高一数学下学期开学摸底考重难点检测卷（解析版）

高一年级下学期开学摸底考重难点检测卷

注意事项：

1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：必修第一册全册；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）

1.（2425高一上•上海•期中）“x=l”是。2=1，，的条件.

【答案】充分不必要条件

【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可

【详解】因为无2=1,解得彳=1或X=—l,

所以“尤=1”是“三=广的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件

2.（2425高一上•上海•期中）设集合A={1,。?},若则。=.

【答案】±72

【分析】根据2GA,由M=2求解.

【详解】解：因为集合A={1,«?},且26A,

所以4=2,解得a=±^2,

故答案为：±五

2

3.（2425图一上•上海嘉定•期末）函数y=的定义域是.

【答案】（y,o）U（o,y）.

【分析】化分数指数事为根式，再由分母不为0即可求得定义域.

_21

【详解】因为函数y=》3=/，所以其定义域为（-8,0）U（0,+“）.

故答案为：（-8,0）U（0,+力）.

4.（2425高一上•上海奉贤•期中）已知〃=log231=logs2,贝I]log3o2=.（用〃和Z?表示）

b

【答案】

ab+b+1

由题意可得利用换底公式结合对数运算求解.

【分析】g=log,5,

b

因为。=则:=

【详解】log23,b=log52,log25,

b

lo2=]=_________1_________=]=b

所以log230log22+log23+log25]+a+，ab+b+1-

b

b

故答案为:

ab+b+\

5.（2425高一上•上海嘉定•期末）已知关于x的方程依2+2元+i=o至少有一个实根，则实数a的取值范围

是.

【答案】a<l

【分析】分。=0与时讨论，当0时，令判别式大于等于零即可；

【详解】当。=0时，方程为2x+l=0,解得x==；

当awO时，方程62+2x+l=0至少有一个实根，贝ijA=4-4a30,解得aWl,

综上，实数。的取值范围是aWl.

故答案为：a<l.

6.（2425高一上•上海•阶段练习）已知/（%）=&[,〃*>0,A=审.G=/（而）(lab]

H=

\a+bJ

试写出A,G,H的大小关系.

【答案】A<G<H

【分析】根据基本不等式易得字2底上当，进而结合指数函数的单调性判断大小即可.

2a+b

【详解】由。,6>。，则手2/石，当且仅当。=6时等号成立，

2ab2ab-

而---二.广=4^,当且仅当a=〃时等号成立，

a+b2y/ab

niIa+bi—r2ab

2a+b

因为函数y（x）=（g]为减函数，

所以（底）即AVGVH.

故答案为：A<G<H.

7.(2425高一上•上海宝山•阶段练习)已知a,b,c为实数A=^A-|(x+a)(x2+Z?x+c)=o|,

2

B={Ai(«x+l)(Cx+fe+l)=0},用间表示有限集合S的元素个数，阈-恸的取值集合为

【答案】{0,1}

【分析】令"x)=(x+")(x2+6x+c),g(x)=(or+l)Lx2+6x+i),由通力。时，8卜卜尤力—,〃x),g(x)

的零点一一对应求解.

【详解】令/(X)=(%+。)(%2+Zzx+c),g(%)=(ox+l)(cx2+&V+1),

设g(xo)=°(%eR),显然不二0,则8优六々"［：］,

所以除无=。外，〃x),g(x)的零点一一对应,

又存在。，b,c,使得"0)=0,

所以|川=恸或阈=忸|+1,

则W-忸|=。或1,

故答案为：{0,1}

8.(2425高一上•上海杨浦•期中)下列关于不等式的命题是假命题的序号为___.(1)若!<：<0,则。+匕<0,

ab

ab<b2•,(2)用反证法证明。=0或b=0时可假设a厚0；(3)若a,b为正数，则>p2匕+岫2；(4)设

x,yeR,若W+|x-4|+|y|+|y-2|46,则孙的取值范围为［0,6］.

