的条件下，当-3<x<2时，求y的取值范围;

(3)若-1WXW2时，函数的最小值为-5,求〃?+”的值.

参考答案

题号123456

答案CADAAC

1.c

【分析】先求出抛物线y=(x+i)(x-i)与坐标轴的交点，再画出大致函数图象，从而可得人=4,

然后根据正比例函数的图象即可得.

【详解】解：对于抛物线y=(x+i)(x-i),

当y=0时，(x+l)(x_l)=0,解得尤=］或彳=_］,

当元=0时，J=-l,

画出抛物线y=(x+l)(x-l)的大致函数图象如下：

由此可知，抛物线y=(x+l)(x-l)与X轴围成封闭区域(包含边界)内整点为(-1,0),(1,0),

(0,-1)和(0,0),共有4个,

贝!］左=4,

所以函数(尤>。)的解析式为y=4x(x>o),

当x=l时，y=4,

观察四个图象可知，只有4经过点(1,4),即为函数>=依(彳>0)图象，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象、正比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题

关键.

2.A

【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质.

观察函数图象即可求解.

【详解】解：观察图象可得，当-3<x<0或x>2时，一次函数的图象位于反比例函数图

象的上方，

不等式ax+b>—的角军集为一3Vx<0或%>2.

x

故选：A.

3.D

【分析】根据“上加下减，左加右减”的方式对原解析式进行变形即可.

【详解】解：将二次函数y=2Y的图象向左平移5个单位，所得图象的解析式为

y=2(%+5了,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握平移后解析式的变化规律.

4.A

【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为x=2,然后比较三个点离y轴的远

近得到力、>2、”的大小关系.

【详解】解：•・,二次函数的解析式为-4QX+C,

/.抛物线的对称轴为直线尤==2,

2a

"：A(4,〃)，B(-1,券)，C(-3,”)，

点C离y轴最远，点A离y轴最近，

:抛物线开口向上，

'.yi<y2<y3.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握依据函数解析式确定函数的开

口方向，对称轴及增减性.

5.A

【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成

的三角形面积的特点以及根据面积转化求出发的值.

过。点作无轴的垂线交尤轴于E点，设出点。的坐标，根据中点可表示点2的坐标，进而

表达点C的坐标，根据面积公式，建立方程，可求出左的值.

【详解】解：过。点作x轴的垂线交x轴于E点，

设。点的横坐标为X,纵坐标就为人,

X

•.,。为的中点.

.•.8(2x,"j,

3k

BC=——,0A=2x,

2x

o13%c/

S=--------2x=o,

22x

.,.左=4.

故选：A.

6.C

【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y="2+6x+c（a二0）

系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与无轴交点的个数的关

系是解题的关键.根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可.

【详解】解：•••对称轴是直线x=-l,

b

—=-1,即b=2a,

2a

:抛物线开口向下,

••av0,

b<0，

抛物线与y轴交于正半轴,

：.c>Q,

abc>0，故①正确;

•・•抛物线与x轴有两个交点,

A/+法+c=0有两个不相等的实数根,

**•Z?2-4ac>Q，

BP4ac-b2<0,故②正确；

,当尤=—1时，y—ct—b+c>0,

tz-2a+c>0,

即-〃+c>0,故③错误；

・・,抛物线的顶点坐标为(-U),

・••抛物线的最大值为九，

二・关于X的方程◎2+陵+。="+2无实根，故④正确；

综上所述，正确的有①②④，故C正确.

故选：C.

7.10

【分析】过点「作于点8,根据等边三角形的性质得出或=。4'则黑侬=京,3,

根据反比例函数上的几何意义，即可求解.

【详解】解：过点尸作P3LQ4于点8,

•・k=2s&POB=^APOA=1。，

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数上的几何意义，熟练掌握反比例函数左

的几何意义是解题的关键.

8.128

【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，/的几何意义，以及三角形中位线

性质.

（1）根据人的几何意义得到忖=6求解，再结合左＞0,即可解题；

2

（2）根据三角形中位线性质得到AFOC的面积为6,VA03的面积为12,设A（〃?,〃），表示

出点8,点C的坐标，利用点A,点C都在反比例函数图象上建立等式求解出m“，即可解

题.

