平面与平面垂直的性质定理高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2讲

平面与平面垂直性质定理8.6.3

平面与平面垂直学习目标1.探究、发现平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.(难点)2、平面与平面垂直的判定定理1、平面与平面垂直的定义一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示：b两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.复习回顾

温故知新αβEF思考1

如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定新知探究思考2垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？为什么？αβABDCE垂直新知探究∵,∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,且BECD=B垂足为B.∴AB⊥则∠ABE就是二面角的平面角.证明:在平面内作BE⊥CD,αβABDCE新知探究平面与平面垂直的性质定理符号表示:DCAB

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．知识梳理（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直线面垂直作用：

①它能判定线面垂直.②它能在一个平面内作与这个平面垂

直的垂线.关键点：①线在平面内.②线垂直于交线.DCAB提升小结αβAbal解：在α内作垂直于交线的直线b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直线a与平面α平行.典例分析教材160页例9例2.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.EPABCE∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC典例分析教材160页例101、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2、证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直线面垂直线线垂直课堂小结例1

设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a⊥b的是A.a⊂α，b⊥β，α∥β

B.a⊥α，b⊥β，α∥βC.a⊥α，b∥β，α⊥β

D.a⊂α，b∥β，α⊥β典例分析√空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：线线垂直线面垂直面面垂直跟踪训练1

若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ巩固提升√典例分析例2

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤：面面垂直

线面垂直—→线线垂直.(2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作直线与平面所成的角或二面角的平面角.提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.跟踪训练2

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，PA=AB，E，F分别为PC，PB的中点.证明：平面DEF⊥平面PBC.巩固提升因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，所以CB⊥平面PAB，因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB，因为PB⊂平面PAB，所以EF⊥PB，连接AF(图略)，因为EF∥CB∥AD，所以A，D，E，F四点共面，因为PA=AB，所以PB⊥AF，因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面DEF，所以PB⊥平面DEF，因为PB⊂平面PBC，所以平面DEF⊥平面PBC.例3

如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.典例分析如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.∵DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D，∴PA⊥平面ABC.连接BE并延长交PC于点H.∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.又PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.巩固提升

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.

当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当点D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC=BC，所以AB⊥CE.又因为DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E，所以AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.随堂演练1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1A.平行

B.共面C.垂直

D.不垂直√2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则A.DM≠EN，且直线DM，EN是异面直线B.DM=EN，且直线DM，EN是异面直线C.DM≠EN，且直线DM，EN是相交直线D.DM=EN，且直线DM，EN是相交直线√3.(多选)以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△AB