专题提升：复数

8/8专题：复数【考纲解读】复数的四则运算（1）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；（2）会进行复数代数形式的四则运算。【知识网络构建】【重点知识整合】1．复数(1)概念；(2)复数的相等；(3)共轭复数；(4)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)；(5)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意义．【高频考点突破】考点一复数复数的相关概念及运算法则：(1)共轭复数：复数z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi.(2)复数的模：复数z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(3)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(4)复数的运算法则：加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.例3、已知复数eq\f(ai,1＋i)(a∈R)对应的点都在以圆心为原点，半径为eq\r(2)的圆内(不包括边界)，则a的取值范围是()A．(－2,2) B．(0,2)C．(－eq\r(7)，eq\r(7)) D．(－2,0)∪(0,2)【变式探究】设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为 ()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：法一：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a＋2a＋1i,5)为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2；法二：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(ia－i,2－i)为纯虚数，所以a＝2.答案：A【方法规律】1．与复数z有关的复杂式子为纯虚数，可设为mi(m≠0)，利用复数相等去运算较简便．2．在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a、b∈R)，用待定系数法求解．3．熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.【难点探究】复数的概念及运算例3、设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【变式探究】(1)若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________.(2)已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)iB.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)iC.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)iD.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i【答案】(1)1(2)A【解析】(1)由(a－2i)i＝b－i，得2＋ai＝b－i，根据复数相等的充要条件得a＝－1，b＝2，故a＋b＝1.(2)z·z2＝(cos23°＋isin23°)(cos37°＋isin37°)＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin23°cos37°＋cos23°sin37°)i＝cos60°＋isin60°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.复数的几何意义例4、复数z＝eq\f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式探究】如果复数(a＋2i)(1＋i)的模为4，则实数a的值为()A．2B．2eq\r(2)C．±2D．±2eq\r(2)【答案】C【解析】(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(2＋a)i，根据已知eq\r(a－22＋a＋22)＝4，解得a＝±2.【方法技巧】复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．要注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．【历届高考真题】1.【浙江理2】已知i是虚数单位，则=A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2i【答案】D【解析】=。故选D。2.【新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）的共轭复数为的虚部为 3.【四川理2】复数（）A、B、C、D、【答案】B【解析】4.【陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.【上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．6.【山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】。故选A。7.【辽宁理2】复数(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】，故选A8.【湖北理1】方程的一个根是A． B． C． D．9.【广东理1】设i为虚数单位，则复数=A．6+5iB．6-5iC．-6+5iD．-6-5i【答案】D【解析】=．故选D．10.【福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i【答案】A.【解析】根据知，，故选A.11.【北京理3】设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.【安徽理1】复数满足：；则（） 【答案】D【解析】13．【天津理1】i是虚数单位，复数=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i【答案】B【解析】复数，选B.14