【详解】（1）解：VA03的面积为6,

•阳6

2

二.闲=12,

k>0,

:.k=l2.

故答案为：12.

（2）解：・・・边A5的中点为C△AOC的面积为6,

・•・t£OC的面积为6,NAOB的面积为12,

设A（私外,

—,即5作24,o1,

X

••B=nn

112n]

C—m+——,

2n2

112n

-m-\---x—=mn,

2n2

整理得3胸=24,

解得mn=8,

•••%的值为8,

故答案为：8.

9.8

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三

角形面积S是个定值，即S=g|川，利用的性质求解即可.

【详解】解：作于E,

k

:点C、。在双曲线y=—(x>0)上，

X

•v-q——k

・•Q^OCE~°ROD_2代，

・・,点。为Q4的中点，S：=6,

•,-2，OC=^OA,

••S-OAB=12+—^,

-：CE//AB,

：.AOCEsAOAB,

2Lk

gn2,1

.・二rUd'即12+1J4，

2

:.k=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了反比例函数系数左的几何意义和相似三角形的判定与性质，明确上的几

何意义是解题的关键.

10.y=-

X

【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质

得到BC=Q4=2,BC//OA,进而求出3(1,2),再利用待定系数法求解即可.

【详解】解：:4(2,0),

OA=2,

:四边形ABCO是平行四边形,

ABC=OA=2,BC//OA,

'：C（-L2）,

8（1,2）,

把3（1,2）代入丫=：化20）中得：々=1x2=2,

2

・♦・反比例函数解析式为y=—,

X

2

故答案为：y=-.

x

11.-6

k

【分析】本题考查了反比例函数的比例系数女的几何意义：在反比例函数y=人的图象中任

X

取一点，过这一个点向1轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值阿.根据

反比例函数的比例系数女的几何意义得到;阂=3,然后去绝对值即可得到满足条件的女的

值.

【详解】解:.•£.=6,

0AB=—\k\f

・・・；1左1=3,

\|父二6,

k

•反比例函数y=另图象位于第二、四象限，

X

k——6.

故答答为：-6.

12.（-1,2）

【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称.

【详解】.已知正比例函数>=依（。为常数，4H0）与反比例函数>=二的图象的一个交

X

点坐标为（1,加），

-2。

/.m=——=—2

1

..•交点坐标为。,-2）

:反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

...另一个交点的坐标与点。,-2)关于原点对称，

该点的坐标为(-1,2).

故答案为：(-1,2).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交

点关于原点对称是解题的关键.

13.(l)@y=-^+6x；②当x=2时，y取到最大值10

32

(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为y

【分析】

(1)①由锐角三角函数可求G3的长，由矩形的面积公式可求解；

②由二次函数的性质可求解；

(2)用分别表示3",AF的长，由面积公式和二次函数的性质可求解.

【详解】(1)

解：①如图2,

V四边形A£FG是矩形，

：.AE=FG,ZA=ZFGB^9O0,

•.•tanZB=—=2,

GB

:.GB=-x,

2

AG=AB—GB=6—x,

2

11,,

/.S=AE-AG=x(6-—x)=--x2+6x；

②•.,点E在线段AE上，

.\0<x<2,

11

y=--x9z+6x=-—(x-6)92+18,

・・・当x=2时，y的最大值为io；

(2)

能，如图1,当点E在线段上时，过点。作于

c

:.EF=NH,EN=FH,

小NH、

tanZB=--=2,

HB

:.HB=-NH,

2

-,-ZA=90°=ZAFEfDM±EF,

二•四边形APMF是矩形，

:.DM=AF,AD=MF=2,

•/ZADC=135°,

.\ZEDM=45°f

:.DM=EM=NH-2,

:.AF=NH—2,

3

:.FH=AB-AF-BH=S——NH,

2

33832

:.S=FHNH=7VH(8--NH)=--(NH--)2+y,

OQO

・•・当时，s有最大值为?，

32s

,/—>10,

3

32

•••能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰

直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

14.(l)o=-l,i>=4,k=3

⑵4

(3)存在，P(-2,0)或(10,0)

【分析】(1)把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出8

的坐标，把A、8的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

(2)先由直线解析式求得。(0,4),C(4,0),根据△A0B的面积=△80。的面积-△AO。

的面积求得△AOB的面积；

(3)根据题意得到义尸00。=12,即gpCx4=12,即可求得PC的长，从而求得尸的坐标.

