专题72复数的四则运算（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题7.2复数的四则运算【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1复数的加、减运算】 3【题型2复数加、减法的几何意义的应用】 3【题型3复数的乘、除运算】 4【题型4根据复数的四则运算结果求参数】 5【题型5根据复数的四则运算结果求复数特征】 5【题型6复数范围内分解因式】 6【题型7复数范围内方程的根】 7【知识点1复数的四则运算】1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意,,∈C，有

①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(acbd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有

①交换律：=；

②结合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|zz0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则||=，又复数=(ac)+(bd)i，则||=.

故||=||，即||表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.6．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【例1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数z1=2+3i,z2=−4−5i，则z1+z2=（A．−2−2i B．6+8i C．2−2i【变式11】（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）已知i是虚数单位，则3+5i+1+A．2 B．i C．−3i D．【变式12】（2023·全国·高三专题练习）设z的共轭复数为z，若2z−3z=2−5i，则z=A．−2−i B．2−i C．1−2i【变式13】（2023·全国·高一专题练习）若z−3+5i=8−2i，则zA．5−3i B．11−7i C．8+7i【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【例2】（2023·高三课时练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【变式21】（2022下·高一课时练习）若向量AB,AC分别表示复数z1=2−iA．5 B．5 C．25 D．【变式22】（2023·全国·高一专题练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【变式23】（2023下·全国·高一专题练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【题型3复数的乘、除运算】【例3】（2023上·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）已知复数z满足z−1=i3−z，则z=（A．2−i B．2+i C．1+i【变式31】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知复数z满足1+iz=1−i，则zA．i B．−1 C．−i 【变式32】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）设z=2+ii1+iA．2 B．1 C．−1 D．−2【变式33】（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）若z=1−2i，则(1+z)⋅z=A．24i B．2+4i C．62i D．6+2i【题型4根据复数的四则运算结果求参数】【例4】（2023上·云南临沧·高二校考期末）若1+ia+i=−5+biA．3 B．2 C．2 D．3【变式41】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知复数z=a+bi（a,b∈R），且zA．9 B．9 C．3 D．3【变式42】（2023下·全国·高一专题练习）已知i是虚数单位，若复数z=a+i1+ia∈RA．−13 B．13 C．−【变式43】（2023下·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知i为虚数单位，若11+i=a−bia,b∈RA．1 B．22 C．2 【题型5根据复数的四则运算结果求复数特征】【例5】（2023·全国·高一专题练习）复数z满足z+(1−2i)=3−4i，则复数zA．−6i B．−6 C．−2i 【变式51】（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设复数z1=−2+3i,z2=1+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式52】（2022下·陕西咸阳·高二统考期中）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z=2−i，则z+izA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式53】（2022下·江西九江·高二校考阶段练习）设复数z的共轭复数为z、复数z满足1+i=2−4izA．3 B．−3 C．3i D．【知识点2复数范围内方程的根】1．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；

当=0时，方程有两个相等的实根==；

当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.【题型6\o"复数范围内分解因式"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内分解因式】【例6】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)x2＋4(2)x4－4【变式61】（2023下·吉林·高一东北师大附中校考期中）（1）已知复数z满足z1+i=3+（2）在复数范围内因式分解：z2【变式62】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)x2(2)x2(3)3x【变式63】（2023·江苏·高一专题练习）在复数范围内分解因式：(1)a(2)x(3)x(4)a【题型7\o"复数范围内方程的根"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内方程的根】【例7】（2023下·青海海东·高一统考阶段练习）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A2,3，B(1)若m＝1，求z1(2)若z2是关于x的方程x2+2x+17=0的一个复数根，求m【变式71】（2023上·浙江宁波·高二校考开学考试）已知复数z=4+ai，其中a是正实数，i(1)如果z3a+ai为纯虚数，求实数(2)如果