专题02三角函数值的相关计算与应用(11大题型)(原卷版+解析)

专题02三角函数值的相关计算与应用（11大题型）【题型目录】题型一求特殊角的三角函数值题型二特殊角三角函数值的混合运算题型三由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型四由计算器求锐角三角函数值题型五根据特殊角三角函数值求角的度数题型六已知角度比较三角函数值的大小题型七根据三角函数值判断锐角的取值范围题型八利用同角三角函数关系求值题型九求证同角三角函数关系式题型十互余两角三角函数的关系题型十一三角函数综合【知识梳理】知识点1：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【经典例题一求特殊角的三角函数值】1．（22·23·杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．2．（22·23下·娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．3．（22·23·榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则．

4．（22·23下·二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：（1）原式中“”可以转化为，的值为.（2）原式中“”的结果为；（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；（4）原式的最终结果为1.5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【经典例题二特殊角三角函数值的混合运算】1．（22·23上·洛阳·期末）下列计算错误的个数是（

）①；；③；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（22·23上·泰州·阶段练习）下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．3．（2020上·万州·期中）计算：=．4（2022上·永州·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，求．5．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【经典例题三由特殊角的三角函数值判断三角形形状】1．（22·23上·盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2017下·芜湖·一模）在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（22·23上·嘉峪关·期末）在中，，则的形状是．4．（2021下·孝感·二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．【经典例题四由计算器求锐角三角函数值】1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【经典例题五根据特殊角三角函数值求角的度数】1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【经典例题六已知角度比较三角函数值的大小】1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【经典例题七根据三角函数值判断锐角的取值范围】1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）若，则___________；若，则__________；若，则__________；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【经典例题八利用同角三角函数关系求值】1．（22·23·娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022下·专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【经典例题九求证同角三角函数关系式】1．（2021春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝12．（2022春·全国·九年级专题练习）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是．（填序号）①；②；③当时，；④．3．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．

【经典例题十互余两角三角函数的关系】1．（2022秋·广西百色·九年级校考期末）下列式子中，不成立的是（）A． B．C． D．2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．(1)；；．(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．【经典例题十一三角函数综合】1．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海长宁·统考一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值．【重难点训练】1．（23·24上·广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．2．（23·24上·聊城·阶段练习）在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．3．（22·23下·阶段练习）如图，中，，，，，则（）

A． B． C． D．4．（22·23下·恩施·一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．5．（22·23下·西安·模拟预测）如图，D为边上一点，且，，，，于点E，则线段的长为（

）A． B． C． D．6．（23·24上·威海·阶段练习）在中，，，，则边的长为．7．（22·23上·青岛·阶段练习）如图（1）中，是一张正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将翻折，使得点落在（）中上，折痕交于点，那么．

8．（22·23下·六安·二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为．

9．（22·23下·咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为．

10．（22·23下·张家口·一模）如图，矩形纸片中，，，P为边上一点，将沿折叠，得到．（1）当时，点E落在上；（2）点E，F关于对称，若，则=．11．（22·23上·哈尔滨·专题练习）如图，在中，于点D，点E为的中点，与交于点G，点F在边上．

(1)如图l，，，求证：；(2)如图2，，，求的值．四、计算题12．（23·24上·泰安·阶段练习）计算：(1)；(2)．13．（23·24上·泰安·阶段练习）计算：(1)(2)五、证明题14．（22·23上·徐州·阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值．六、应用题15．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．

(1)求直线的解析式；(2)P为线段上一点，Q为线段上一点，，设点P的横坐标为t，的面积为，求S与t之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，点R在第二象限内，且四边形为平行四边形，连接BR，，求点P的坐标．

专题02三角函数值的相关计算与应用（11大题型）【题型目录】题型一求特殊角的三角函数值题型二特殊角三角函数值的混合运算题型三由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型四由计算器求锐角三角函数值题型五根据特殊角三角函数值求角的度数题型六已知角度比较三角函数值的大小题型七根据三角函数值判断锐角的取值范围题型八利用同角三角函数关系求值题型九求证同角三角函数关系式题型十互余两角三角函数的关系题型十一三角函数综合【知识梳理】知识点1：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【经典例题一求特殊角的三角函数值】1．（22·23·杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．2．（22·23下·娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可以计算出的值．【详解】解：由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．3．（22·23·榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则．