【答案】(3)(4)

【分析】利用不等式的性质和作差法可判断(1)和(3)；通过逻辑推理可判断(2)；利用特殊值法可判断

(4).

【详解】对于(1),由!<工<0得6<a<0,

ab

贝Ija+Z?v()成立且a/?>0,

t^b2—ab=b(b—a^>0,即abv/成立，因止匕(1)为真命题；

对于(2),当必。0不成立时，有而=0成立，即。=0或人=0,故(2)为真命题;

对于（3）,a3+b3-^a2b+ab2^=a2^a-b^+b1（b-a）=^a-b'）（^a1-b2^=（a-b^（a+Z?）,

显然，当a=6时，“3+63>/匕+"2不成立，故（3）为假命题；

对于（4）,假设x=4,y=2,此时N+|x-4|+|y|+|y—2]=6,满足国+忖一4|+3+,—2区6,孙=8不满足

孙40,6],故（4）为假命题；

故答案为：（3）（4）

9.（2425高一上•上海嘉定•期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设/为地震时所散发出来的相对能

量程度，里氏震级度量/定义为厂=：电/+2,则7级地震和6级地震的相对能量比值是.（结果精确到

个位）

【答案】32

【分析】设7级时能量为人，6级时能量为人，利用已知条件结合对数的运算性质求出;即可.

[2

【详解】设7级时能量为人，6级时能量为人，

22

则7=—lgI1+2,6=—lgZ2+2,

两式相减得7-6=§（lg/「IgA）,

所以lg?=[=L5,所以?=1。"=而丽，

‘2’’2

注意到31.52=992.25（1000,32x32=1024）1000,

所以人32.

故答案为：32.

10.（2425高一上•上海宝山•期中）大西洋鞋鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鞋鱼

的游速v（单位：m/s）可以表示为v=glog3备，其中。表示鞋鱼的耗氧量的单位数.若一条鞋鱼游速为

w

2m/s时耗氧量的单位数为U,游速为3m/s时耗氧量的单位数为W,则》=.

【答案】9

【分析】利用对数的运算法则计算即可.

1771W

【详解】根据题意可得2=万1%悬，3=-log3-^-,

乙J.乙J.\J\J

1W1UWU

两式相减得l=-log---------log—,所以2=log-------log——,

口326331002631003310033100

所以2=log3土，所以亍=32=9.

故答案为：9.

11.（2425高一上•上海•阶段练习）设函数〃x）=］g1+2：+3*+，49：+50%,其中qeR,如果不等式

l）lg50在区间［1,+⑹有解，则实数。的取值范围为一.

【答案】-m

2

【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：（-1-。）50,＜了+2，+3工+...+49，，再变量分离得到

-1-。＜（才1广+（27厂+（231+.+（|49^『，原不等式在区间［1,+8）上有解，即l-a小于右边的最大值.根据

指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数。的取值范围.

【详解】不等式f（x）〈（尤—l）lg50,即］g1+2'+3'+L+49'+50'4＜@_］）炮50=坨50­,

—50

•••原不等式可化为1+2工+3,+L+49,+50%＞-50,，

移项得-(1+。)50,<1'+2'+3*+…+49”,

两边都除以503得—1—y1+(—2y+(3/+…+(49/(*)

不等式/（x）＜（x-l）lg50在区间［L+s）有解，即（*）式的右边的最大值大于-1-a,

11?a40

gM=(―)x+(―)x+(―)%+...+(―)x在［1,+8)上是一个减函数

W/、附目一/七位12349150x4949

.,.当％=1时，g(x)的最大值为一+—+—+...+一=一x--------=一

505050505022

4951

因此-〜＜万，得实数〃的取值范围是-万

故答案为：a＞-

12.（2425高一上•上海奉贤•期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理.实际上，一元三次方程

也有对应的韦达定理：一元三次方程0?+法2+次+〃=0的三根为不，9，工3满足：

lg3x+21g-lgx-2=0

32

玉+々+%=-2,%/2+%2%3+%3项=—,X{X2X3=--.已知无,"Z满足：<-lgJ+21gJ+1gJ-2=0和

aaa々0

81g3z+81g2z-21gz-2=0

100x2-1001x+2024^y=01

其中x,一,z?互不相等，贝1］左=

100z4-1001z2+2024^y=0y

【答案】

2024

【分析】结合二、三次方程的韦达定理建立关于％y，z的等量关系，整体消元解方程组可得.

