2025年云南省中考数学-26题二次函数降次幂题35道

中考数学2025年云南中考数学模拟26题二次函数（35道降次幂）（有答案解析）1．已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．（1）求b、c的值：（2）求证：；（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．2．已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求的值．3．已知抛物线经过点，对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在该抛物线上，且；求的取值范围；(3)若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小．4．已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴；(2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小．5．已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求的值；(2)比较与的大小．6．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若点，是该抛物线上两个不同的点，且．(1)求，的值；(2)若该抛物线与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．7．已知，某抛物线的解析式为（均为不为零的常数），且满足：(1)；(2)求该抛物线与轴交点中的定点坐标．8．在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且）(1)若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标；(2)若二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．9．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)在该拋物线上且为整数，若的值为整数，求出点的坐标．10．已知抛物线经过点，与y轴交于点A，其顶点为B，设k是抛物线与x轴交点的横坐标．(1)求的面积；(2)求代数式的值．11．已知观察二次函数的图象后，发现当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，的值为．点、（）是二次函数的图象上任意两点，设．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求的最大值．12．已知是抛物线与轴交点的横坐标．(1)若在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为1，求此时的值；(2)求代数式值．13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点A的坐标．14．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数与形之间的联系称之为数形结合．在初中阶段的数学学习中，我们需要运用数形结合的数学思想，来解决函数的相关问题，我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的平方，则这个点称为平方点，如．已知抛物线解析式为．(1)若抛物线经过平方点，求b的值(2)在（1）的条件下，抛物线经过，证明：．15．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．(1)求该抛物线的解析式．(2)设k是抛物线与x轴交点的横坐标，求的值．16．已知抛物线C：（a为常数）．(1)若抛物线C经过点和点，且与x轴的交点的横坐标为t，求下列各式的值：①；②(2)将点向左平移5个单位长度得到点B，若线段与抛物线C只有一个公共点．请直接写出a的取值范围．17．已知函数（k为正整数）．(1)若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式；(2)无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值．18．已知是抛物线的图象与轴交点的横坐标．(1)求证：；(2)求代数式值．19．已知抛物线的顶点在轴上．(1)求的值；(2)求的值．20．已知抛物线与轴交于、两点（点位于点的左侧），设是抛物线与轴交点的横坐标，抛物线与轴交于点．(1)点是抛物线上的一个动点，若，求所有满足条件的的面积之和；(2)求代数式值．21．已知抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，且当时，，点是第一象限内抛物线上的一个动点．(1)求，的值；(2)①若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的点的坐标；②若点在该抛物线上，且，，求的值．22．已知抛物线，a，b，c为常数且．(1)若，则抛物线的对称轴为直线_________；(2)在（1）的条件下，抛物线过点，，，求n的值．23．已知抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值；(3)设m为抛物线与x轴一个交点的横坐标，求的值．24．已知抛物线的顶点坐标为，设是拋物线与轴交点的横坐标．(1)求抛物线的解析式．(2)求的值．25．已知抛物线经过点，顶点坐标为，设r为抛物线与轴的交点的横坐标，．(1)求，，的值；(2)试判断与0的大小关系，并证明你的结论．26．在平面直角坐标系中，设二次函数（a为常数，且）．(1)若二次函数的图象与直线有且仅有一个交点，求代数式的值；(2)若点是二次函数图象上的两个不同的点，且，设，求T的取值范围．27．已知抛物线的顶点为点，过点的直线的解析式为．(1)设是抛物线与直线交点的横坐标，求证：；(2)抛物线与轴从左至右交于，两点，分别过点和点作轴的垂线，交直线于点和点，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段总有公共点．试探究：拋物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？28．已知抛物线经过点，关于直线成轴对称．设抛物线与函数图象的交点（交点也称公共点）的横坐标为d．，．(1)求抛物线的解析式；(2)以下结论：，，，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．29．如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为，C是x轴上一动点．