【答案】【分析】连接，如图所示，由菱形性质及三角形中位线的判定与性质证得，，在中，．【详解】解：连接，如图所示：

在菱形中，，点分别为的中点，，，，在菱形中，，点分别为的中点，，四边形是平行四边形，，，，，在中，点分别为菱形的中点，，，，在中，点分别为菱形的中点，，，在菱形中，，则，在中，，，则，故答案为：．【点睛】本题考查利用菱形性质求特殊角的三角形函数值，根据菱形性质、三角形中位线的判定与性质求出及是解决问题的关键．4．（22·23下·二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：（1）原式中“”可以转化为，的值为.（2）原式中“”的结果为；（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；（4）原式的最终结果为1.【答案】22【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据求一个数的立方根，即可求解；（3）根据完全平方公式进行运算即可；（4）根据（1）（2）（3）及特殊角的三角函数值，进行运算，即可解答【详解】解：（1），故的值为2，故答案为：2；（2），故答案为：2；（3）；（4）【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则，求一个数的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【答案】；【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．【详解】原式，∵；，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定的值代入求解．【经典例题二特殊角三角函数值的混合运算】1．（22·23上·洛阳·期末）下列计算错误的个数是（

）①；；③；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．【详解】解：，，，故①错误；，故②正确；，故③错误；，，，故④正确；综上分析可知，错误的有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．（22·23上·泰州·阶段练习）下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．【详解】A．，此选项不符合题意；B．，，所以，此选项不符合题意；C．，，所以，此选项不符合题意；D．，此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．3．（2020上·万州·期中）计算：=．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：===．故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．4（2022上·永州·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，求．【答案】【分析】根据定义，计算三角函数值，比较大小即可求解．【详解】解：，，，又，，即．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义题型，本质上是特殊角的三角函数值及比较实数大小，掌握特殊角的三角函数值是解决问题的关键．5．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【经典例题三由特殊角的三角函数值判断三角形形状】1．（22·23上·盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可．【详解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．2．（2017下·芜湖·一模）在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．3．（22·23上·嘉峪关·期末）在中，，则的形状是．【答案】等边三角形【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．【详解】∵，∴，，即，，∴，，∴，则一定是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．4．（2021下·孝感·二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则．【答案】【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据，可得为等腰直角三角形，以及可证，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，在中，，，设BE为x，DE为y，则根据勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根据，解得：，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．【答案】【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案．【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，，，，，，，，，，，，当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长，在中，，的最小值为．【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键．【经典例题四由计算器求锐角三角函数值】1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．【详解】解：m＝23−＝8−4＝4；n＝−22＝4−4＝0；k＝−cos60°＝−＝4；∴m＝k，故选：C．【点睛】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；B、利用科学计算器计算可得．【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°-140°=40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．【经典例题五根据特殊角三角函数值求角的度数】1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．【详解】解：连结

，轴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度．【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，∵，轴于B点，∴，，，∵，∴，∴，∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合，故选：B．

【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式.（2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小.（3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∵∴，则将，代入得：，解得，∴这条抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，∵∴，∴，则∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴轴或如图所示，

当轴时，，当时，，则是等边三角形，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【经典例题六已知角度比较三角函数值的大小】1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据当α=45°时sinα=cosα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，∴45°＜α＜90°．故选D．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．【详解】A、，故说法不正确；B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确；C、当β=60°时，，则，故说法不正确；D、当α=45°时，，故说法不正确；故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律（2）根据（1）中规律即可【详解】解：（1）由题图可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大.（2）；；.【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键【经典例题七根据三角函数值判断锐角的取值范围】1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．【答案】4【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．【详解】设，则，则过点，则，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，此时，的最大值为故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）若，则___________；若，则__________；若，则__________；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到；（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；（4）由，，利用（1）的结论解答即可．【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，显然有：，．∵，，，而．∴．在图（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，则；∵，，∴若，则；∵，，∴若，则．故答案为：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键．【经典例题八利用同角三角函数关系求值】1．（22·23·娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．2．（2022下·专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据三角函数的计算法则以及余弦函数、正弦函数和正切函数的增减性即可作答．【详解】解：由，得，故①正确；，故②错误；由可得，与矛盾，故③错误；，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，掌握相应的考点知识是解答本题的关键．3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．【经典例题九求证同角三角函数关系式】1．（2021春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得A.tanA•cotA==1，关系式成立；B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立；C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立．故选D．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明．2．（2022春·全国·九年级专题练习）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是．（填序号）①；②；③当时，；④．【答案】①③④【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【详解】解：①如图，在中，∵，，∴，故①正确；②若，则，，∴∴，故②错误；③当时，，∴越大，对边越大，且越接近斜边，∴越大，∴当时，，故③正确；④∵，，，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．3．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．