【详解】由题意X,一*2互不相同，则Igxjg—Jgz?互不相同.

yy

即lgx,-lgy,21gz（x>0,y>0,z>0）互不相同.

lg3x+21g2x-lg尤-2=0

由已知，Tg3y+21g2y+]gy-2=0,

81g3z+81g2z-21gz-2=0

可得lgx,-lgy,21gz是方程r+2产t-2=0的三个不同的实数根.

由一元三次方程的韦达定理得

丫,21

lgx-lgy+21gz=-2,即一=10-2=—

y100

100x2-100lx+2024^=0

且〉为一常数,

100z4-1001z2+2024jty=0

则x,z2是方程100/一100"+2024仔=0的两不等根,

则由韦达定理可得，疝2=黄静②,

联立①②解得人心.

1

故答案为:

2024

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解并应用一元三次方程的韦达定理，再通过根与系数的关系

建立方程组求解.

二、单选题（本大题共4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）

13.（2425高一上•上海•阶段练习）若集合M=,|a=x+括y,x,yCQ）,则集合M是集合Q的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据充分必要条件关系判断.

【详解】卜=%+百y,x,yeQ},

当y=0,xeQ时，aeQ,

当yw。时，因为所以。=x+退yeQ,

综上，集合Q是集合”的真子集，即集合M是集合Q的必要不充分条件.

故选：B.

14.（2324高一上•上海浦东新•期中）下列不等式①。+!》2；②片+424a；③2+”2；④当空《油，

aaba+b~

其中恒成立的是（）

A.①④B.③④C.②③D.①②

【答案】C

【分析】利用特殊值判断①④，根据完全平方数的非负性判断②，利用基本不等式判断③.

【详解】①当。=-1时，①显然错误；

②因为（。一2）2\0,所以"+424。成立，②正确；

③显然OHO,b^O,所以＞3=3+£之2,当且仅当时=同时取等号，③正确；

④当必＜0时，④不成立.

故选：C.

15.（2324高一上•上海闵行•期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数

的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有

独特的优势.已知lg2aO.3OLlg5aO.699,贝|2S023的估算值为（）

807

A.1（）805B.1（）806C.IOD.1（）808

【答案】A

【分析】现根据对数运算结合已知数据求出炮2.52必合805,根据指对互化，即可得出答案.

【详解】lg2.52023=20231g2.5=2023（lg5-1g2）«2023x（0.699-0.301）=805.154«805,

所以，2.52023«10805.

故选：A.

16.（2425高一上•上海黄浦•期中）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20m,肇事汽车

在该路段的限速为30km/h.根据经验，在该路段的刹车距离d（单位：m）与刹车前的速度v（单位：km/h）

之间的关系为d=ov+初2,下面的表格记录了三次实验的数据：

v（单位：km/h）51020

d（单位：m）1.20252.7256.73

对于以下两个结论:

①若该肇事汽车刹车前的速度为%,则%的最小正整数的值为41km/h；

②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶.

其中正确的是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】C

【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解.

1.2025=5。+2560=0.2085

【详解】由题意可得

2.725=10。+100。b=0.0064

即d=0.2085v+0.0064V2,对称轴在V轴左侧，知该函数在（0,+8）上单调递增,

又Mx=电59<20,4“产19.3<20,"匚产20.05>20,

・••若该肇事汽车刹车前的速度为%，则%的最小正整数的值为42km/h,

二①不成立；

又％的最小正整数的值为42km/h>30km/h,

可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，，②成立.

故选：C.

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17.（2425高一上•上海•开学考试）若集合A={尤|。<%<2"-1},B=[x\\<x<m],且AuB,求：a的取

值范围

m+1

[答案]当机>1时，a<2;当机W1时，a<\.