(1)求b，c的值．(2)当△ABC周长最小时，求点C的坐标．(3)设m是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值．30．已知关于的二次函数．(1)求证：不论为任何实数，方程总有实数根；(2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．31．在平面直角坐标系中，抛物线经过原点．(1)求抛物线的解析式．(2)设是直线与抛物线交点的横坐标，求的值．32．已知经过点的抛物线与轴分别交于点和点，点A到点的距离为，．(1)求，的值；(2)试比较的值与的大小，并说明理由．33．已知：．(1)求的值；(2)求证：；(3)若，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．34．已知二次函数（c是常数）．(1)若二次函数的最大值为，求c的值；(2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值．35．已知抛物线顶点的横坐标为，且与轴分别交于点和点（其中），与轴交于点．(1)求、的值；(2)求证：；(3)求的值．答案解析1．（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m＞1，证明见解析【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2），∴，即c=-2，∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小，∴直线x=-4是抛物线的对称轴，∴，解得：b=-16，∴b=-16，c=-2；（2）证明：∵b=-16，c=-2，∴，∵r是抛物线与x轴交点的横坐标，∴r是方程的解，即，则，∴，∴==∵，∴，∴；（3）m＞1正确，证明：由（2）可知：，∴，即，∴，在中，令，解得：或，∴r＜0，∴，，∴，∵，∴，即m＞1．2．(1)2(2)(3)【详解】（1）解：∵将点（0，2）带入得：．（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，∵当S=m时恰好有三个点M满足，∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．当时，．即此时M（，），则另外两个点的纵坐标为．∴．（3）由题可知，，则∴则．3．(1)(2)(3)当时，；当时，【详解】（1）解：把代入中得．∵对称轴是直线，∴，解得．∴抛物线的解析式为．（2）解：∵由（1）知：．∵对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为，∵点在该抛物线上，且，∴当时，；当时，；∴；（3）解：∵m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，∴，即．∴，∵，∴，∴或，∴当时，；当时，．4．(1)(2)当时，；当时，【详解】（1）解：抛物线为，对称轴为直线．即抛物线的对称轴为直线．（2）解：图象经过点，把代入，则解得：，故抛物线解析式，是抛物线与轴交点的横坐标，，解得：，，，，故．当时，，此时；当时，，此时．5．(1)(2)当时，；当时，．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴；（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，当时，∴；当时，，∴．6．(1)，(2)【详解】（1）解：∵点，是该抛物线上两个不同的点∴把，分别代入得则∵∴∴∵点，是该抛物线上两个不同的点，且抛物线∴不受的影响∵∴∴把代入，得∴（2）解：由（1）得，∴依题意，∴整理得∵该抛物线与直线有且仅有一个交点∴的即∴令∴∴即可整理得∴∴∴同理得∴∴∴∵∴∴∴∴∴7．(1)见解析(2)该抛物线与轴交点中的定点坐标为【详解】（1）由题意，，．．．又，，均为不为零的常数，．．．（2）由题意，根据（1）中，对于函数，当时，．抛物线通过定点．该抛物线与轴交点中的定点坐标为．8．(1)该二次函数图像与轴的交点坐标为或(2)【详解】（1）解：当时，二次函数为，令，则，解得：，，该二次函数图像与轴的交点坐标为或；（2）二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，有两个相等的实数根，，，即，为常数，且，等号两边同时除以得：，即，，，，．9．(1)(2)或或或【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，设二次函数解析式为，图象与轴的交点为，把代入中，，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：若在该抛物线上，把代入中，，，，为整数，而2的因数有或，或，或0或3或，或8或5或5，或或或．10．(1)(2)【详解】（1）解：抛物线经过点，，解得：，，当时，，当时，，，，，

如图，．（2）解：k是抛物线与x轴交点的横坐标，，，，，，，．11．(1)(2)2028【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：．当时，的值为，即：，得：．此二次函数的解析式为．（2）解：，点、关于对称，，即，，，，．当时，，．，抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值．答：的最大值为2028．12．(1)或(2)6．【详解】（1）解：，当时，，当时，；①当时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：，或（舍去），即．②当时，即当时，抛物线在时，取得最小值，此种情况不合题意；③当时，即时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：或（舍去），即．综上所述，或．故答案为：或．（2）解：由题意知，即，显然，则．由，可知，即，．故答案为：6．13．(1)(2)或【详解】（1）解：抛物线经过点，，，抛物线的解析式为；（2）解：点在抛物线上，满足，即，，且与均为整数，，或，或，时，；，，综上，点A的坐标为或．14．(1)(2)见详解【详解】（1）解：∵抛物线经过平方点，已知抛物线解析式为．∴把代入，∴，∴；（2）解：∵，已知抛物线解析式为∴由（1）知道∴∵，∴解得∵（与题意相矛盾，故舍去）∴，则，，∴；15．(1)(2)【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直，∴，解得，∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）∵k是抛物线与x轴交点的横坐标，∴，∴．∴的值为．16．(1)①

