云南省昆明市云南地矿局中学2025届高三下学期4月月考数学试卷(含详解)

2025年云南地矿局中学高三4月月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3}，B={y|A.{1,2} B.{0,1,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2}2.已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2AO=AB+AC，且3A.34BC B.34BC 3.数列{an}中，已知对任意n∈N*，A.(3n-1)2 B.14.若复数z的共轭复数z满足i2023z=1-2i，则A.(2,1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,-1)5.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游．已知8名同学中有4名男生，4名女生．每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为A.564 B.484 C.386 D.6406.已知三棱锥P-ABC满足AB=3，BC=4，AC=5，且其体积为42，若点P(正投影在△ABC内部)A.18 B.21 C.24 D.277.已知两条动直线x+my=0和mx-y-4m+4=0交于点P，圆C:(x+2)2+(A.22-3 B.28.已知函数fx=x2-3xlnx+ax，若A.-∞,-2 B.-∞,-16 C.-∞,-2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ωA.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最大值为210.在正四面体ABCD中，若AB=2，M为BC的中点，下列结论正确的是A.正四面体的体积为212

B.正四面体外接球的表面积为6π

C.如果点P在线段DM上，则(AP+CP)2的最小值为4+463

D.11.已知曲线C：x|x|4-y|A.|x0|≤2

B.x02+y02⩾三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知n∈N*,满足Cn0+2Cn13.设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+ln14.已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1-2(2an+1)=0(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3sin(1)求sinA(2)若▵ABC的面积为16①已知E为BC的中点且b+c=8，求▵ABC底边②求内角A的角平分线AD长的最大值．16.(本小题15分)垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为A等级和B等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中A等级的男生人数占总人数的25，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是B等级男生的概率为15(1)根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值α=0.05独立性检验，判断学生对男女A等级

B等级附：α0.050.0250.010.005x3.8415.0246.6357.879χ2=n(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人(i)求比赛只进行(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布列和数学期望E17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC//AD，PA⊥AB，平面PAC⊥平面ABCD，AD(2)若点T是CD的中点，点M是线段PT上的点，点P到平面ABM的距离是313 ①直线CD与平面ABM所成角的正弦值; ②三棱锥P-ABM18.(本小题17分)设函数f(x(1)若不等式f(x)>0的解集(-1,1)，求a(2)若f(1)=2①a>0，b>0②若f(x)>1在R上恒成立，求实数19.(本小题17分)在平面直角坐标系内定义A(x1,y1)，B(x2,y2)两点之间的“L-距离”为‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|，记到定点(1)求L-椭圆C(2)已知L-椭圆C的所有顶点都在椭圆D(ⅰ)若M，N是D上关于原点对称的两点，求‖MN(ⅱ)若过点G(1,0)斜率存在且不为零的直线l与D交于P，Q，与直线x=4交于点R，点H满足HG⊥x轴，由直线HP，HQ，HR的斜率构成的集合为S={k1,k2,k3}，证明：存在公差不为零的等差数列{an}参考答案及解析1.【答案】D

根据题意，集合A={0,1,2,3}，而B={y|y=2x-2x,x2.【答案】D

由2AO=AB+AC知：O为BC中点，

又O为△ABC外接圆圆心，∴|OA|=|OB|=|OC|=1，∴AB⊥AC，

∵3|OA|=|AB|，3.【答案】B

∵a1+a2+a3+…+an=3n-1，①，

∴a1+a2+a3+…+an+1=3n+1-1，②，4.【答案】D

∵i2023z=1-2i，

又i2023=-i，

∴z=1-2i-i=5.【答案】A

8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况．第一种情况分成2人，2人，4人：女生B,C去同一处景点，当B,其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C4当B,C在4人组时，有第二种情况分成2人，3人，3人：当B,C成2人组时，有当B,C在3人组时，有故这8名同学游玩行程的方法数为8+36+6+44×故选：A．6.【答案】C

因为AB=3，BC=4，AC=5，所以三角形是以AC为斜边的直角三角形，

由棱锥体积公式V=13Sh得三棱锥高h=22，再由若点P到AB，BC，AC的距离相等得出点P在底面上投影O到△ABC各边距离也相等，从而O是△ABC的内心，则7.【答案】B

由题意知两条动直线

x+my=0

和

mx-y-联立直线方程消去m可得

x2+由于

mx-y-4m+4=0该直线过定点

(4,4)

，但不会过点

(4,0)

，故P点轨迹方程为

x-22+y-22圆心为

D(2,2)

，半径为

R=2C:x+22+y+22=3

上两点

E

Q为线段

EF

的中点，则圆C的圆心

(-2,-2)

