湖南省2024届高考数学重难点模拟卷试题一含答案

/湖南省2024届高考数学重难点模拟卷（一）一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B．C． D．4．已知定义在上的函数满足，，，且，则（

）A．1 B．2 C． D．5．若的展开式存在常数项，则常数项为（

）A． B．35 C． D．216．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米7．定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是8．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日二、多选题9．下列函数中，是奇函数的是（

）A． B．C． D．10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（

）A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越扁11．设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，且为数列的唯一最大项，则D．若，且，则使得成立的的最大值为20三、填空题12．已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为.13．已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是.14．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为.四、解答题15．在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.16．已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和17．如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.(1)求四边形的面积；(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.18．已知定义在上的两个函数，.(1)若，求的最小值；(2)设直线与曲线，分别交于，两点，当取最小值时，求的值.19．已知是一个动点，与直线垂直，垂足A位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设过点的直线与，分别相交于，两点，和的面积分别为和，若，试判断除点外，直线与是否有其它公共点？并说明理由.参考答案：1．A【分析】先化简集合N,再求并集.【详解】因为，所以，所以．故选：A2．C【分析】利用复数运算法则化简即可求解.【详解】依题意得，所以，则在复平面内对应的点为．故选：C3．C【分析】利用和角公式及同角三角函数关系进行求解.【详解】.故选：C4．B【分析】对于抽象函数的关系式，可考虑对进行赋值，借助于建立方程组，求解即得.【详解】令，得，即①因②，联立①②解得：或，又，所以．故选：B.5．C【分析】先确定n值，再利用通项公式求解.【详解】若的展开式存在常数项，则，且常数项为．故选：C6．A【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解.【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，则，所以点到桥面的距离为米．故选：A.7．B【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3，又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．因为，所以，因为，所以，则，故的最大值是，无最小值．故选：B.8．D【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为．假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为，化简得，解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用.9．ACD【分析】由奇函数定义逐一判断即可.【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意；对于B，若，则，故B不满足题意；对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意；对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意.故选：ACD.10．BC【分析】根据条件得到，，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】由题知，解得，，对于选项A，因为轨道的焦距为，所以选项A错误，对于选项B，因为离心率为，所以选项B正确，对于选项C，因为轨道的短轴长为，所以选项C正确，对于选项D，因为，则越大时，离心率越小，则轨道越圆，所以选项D错误，故选：BC.11．BCD【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解.【详解】若，则，可得，即选项A错误；而，即选项B正确.若，且是数列的唯一最大项.当时，，不合题意；当时，由，可得，即，解得，即选项C正确.若，当时，，又，不满足，不合题意；当时，由可得，，，所以，，则为单调递减数列，因此当时，故，当时，故，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，又，，，所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况：（1），时，等比数列为单调递减数列，（2），时，等比数列为单调递增数列，（3），时，等比数列为单调递增数列，（4），时，等比数列为单调递减数列，（5）时，等比数列为摆动数列，（6）时，等比数列为常数列，12．【分析】构造函数，求导后得，由在上为增函数，所以，从而在上为增函数，又由，从而可求解.【详解】由题意知在上为增函数，所以恒成立，构造函数，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，即，所以的解集为.故答案为：.13．【分析】设，求出点的轨迹为，从而转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系从而可求解.【详解】设，将坐标代入式子，可得，即，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.依题意，两圆有公共点，则，解得.故答案为：.14．/【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，.如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，即（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.通过对关于的函数求导，即，易得函数在单调递减，在单调递增，则.从而，球的体积的最小值.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.15．(1)(2)8【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到，即可得；（2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得.【详解】（1）由得，若选①：由正弦定理得，所以，则，又因为，故；若选②：外接圆半径，由正弦定理，所以，则，又因为，故；（2）由（1）知，所以，因为的面积为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周长为8.16．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可.（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以（2）因为，所以，故，所以，令，则，所以，，所以，，所以17．(1)；(2)存在，.【分析】（1）取的中点，连接，由给定条件结合余弦定理求出，再推证即可求出四边形面积.（2）由已知可得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在三棱柱中，取的中点，连接，在中，由，，得，，在中，由，，得，，则为二面角的平面角，即，在中，由余弦定理得，解得，又，平面，则平面，而平面，于是，显然，则，所以平行四边形的面积.（2）由（1）知，有，则，同理，又，，即，则，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，假设存在点满足题意，不妨设，则，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，解得，此时，所以存在点满足题意，且的长为.18．(1)(2)2【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）翻译条件，利用导数求解关键点的坐标，再求值即可.【详解】（1）因为，所以，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.（2）设，，则于是，分设，则.设，则有在有解，由,，故在上有解，且在上，，在上，，故函数在上单调递减，在单调递增，其中，即，所以，即，设，其导函数，所以在上单调递增，结合，知.所以，于是.所以当取最小值时，，所以，设，其导函数，所以在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.所以，所以.【点睛】关键点点睛：（1）根据题设条件构建3个变量之间的等量关系；（2）合理构元，转化为含参的零点问题；（3）利用隐零点求参数的值.19．(1)(2)除点，直线与曲线没有其它公共点，理由见解析【分析】（1）设，根据题意结合点到直线距离公式运算求解；（2）根据题意分析可知为的中点，可得直线的斜率，与曲线的方程联立结合判别式分析判断，注意讨论直线的斜率斜率是否存在.【详解】（1）设，则，，