2026版步步高大一轮数学江苏基础第一章§1.3等式性质与不等式性质（含答案或解析）

§1.3等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.1.两个实数比较大小的方法作差法a−b>0⇔ab,2.等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么；

性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么；

性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.

3.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔；

性质2传递性：a>b，b>c⇒；

性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒；

性质5同向可加性：a>b，c>d⇒；

性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒；

性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.()(2)若ba>1，则b>a.((3)同向不等式具有可加性和可乘性.()(4)若1a>1b，则b<a.(2.(多选)下列命题为真命题的是()A.若ac2>bc2，则a>bB.若a>b>0，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a<b<0，则1a>3.设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，则有()A.M<N B.M＝NC.M>N D.无法确定4.若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是.

1.a>b，ab>0⇒1a<12.若a>b>0，m>0，则：ba<b＋ma＋题型一数(式)的大小比较例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A.x2－2x>－3(x∈R)B.ab2＋ba2≥C.a2＋b2>2(a－b－1)D.ab<a＋2025b＋2025((2)若a>0，b>0，则p＝(ab)a＋b2与qA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1(1)已知c>1，且x＝c＋1－c，y＝c－cA.x>yB.x＝yC.x<yD.x，y的关系随c而定(2)已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是.

题型二不等式的基本性质例2(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足a<b<0<c<d，则()A.a＋c<b＋d B.a＋d<b＋cC.a2d2>b2c2 D.ab>(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是()A.a2>ab B.aa＋1C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－1a>b－思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性.跟踪训练2(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则()A.dc<d＋4c＋4 B.a－cC.ac>bd D.1(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是()A.ad>bcB.a(a＋c)>b(b＋d)C.da＋D.ac＋bd>ad＋bc题型三不等式性质的综合应用例3(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则()A.3<x＋2y<9B.－1<x－y<3C.2<xy<18D.12<x(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2(0<b<a)，现对该公园再扩建2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比()A.变大 B.变小C.不变 D.不确定思维升华利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质.(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.跟踪训练3(1)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是()A.[6，7] B.(2，5)C.[4，7] D.(5，8)(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比()A.不变 B.变小C.变大 D.变化不确定

答案精析落实主干知识1.>＝<2.b＝aa＝ca3.b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd自主诊断1.(1)√(2)×(3)×(4)×2.ABD[C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.]3.C[因为M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝a−122＋344.(－1，2)解析∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2.探究核心题型例1(1)ABD[∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；ab2＋ba2－1a＋1b＝a−bb2＋∴(a＋b)(a−b)2a∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；用作差法比较a＝2025(b∵b>a>0，∴2025(b−∴ab<a＋2025b＋2025，故(2)A[由题知p>0且q>0，pq若a>b>0，则ab>1，a－b>0∴pq>1，即p>q若b>a>0，则0<ab<1，a－b<0∴pq>1，即p>q若a＝b，则pq＝1，∴p＝q综上，p≥q.]跟踪训练1(1)C[由题设，易知x>0，y>0，又xy＝c＋1−cc−(2)M>N解析因为M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，所以M－N>0，即M>N.例2(1)ACD[由a<b<0<c<d，利用不等式的同向可加性得a＋c<b＋d，故A正确；当a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2时，满足a<b<0<c<d，此时有a＋d＝b＋c＝0，故B错误；由a<b<0<c<d，平方可得a2>b2>0，d2>c2>0，再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确；由a<b<0<c<d，可得－a>－b>0，d>c>0，再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，两边同除以正数－bd得ab>cd，故D正确(2)ABD[对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；对于B，∵a>b>0，∴1a<1∴1＋1a<1＋1即0<a＋1a<∴aa＋1>bb对于C，令a＝1，b＝1e，则a＋b＋ln(ab)＝1＋1e＋ln1e＝对于D，易得y＝x－1x(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－1a>b－1b，故D跟踪训练2(1)A[对于A，dc－d＋4c＋4所以d－c<0，所以dc－d＋4c＋4故选项A正确；对于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，则ac＝b对于D，a>b，取a＝1，b＝－1，则1a3>1b3，故选项(2)BCD[对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误；对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，且da＋d<cb＋c等价于1a等价于ac>bd，故C正确；对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.]例3(1)CD[因为2<y<3，所以4<2y<6，因为1<x<6，所以5<x＋2y<12，故A错误；因为2<y<3，所以－3<－y<－2，因为1<x<6，所以－2<x－y<4，故B错误；因为1<x<6，2<y<3，所以2<xy<18，故C正确；因为2<y<3，所以1<y－1<2，所以12<1y−1<1，又1<所以12<xy−1<6，故D(2)D[原来公园的绿化率为ba，扩建后公园的绿化率为b则b＝a(所以b＋xa＋2x与ba的大小与a跟踪训练3(1)D[由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.](2)C[设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比为ba(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为b∵a>b>0，∴b＋ma＋m－ba