到Q的距离为1

，则Q点轨迹方程为

x+22+y+22=1

，圆心为

由于

x-22+y-22=8

则PQ

的最小值为

|CD|-故选：B．8.【答案】A

由m,n∈0,+∞,m≠n且nf(m)-mf(n)m2n-n2m>0恒成立可得

1mfm-1nfnm-n>0，即函数1xfx=x-3lnx+ax2在0,+∞上单调递增，

令g(x)=x-39.【答案】BC

对于选项A：由图象，得函数f(x)的最小正周期T=2×(7π12-π12)=π，所以选项A错误；

对于选项B：ω=2πT=2，即f(x)=Asin(2x+φ)，

又f(π12)=Asin(2×π12+φ)=Asin(π6+φ)=A，10.【答案】BCD

由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图所示，

O

为底面中心，则

D,O,M

共线，

AO

为四面体的高，所以

AO=AB2-BO正四面体的外接球球心E在AO上，且半径

r=EA所以

r2=(AO-r)故外接球的表面积为

4πr2=4由题意知：将平面AMD与平面CMD沿MD翻折，使它们在同一个平面，如下图所示，所以AD=CD=2

且

cos∠ADM=又

∠CDM=30∘

，

要使

AP+CP2

最小，只需

A,P,所以

AP+CPmin2如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体

ABCD

内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为

x∈(0,2)

，则圆柱体的高

h=AO⋅(1-x所以其侧面积

S=2πr故当

x=1

时，

Smax=故选：BCD11.【答案】BCD

【解析】解：由题设得：曲线C

为

x24-y2=1(x⩾0,y⩾0)x24+y2=1(x⩾0,y⩽0)y2-x24=1(x⩽0,y⩽0)

，

曲线C是由两段双曲线弧

x24-y2=1(x≥0,y≥0)，

y2-x24=1(x<0,y<0)以及一段椭圆弧

x24+y2=1(x≥0,y≤0)组合而成且易知双曲线渐近线为y=12x，(如图所示)，

对于A，由双曲线性质可知，x0∈R，故A错误；

对于B，x02+y02表示点P到原点O距离的平方，

由图知当点P位于12.【答案】30

∵n∈N*，满足Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=243，

13.【答案】1

g(x)=x+lnx=elnx+lnx=f(lnx)，

则f(x1)=g(x2)=f(lnx2)，

易知f(x)=x+ex在R上单调递增，所以x1=lnx2，

14.【答案】43

∴Sn-2(2an-1+1)=0(n≥2)②，

①-②得：an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)，

又a1=2，a1+a2=2(2a1+1)=10，

∴a2=8，a2-2a115.(1)由正弦定理，得

3(a-b)c=故

cosA=因为

cosA>0

，所以

A所以

sinA=(2)①由(1)知

sinA=因为

▵ABC

的面积为

1632

，所以

12bcsinA=163由于

AE=1AE2所以|AE|②因为

AD

为角

A

的角平分线，所以

sin∠BAD由于

S▵ADB所以

12AD由于

sinA2≠0

，所以

由于

cosA=2又

bc=16

，所以

由于

b+c≥2bc=8故

3263=ADc+b≥2bc16.(1)由题意得，

A

等级的男生人数为

100×25=40

，

B

等级男生的人数为

A,B

等级的女生人数相同，均为

100-40-20故列联表如下：男生女生总计A

等级402060B

等级202040总计6040100故

χ2=n(故根据小概率值

α=0.05

(2)(i)比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为

p比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为

p2=故比赛只进行3局就结束的概率为

p1+(ii)

X

的可能取值为

0,1,2,3X=0

，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故

PXX=1

，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4故

PX=1X=2

，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5故

P+13X=3

，即最后甲赢得比赛，由概率性质得

PX所以分布为

0故数学期望为E[X17.(1)证明：取AD的中点E，连接CE．

在梯形ABCD中，BC/​/AE，BC=AE=AB=1，AD⊥AB，

所以四边形ABCE为正方形，所以AD⊥CE，

在Rt△CDE中，CE=DE=1，有CD=CE2+DE2=2，

在Rt△ABC中，有AC=AB2+BC2=2，

又AD=2，所以，在△ACD中有：AC2+CD2=AD，即CD⊥AC．

又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，得CD⊥平面PAC，

因PA⊂平面PAC，得PA⊥CD．

又因为PA⊥AB，直线AB和CD有公共点，

AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

得PA⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD．

(2)①解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，T(12,32,0)，AP=(0,0,1)，CD=(-1,1,0)，

设PM=λPT(0≤λ≤1)，则M点坐标为(λ2,3λ2,1-λ)，

则AM=(λ2,3λ2,1-λ)，AB=(1,0,0)，

设平面ABM的法向量n=(x,y,z)，则有x18.【答案】解：(1)由ax2+(b-2)x+3>0的解集-1,1所以-b-2a(2)

1a当ba因为a+b=1，a>0，b>0，

此时1a+4②ax2∴又因为a+b解得：3-219.(1)解：由题意，设L-椭圆C的方程为|x+c|+|x-c|+|2y|=2a(a>c>0)，

因为L-椭圆C的离心率为35，所以ca=35，c=35a，

代入|x+c|+|x-c|+|2y|=2a，得|x+35a|+|x-35a|+|2y|=2a，

令x=±a，得y=0，令x=±35a，得y=±25a，

所以L-椭圆C是以(-a,0)，(-35a,25a)，(35a,25a)，