【详解】(1)将点A(1,3)代入y=A(x>0)得：3=1,

X1

解得仁3,

故反比例函数的表达式为：产3?，

x

•,3

将点8(3,m)代入产一得：m=l,

x

故点8(3,1),

[a+b=3

将点A(1,3),B(3,1)代入得<,

\3a+b=l

a=-1

解得

b=4

故。=-1,b=4,k=3；

(2)由一次函数产-x+4可知，D(0,4),C(4,0),

11

则^AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=-x4x3--x4xl=4；

22

(3)・・・△PCD的面积等于△043的面积的3倍.

：.^-PC-OD=n,§P-PCx4=12,

22

：.PC=6,

：.P(-2,0)或(10,0).

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和

一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力.

15.⑴a=-g，b=\

(2)m=l+5/3

--m2+2(0<m<1)

(3)①I=；；②当;<d<2时，P点有2个，当2Vd<6时，尸点只

--m2+4m-2(1<m<4)"

有1个

【分析】(1)把4(-2,0),3(4,0)，两点坐标代入，=加+%+4,求出。切的值即可;

(2)过点P作尸轴交BC于点Q,连接。Q,证明D0〃x轴，得出直线BC的解析式

为V=-x+4,设「［也一:根2+根+4)根据£＞。=尸。，建立方程，解方程，即可求解；

(3)①设尸］根,一!■根2+根+4),。＜机＜4且机工1,则(机，一机+4),根据对称性可得

N^2-m,--^m2+m+4\,则PM=—；病+2根，PN=|加—=|2m—2|进而分类讨论得

--m2+2(0<m<1)

2

出d=<

--m2+4m-2(1<m<4)

,2

②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解.

【详解】(1)解：把A(-2,0),3(4,0)两点坐标代入＞="2+陵+4,得,

J4。-26+4=0

［16a+4b+4=0'

解得，

b=l

(2)解：如图所示，过点尸作尤轴交BC于点Q,连接

h

对称轴为直线》=-9=1,

2a

当尤=0时，y=4,则C(0,4),

V5(4,0),则OB=OC=4,

A△O3C是等腰直角三角形,

:.ZBCO=45。,

丁尸。_L%轴,

.・.PQ//CO

；.NDPQ=45。

BC垂直平分尸。

：.QP=DQ,DPIBC,

・・・VQPQ是等腰直角三角形，

DQ〃龙轴，

设直线5C的解析式为丁二丘+。，将C(0,4),5(4,0)代入得,

J&=4

i必+0=0

Z?=4

解得:

k=-l

所以直线BC的解析式为y=-%+4,

设P一gm2+加+4),

点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则0＜机＜4且根w1,则

2(m,-m+4),

DQ=m-l,PQ=一：冽2+m+4-(—m+4)=-^m2+2m

・・・DQ=PQ

m-l=--m2+2m,

2

解得：机=1+若或加=1-白(舍去)

(3)解：如图所示,

设P1根+根+4，0＜机＜4且机中1,则加（租,一机+4）,

过点尸作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N,

则N点与尸点关于x=1对称,

N12-机，一;加之+加+4

PAf=根2+2加,PN=|m—(2—m)|=|2m—2|

：.d=PM+PN=+2m+\2m-'2\；

当0<机<1时,d=—•-m2+2m+2—2m=——m2+2

22

当1<加<4时，d=--m2+4m-2

2

1

——m+2(0<m<l)

2

：.d=<

1

——m/+4m-2(l<m<4)

I2

--m2+2(0<m<1)

,2

②d=<

1

——m,2+4m-2(1<m<4)

[2

,3

当m=1时，d=3,

119

..•当1<加<4时，d=+4m-2=(m-4)+6,

对称轴为直线机=4,开口向下，当1〈根＜4时，d随加的增大而增大，最大值为6（取不

到）,

,3

当根=1时，d=3,

当0<m<1时,d=一~-m2+2m+2—2m=——m2+2

22

对称轴为直线机=0,开口向下，当0＜m＜1时，d随加的增大而减小,

当“2=0时，d=2（取不到）,

函数图象如图所示，

【点睛】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题，待定系数法求解析式，正确理解题意、

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

Q

16.（l）y=——,y=-x-2.

x

（2）6

（3）TVx<0或x>2.