【答案】；，理由见解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出．【详解】存在的一般关系有：，，证明：，，，，，，．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．【经典例题十互余两角三角函数的关系】1．（2022秋·广西百色·九年级校考期末）下列式子中，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值的运算以及互余两角三角函数的关系对各选项进行判断即可．【详解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合题意；如图，∵，∴∴B中式子成立，故不符合题意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合题意；∵，∴，D中式子不成立，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，互余两角三角函数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的计算．2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【答案】【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．【详解】解：如图，在中，

∵，∴．∵，∴．∵为锐角，∴．∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．(1)；；．(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4)【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中运算结果即可得到答案；（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：1，1，1；（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，故答案为：1；（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．【经典例题十一三角函数综合】1．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接，交于点G，如图所示，

由翻折性质可得：垂直平分，∴，，∵E为的中点，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．2．（2023·上海长宁·统考一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为．【答案】【分析】过点E作交于点G，证明，根据正方形的面积求出，然后求出结果即可．【详解】解：过点E作交于点G，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面积为12，∴，∵，∴．答案：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】由题意知，，，由，两边同时除以得，，代入求解即可；（2）根据，计算求解即可．【详解】（1）证明：由题意知，，，∵，两边同时除以得，，∴；（2）解：由题意知，；【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【重难点训练】1．（23·24上·广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．【详解】解：由题意，得，故设则，故选：B．【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．2．（23·24上·聊城·阶段练习）在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，解得，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（22·23下·阶段练习）如图，中，，，，，则（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长进而得出答案．【详解】解：∵，，，，∴，则，而，故，∵，∴，则．故选：C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出的长是解题关键．4．（22·23下·恩施·一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接，交于点G，如图所示，

由翻折性质可得：垂直平分，∴，，∵E为的中点，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．5．（22·23下·西安·模拟预测）如图，D为边上一点，且，，，，于点E，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，，根据等腰三角形的判定得出，根据三角函数得出，求出x的值即可．【详解】解：设，则，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角函数的应用，解题的关键是根据三角函数列出方程，准确解方程．6．（23·24上·威海·阶段练习）在中，，，，则边的长为．【答案】或/或【分析】作于，根据“”，得出，计算出、，根据勾股定理计算出，当在的内部时，；当在的外部时，．分类讨论计算即可．【详解】如下图，作于，

∵，，∴，在中，，，∴在中，，当在的内部时，；当在的外部时，．综上所述，边的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角函数、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点分类讨论、计算是解题的关键．7．（22·23上·青岛·阶段练习）如图（1）中，是一张正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将翻折，使得点落在（）中上，折痕交于点，那么．

【答案】/度【分析】利用正方形的性质和正弦的概念得出，进而根据折叠的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，

，，∵折叠，，．故答案为：．【点睛】本题利用了正方形的性质，中点的性质，正弦的概念求解，得出是解题的关键．8．（22·23下·六安·二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为．

【答案】【分析】如图，连接，，过作于，由，可得，，，可得，，，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接，，过作于，

∵，∴，，，∴，，∴，，∴的长为；故答案为：【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的求解是解本题的关键．9．（22·23下·咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由“”可证，可得，则的最小值为，由勾股定理可求解．【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值为，如图，过点B作于F，

∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．（22·23下·张家口·一模）如图，矩形纸片中，，，P为边上一点，将沿折叠，得到．（1）当时，点E落在上；（2）点E，F关于对称，若，则=．【答案】或【分析】（1）由矩形的性质得到，，根据正切值求出，再利用正