1.3等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.1.两个实数比较大小的方法作差法a−b>0⇔a>b，2.等式的性质性质1对称性：如果a=b，那么b=a；性质2传递性：如果a=b，b=c，那么a=c；性质3可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c；性质4可乘性：如果a=b，那么ac=bc；性质5可除性：如果a=b，c≠0，那么ac=b3.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a+c>b+c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种.(√)(2)若ba>1，则b>a.(×(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(×)(4)若1a>1b，则b<a.(×2.(多选)下列命题为真命题的是()A.若ac2>bc2，则a>bB.若a>b>0，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a<b<0，则1a>答案ABD解析C中，若a=-2，b=-1，则a2>ab>b2，故C错误.3.设M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，则有()A.M<N B.M=NC.M>N D.无法确定答案C解析因为M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=a−122+34>04.若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a-b的取值范围是.

答案(-1，2)解析∵0<b<1，∴-1<-b<0，∵0<a<2，∴-1<a-b<2.1.a>b，ab>0⇒1a<12.若a>b>0，m>0，则：ba<b+ma+题型一数(式)的大小比较例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A.x2-2x>-3(x∈R)B.ab2+ba2≥1a+1C.a2+b2>2(a-b-1)D.ab<a+2025b+2025(答案ABD解析∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，∴x2-2x>-3，故A正确；ab2+ba2-1a+1b=a−bb2+b−aa2=(a+b)(a−b)2a2b2，又a，b均为正实数，∴∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误；用作差法比较a+2025b+2025-a∵b>a>0，∴2025(b−∴ab<a+2025b+2025(2)若a>0，b>0，则p=(ab)a+b2与qA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q答案A解析由题知p>0且q>0，pq=(ab)a+若a>b>0，则ab>1，a-b>0∴pq>1，即p>q若b>a>0，则0<ab<1，a-b<0∴pq>1，即p>q若a=b，则pq=1，∴p=q综上，p≥q.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1(1)已知c>1，且x=c+1-c，y=c-c−1，则x，A.x>yB.x=yC.x<yD.x，y的关系随c而定答案C解析由题设，易知x>0，y>0，又xy=c+1−cc−c−1=(2)已知a，b∈(0，1)，记M=ab，N=a+b-1，则M与N的大小关系是.