【分析】（1）先把3（2,7）代入y=?求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待

定系数法求解一次函数的解析式即可；

（2）先求解。的坐标，再利用5AAOB=SAAOC+SABOC,从而可得答案.

（3）由履+可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.

X

【详解】（1）解：把3（2,-4）代入y=?得：

机=孙=2x（-4）=—8,

Q

所以反比例函数的解析式为：y=—-，

X

Q

把A（T,〃）代入y=，,得〃=2,

x

A（-4,2）,

把A（42）,川2,7）代入、=展+匕得：

-4k+b=2k=-l

,解得:

2k+b=-4b=-2"

所以一次函数的解析式为：y=f-2.

(2)解：为》=一%-2,

令丁=0,则x=—2,即。(—2,0),

…^^AOB一口AAOC丁0ABOC

=—x2x2+—x2x4=6.

22

(3)解：由fcc+b<一可得：

x

一次函数的图象在反比例函数图象的下方，

所以：Wx<0或x>2.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的

计算，利用图象法解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键.

17.(l)y=x2-3.x-4

⑶①1;②。(2,-6)或。(1,-6)

【分析】(1)把A(TO),点3(4,0)分别代入解析式y=af+fcc-4,计算即可.

(2)取点E(0,l),先证明/EBO=NACO,再计算直线BE的解析式，联立抛物线的解析式

构造一元二次方程，解答即可.

(3)确定直线BC的解析式为：y=x-4,设机-4),则N(秘］一3,找-4),P(〃*0),

则BW=0-一4)=4一祖，PA=m-(-\)=m+\,设Q(〃，〃2-3〃一4),则点Q到直线PN

的距离为加|,

利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可.

【详解】(1)把A(T。)，点3(4,0)分别代入解析式>=/+法-4,得

。6“+46-4=0

得。一匕一4二0，

故抛物线的解析式为y=f-3%—4.

(2)取点石(0,1),作直线跳交抛物线于点。

・・,抛物线kJ—3x-4,

・・・C(OT),

・・・A(—1,O),点5(4,0),

.・.OB=OC=4,OA=OE=1,

OA=OE

•；＜ZAOC=ZEOB=90°,

OC=OB

：.AAOC^AEOB(SAS),

:.NEBO=ZACO,

设直线BE的解析式为y=kx+b,

.(4k+b=0

*[b=l'

%」

解得，4,

b=l

故直线BE的解析式为y=-^x+l.

根据题意，得f-3无一4=-4x+l,

解得％=—g,%=4(舍去)，

4

、“5,1121

当兀=一二n时，y=--x+l=—,

4416

故

(3)设直线3C的解析式为y=w+。,

将8(4,0),C(0,Y)代入直线的解析式得:

4m+p=0

p=-4

解得

p=-4’

，直线BC的解析式为：y=x-4,

设知(仅m-4),则N(版m2-3m-4),P(m,0),

PA/=0-(m-4)=4-m,==

PN=O—^m2_3/〃-4)=—+—4)=(m+I)(4—，w),

设Q(",n2-3/7-4),

则点Q到直线PN的距离为h=\n-ni\,

①S4ApM=^AP-PM=^(4~m)(m+l),S^PQN=g/WJz=g(4-〃?)(〃?+l)/7

：VPQN与的面积相等，

(4—m)(m+1)=(4-m)(m+1)/z

解得h=l,

故点。到直线PN的距离为1；

②根据点Q到直线PN的距离为1,点。到直线PN的距离为h=时,

|n-m|=1,

〃