【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系，分类列式求解即得.

【详解】当机>1时，若A=0,BP2a-l<a,解得aWl,满足Au5,贝！Ja«l,

m+1m+1

若由Au5,^X<a<2a-\<m,解得----,因止匕aW-------；

22

当m时，B=0,由Au5,得A=0,因此2。一1«〃，即

“7+1

所以当相>1时，〃的取值范围是。工一「；当mW1时，〃的取值范围是aVl.

2

18.（2425高一上•上海徐汇•阶段练习）命题2：%>3或％v2；命题4:V+2Q%+2a+b-1>0.

（1）若b=4时，d+2a;v+2a+b一l>0在x£R上恒成立，求实数4的取值范围;

(2)若。是4的充要条件，求出实数。力的值.

【答案】(1)-1<”3

[5

a=——

⑵2

6=12

【分析】(1)根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案.

(2)由P是q的充要条件，可知3和2是方程Y+2分+20+6—1=0的两个根，利用韦达定理即可求得答

案.

【详解】(1)若6=4时，炉+2公+24+3>0在xeR上恒成立，

A<0,即4a~—4(2<J+3)<0,

••一1vav3

(2)若P是q的充要条件，贝I」3和2是方程£+2分+2a+8一1=0的两个根，

[3+2=-2a

由韦达定理知，

[3x2=2a+b-l

n---5

解之得2.

6=12

19.(2425高一上•上海•随堂练习)定义：a区方=l(H0J

⑴计算2(8)3.

(2)猜想下列结论是否成立并说明理由：

结论1：a®b-b®a；

结论2：a®[b+c)=a®b+a®c.

【答案】(DIO,

(2)结论1成立，结论2不成立；理由见解析

【分析】(1)根据新定义，结合指数幕运算性质求解即可；

(2)根据新定义，结合指数幕运算性质证明结论1即可，对于结论2,可以用举反例否定即可.

【详解】(1)2(8)3=102103=105

(2)a0b=10a+b,b0a=10h+a,

所以结论1成立

a0(Z?+c)=10fl10,6+c)=10a+i,+c,

而a（8）》+。（8）c=10"+"+10"+°,

彳发设〃=8=。=1，

贝lJa(8)S+c)=1000,

a®b+a®c=2QQ，

所以结论2不成立.

20.（2425高一上•上海•阶段练习）已知函数〃"=|现2尤|.

（D完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数，a）=|iog2尤।的简图;

⑵根据（1）的结果，若/（%）=/（%）,（石力%），试猜想了尼的值，并证明你的结论.

【答案】（1）答案见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）根据题意，由函数的解析式完成表格，进而作出函数的草图；

（2）根据题意，假设王<9，结合函数的图象可得不<1<%，结合函数的解析式分析可得答案.

【详解】（1）由题意知，函数/（x）=|log2x|,则填表如下：

£

X124

42

“X)21012

其大致图象如图:

（2）若/（玉）=/（々），（不中々），猜想百易=1，

证明：由于占*%，假设占〈尤2，若/&）=/（%），则必有药＜1〈尤2，

10

则/（%）=|lOg2玉|=-lOg2玉，/（无2）=隧2々I=§2%2，

由于/（%）=/（/），则Tog?玉=log?%，

所以log2玉+log2%=0,即log2占4=0,

所以当赴=1

21.（2425高一上•上海闵行•期末）当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，

再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）.数学生物学研究表明，种群数量N⑺与时间

N（t）=（长_

t的关系可以用逻辑斯蒂方程（LogisticEquation）：K-NA来表示，其中K表示环境容量（特

定环境能够稳定承载的最大种群数量），N。表示种群初始数量，厂表示物种内禀增长率（没有环境限制时种

群数量的固有增长率）.某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类凡已知池塘对鱼类产的环境容

量为1000条，初始投入100条，鱼类厂的年内禀增长率为30%.

种群数量与时间关系图

（1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类尸多少条？