山东省齐鲁名校教研共同体2024−2025学年高三下学期第六次联考数学试卷含答案

/山东省齐鲁名校教研共同体2024−2025学年高三下学期第六次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，则=（

）A．8 B．10 C．12 D．163．已知z是方程的一个复数根，则（

）A． B． C． D．4．已知，则的最小值是（）A． B．4 C． D．85．现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（

）A． B． C． D．6．在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（

）A． B． C． D．7．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（

）A． B． C． D．8．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（

）A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（

）A． B． C． D．10．已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（

）A． B．直线轴C．若，则 D．若，则11．已知函数，为常数，则下列说法正确的有（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．在，上单调递增D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则三、填空题（本大题共3小题）12．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为．13．已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是．14．已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则．四、解答题（本大题共5小题）15．下表是2020—2024年中国出生人口数y（单位：十万人）的数据：年份20202021202220232024年份代码x12345出生人口数y/十万人120106969095(1)求2020—2024年中国每年出生人口数的平均数；(2)某研究人员建立了y关于x的回归模型，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万；(3)求（2）中回归模型的决定系数，并评价其拟合效果．（如果，就认为拟合效果好，如果，就认为拟合效果一般，如果，就认为拟合效果差）附：，．16．如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，．(1)求的值；(2)若，，求的值．17．如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面．(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知，函数．(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，，求的单调区间；(3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围．19．已知椭圆C：经过点．(1)求C的离心率．(2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点；②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：．

参考答案1．【答案】A【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e．故.故选A.2．【答案】B【详解】由题意可得，故．故选B．3．【答案】B【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根，所以，即，所以.故选B.4．【答案】D【详解】由可得，即，故，由，可得，当且仅当时取等号，即当时，取得最小值为8.故选D.5．【答案】D【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则．设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则．所求即为．故选D.6．【答案】B【详解】已知，则，即，解得，因为，故，故．故选B．7．【答案】C【详解】设答对题的个数为，由已知可得，所以，，因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，所以，所以，，所以，又，所以当时，取最大值，最大值为.故选C.8．【答案】D【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，因为是锐角三角形，所以，则|，，，由，得，整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为，离心率为，故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分．故选D.9．【答案】CD【详解】当为正偶数时，，则，因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立，则，解得，当为正奇数时，，则，因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立，则，解得，所以的取值范围是，故的可能取值为，．故选CD.10．【答案】BCD【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误．对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确．对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确．对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确．故选BCD.11．【答案】ACD【详解】，易得的最小正周期为，故A正确；当时，，其值域为，故B错误；令，得，故在上单调递增，故C正确；当时，，此时；当时，，此时；当时，，因函数的图象均与曲线总有公共点，则且，当时，，此时；当时，，此时，故，综上所述，，故D正确.故选ACD．12．【答案】【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为，球的表面积为，所以，即，解得（负值舍去），故圆锥的底面直径与母线长的比值为．13．【答案】【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中，用去代换x，得，∴，，∵，∴由，可得，令，则在上单调递增．若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意；若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下，则需，即；若，则在上单调递增，符合题意．综上，．14．【答案】3【详解】不妨设，，，三个圆心分别为，，，根据勾股定理得，，所以，因为点P在圆上，故可设点，其中，则，整理得，即，解得．15．【答案】(1)(2)2028年(3)，这个模型的拟合效果一般【详解】（1）．（2）中国出生人口数低于700万，即．，解得：,,当时，，当时，，对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万．（3）当，，，当，，，当，，，当，，，当，，，所以因为，所以这个模型的拟合效果一般．16．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，且，所以，可得，即，所以．（2）解：因为，，，所以，又因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，所以．17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由题意知四边形存在外接圆，故，而，即，所以，故，由平面，平面，可得，而，平面，平面，故平面，又因为平面，故平面平面．（2）如图，过点作，垂足为，由（1）平面平面，又平面平面，平面，所以平面．设四边形的面积为，则四棱锥的体积，因为，，所以，因为平面，平面，所以，则点P在以AB为直径的圆上，当时，PH最大，最大值为．因为，所以点在以为直径的圆上，且，当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形．所以四棱锥体积的最大值为．（3）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由（2）可知，，，．所以，，．设平面PBD的法向量为，则，取，则，所以为平面PBD的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为和(3)【详解】（1）若，，则，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题易知，所以．令，得，当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故的单调递增区间为，单调递减区间为和．（3）若，则，仅有1个零点，符合题意．若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点，则至多有1个变号零点．由，可得．设，则，可得在上单调递减，在和上单调递增，所以的极大值为，极小值为，且当时，，当时，，作出的大致图象如下：根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外），所以或，解得或．综上，a的取值范围是．19．【答案】(1)(2)①