答案M>N解析因为M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1)，且a，b∈(0，1)，所以b-1<0，a-1<0，所以M-N>0，即M>N.题型二不等式的基本性质例2(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足a<b<0<c<d，则()A.a+c<b+d B.a+d<b+cC.a2d2>b2c2 D.ab>答案ACD解析由a<b<0<c<d，利用不等式的同向可加性得a+c<b+d，故A正确；当a=-2，b=-1，c=1，d=2时，满足a<b<0<c<d，此时有a+d=b+c=0，故B错误；由a<b<0<c<d，平方可得a2>b2>0，d2>c2>0，再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确；由a<b<0<c<d，可得-a>-b>0，d>c>0，再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc，两边同除以正数-bd得ab>cd，故D(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是()A.a2>ab B.aa+1C.a+b+ln(ab)>2 D.a-1a>b-答案ABD解析对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；对于B，∵a>b>0，∴1a<1b，∴1+1a<1+1b，即0<a+1a<b+1b对于C，令a=1，b=1e，则a+b+ln(ab)=1+1e+ln1e=1e对于D，易得y=x-1x(x>0)为增函数，且a>b>0，故a-1a>b-1b，故思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性.跟踪训练2(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则()A.dc<d+4c+4 B.a-cC.ac>bd D.1答案A解析对于A，dc-d+4c+4=4(d−c)c(c+4)，因为c>d>0，所以d-c<0，所以d对于B，a>b，c>d>0，取a=4，b=3，c=2，d=1，则a-c=b-d，故选项B错误；对于C，a>b，c>d>0，取a=2，b=1，c=6，d=3，则ac=bd，故选项对于D，a>b，取a=1，b=-1，则1a3>1b3(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是()A.ad>bcB.a(a+c)>b(b+d)C.da+D.ac+bd>ad+bc答案BCD解析对于A，取a=2，b=1，c=2，d=1，则ad=bc，故A错误；对于B，由a>b>0，c>d>0，得a+c>b+d>0，则a(a+c)>b(b+d)，故B正确；对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，且da+d<cb+等价于ad>bc，等价于ac>bd，故对于D，(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0，则ac+bd>ad+bc，故D正确.题型三不等式性质的综合应用例3(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则()A.3<x+2y<9B.-1<x-y<3C.2<xy<18D.12<x答案CD解析因为2<y<3，所以4<2y<6，因为1<x<6，所以5<x+2y<12，故A错误；因为2<y<3，所以-3<-y<-2，因为1<x<6，所以-2<x-y<4，故B错误；因为1<x<6，2<y<3，所以2<xy<18，故C正确；因为2<y<3，所以1<y-1<2，所以12<1y−1<1，又1<所以12<xy−1<6，故(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2(0<b<a)，现对该公园再扩建2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比()A.变大 B.变小C.不变 D.不确定答案D解析原来公园的绿化率为ba，扩建后公园的绿化率为b则b+xa+2x-b所以b+xa+2x与ba的大小与思维升华利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质.(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.跟踪训练3(1)已知2<a<3，-2<b<-1，则2a-b的取值范围是()A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)答案D解析由题意可知4<2a<6，1<-b<2，所以5<2a-b<8.(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比()A.不变 B.变小C.变大 D.变化不确定答案C解析设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比为ba(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为b∵a>b>0，∴b+ma+m-ba=ab+am−课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是()A.a>bB.a<bC.a≥bD.a，b的大小关系不确定答案B解析因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a<b.2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是()A.1a<1b B.2aC.a2>b2 D.|a|>|b|答案B解析取a=1，b=-2，满足a>b，显然有1a>1b，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，指数函数y=2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论一定正确的是()A.bc>c2 B.bbC.ab2>cb2 D.ca答案D解析由题知a>b>c且a+b+c=0，则有a>0，c<0，b>c，则bc<c2，A选项错误；b-c>0，因为b与0的大小关系未知，不能确定bb−c>0a>c，当b=0时，ab2=cb2，C选项错误；a-b>0，c<0，ca−b<0，4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为()A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁答案A解析设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得a显然d>b，d>c，②+①可得a>d，由②-①可得b>c，故a>d>b>c，即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知c>b>a，则下列结论正确的是()A.c+b>2a B.1c−C.bc−b>ac−a答案AB解析对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确；对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以1c−b>1c对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时bc−b=−2−1+2=-2，ac−a=−3对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，ab=2，ca=1−2=-12，此时ab>6.(2025·洛阳联考)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤ab≤A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4答案AC解析1≤ab≤4，4≤ab≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A由题意得19≤ba≤14，又1≤ab≤4，两式相乘得19≤b2≤1，所以13≤|b|因为1≤a2b2≤16，4≤ab≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C因为1≤a2b2≤16，19≤ba≤14，所以两式相乘得19≤ab3≤4三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知0<β<α<π2，则α-β的取值范围是.答案0，解析