②(2)或【详解】（1）解：把代入，得解得：，∴抛物线的解析式为，①把代入，得:；②∵抛物线与轴的交点的横坐标为，，即，，，，，∵；（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∵将点向左平移个单位长度得到点，∴直线的解析式为，若抛物线的顶点在直线上，则有，解得:，若抛物线经过点，则有:，解得：，若抛物线经过点，则有:，解得：，∴若线段与抛物线只有一个公共点时，的取值范围是或．17．(1)(2)【详解】（1）解：由题意可得，令，则，解得，．∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数，∴，∴该函数的解析式为．（2）解：∵当时，，∴函数图象经过定点，∵，∴，∴，∴．18．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵是抛物线的图象与轴交点的横坐标，∴令，，可得，∴，两边平方得：，所以；∴；（2）解：由题意知，，显然，则有，∴，∴，则．19．(1)，(2)【详解】（1）解：的顶点在x轴上，∴方程有两个相等的实数根，，即，，，．（2）解：，，，，，，，，．20．(1)(2)【详解】（1）解：令，得，解得，所以，，所以，令，得，所以，所以，令，得，整理可得，∵，∴该方程有两不相等的实数根，即在轴上方满足的点有2个；令，得，整理可得，∵，∴该方程有两不相等的实数根，即在轴下方满足的点有2个；所以满足的点共有4个，所以所有满足条件的的面积和为；（2）由题意知，，显然，则有，∴，，则．21．(1)，(2)①；②【详解】（1）当时，，抛物线交轴于和，，解得：．，．（2）①点是第一象限内抛物线上的一个动点，．为整数，且的值也为整数，．，，抛物线的解析式为．当时，．满足条件的点的坐标为；②若点在该抛物线上，点是第一象限内抛物线上的一个动点，轴，，，是方程的两根，．，．，解得：．．22．(1)；(2)；理由见解析．【详解】（1）∵，∴，∵抛物线，∴对称轴为，故答案为：；（2）由（1）知，，∴，把点，，代入得，，解得，∴，．23．(1)(2)或(3)20【详解】（1）解：对于，当时，，当时，，即点C、D的坐标分别为：、，设抛物线的表达式为：，将点C的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）解：对于，当时，，当时，；①当时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：（舍去）或，故；②当时，当−时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：（舍去）或（舍去），当时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：（舍去）或（舍去）；③当时，抛物线在时，取得最小值，即，解得：（舍去）或2，即，综上，或；（3）解：为抛物线与x轴一个交点的横坐标，，即，对于，分子为：；而分母；．24．(1)(2)【详解】（1）抛物线的顶点坐标为，，解得，抛物线的解析式为．（2）是抛物线与轴交点的横坐标，是方程的根，，，，．．25．(1)，，(2)，理由见解析【详解】（1）解：将，代入得，．．．故答案为：，，．（2）解：，理由如下：由（1）得，r为抛物线与轴的交点的横坐标，令，则，，解得：当时，当时，，．故答案为：．26．(1)(2)【详解】（1）解：二次函数图象与直线有且仅有一个交点，二次函数的顶点坐标为，，，，，；（2）证明：，，，即，，，，，，，的取值范围是．27．(1)见解析；(2)抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移6个单位长度．【详解】（1）解：法一：，所以顶点的坐标为，将点的坐标代入直线的解析式得，，解得，所以直线的解析式为．因为是抛物线与直线交点的横坐标，所以，化简得，解得，，当时，；当时，．综上所述，．法二：，所以顶点的坐标为，将点的坐标代入直线的解析式得，，解得，所以直线的解析式为．因为是抛物线与直线交点的横坐标，所以，化简得，即，所以，由可知，，所以．（2）如图，在二次函数中，令得，，解得，，所以，．在一次函数中，令，得；令，得．所以，．①当抛物线向上平移，可设解析式为，联立方程组可得：，化简得，所以，所以，所以；②当抛物线向下平移，可设解析式为，当时，，当时，，所以，或，所以或，所以．综上所述，抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移6个单位长度．28．(1)抛物线的解析式为．(2)正确，证明见解析【详解】（1）解：∵抛物线经过点，关于直线成轴对称．∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由可得：，∵两个函数交点的横坐标为，∴，∴；∵∴，而，则∴，∴，∴，∴．29．(1)，(2)点C的坐标为(3)【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，∴，把点代入，得，解得，∴，．（2）解：由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，点C的坐标即为所求，

设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴，令，则，解得，∴点C的坐标为．