广东省汕头市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（教师版）

试卷类型：A汕头市2022~2023学年度普通高中教学质量监测高二数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､学校､座位号､考生号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.第Ⅰ卷选择题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集.【详解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以，故选：C2.已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对化简求出复数，再求出其共轭复数，从而可求出的共轭复数的虚部.【详解】由，得，所以，所以的共轭复数的虚部为，故选：D3.已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算向量与向量的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.【详解】根据题意，得，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C4.一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为2和4，则该圆台的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出上下底面圆的半径，进而求出高线，利用圆台体积公式进行求解.【详解】设圆台上底面圆半径为，则，解得：，设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，圆台的母线长为4-2=2，画出圆台，如下：过点D作DE⊥AB于点E，则，由勾股定理得：，所以圆台的体积为.故选：D5.已知数列的通项公式为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意化简得到，结合计算规律，准确计算，即可求解.【详解】因为数列的通项公式为，且的周期为，可得，又因为，所以.故选：A.6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.7.已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（）A. B.4 C.8 D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解.【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，则，如图：当点P在位置M时，取到最大值，当点P在位置N时，取到最小值，所以的取值范围是，即，所以的最大值，最小值，所以.故选：C.8.已知函数，，若，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，，，即，令函数，则，所以，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，，作函数的图象如图所示.由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴设，，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形，，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（）A.残差平方和越大，模型的拟合效果越好B.若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点C.用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D.若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系【答案】BD【解析】【分析】利用残差平方和的含义判断选项A，由回归方程必过样本中心判断选项B，由相关系数的含义判断选项C，D．【详解】解：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；因为回归方程必过样本中心，故选项B正确；因为系数越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；由相关系数为负且接近1，则和之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．故选：BD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数最大值为1B.函数在区间上单调递增C.函数的图像关于直线对称D.函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像【答案】AD【解析】【分析】由题可得，然后利用正弦函数的性质及三角函数图象变换逐项判断即得.【详解】∵函数，∴，当时，函数取得最大值1，A正确；令，当时，，在区间上不单调递增，故B错误；当时，，函数的图像不关于直线对称，C错误；函数的图像向右平移个单位得到函数，D正确．故选：AD.11.已知双曲线和圆，则（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.当时，双曲线与圆没有公共点D.当时，双曲线与圆恰有两个公共点【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断D.【详解】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确；双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误；因为圆心到双曲线的渐近线的距离，所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确；设双曲线上的点的坐标为，，则圆心到点的距离为

，当且仅当时取等号，所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为，所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确．故选：ACD12.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（）A.三棱锥体积的最大值为B.存在点M，使平面C.点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值D.存在点M，使直线与所成的角为【答案】ABC【解析】【分析】根据题意以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断A选项.根据线面平行的判定定理判断B即可求解.【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则,由是棱上的动点，设，,因为底面为正方形，故,又底面所以,又,所以底面,所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故A对.当为中点时，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；点到平面的距离，点到平面的距离,所以，故C正确.,,若存在点，使直线与所成的角为30°则，化简得，无解，故D错误；故选：ABC第Ⅱ卷非选择题三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据所有奇数项的二项式系数和为求出，再根据二项展开式的通项即可求出常数项.【详解】由题意及二项式系数的性质可得，解得，所以其展开式的通项为，依题意令解得，所以展开式中的常数项为，故答案为：14.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．【详解】已知，，则，故答案为．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．15.已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：16.已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，为上一点，，，.（1）若，求外接圆的半径；（2）设（为锐角），若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可求出，再根据正弦定理即可求出；（2）由题意可知，由平方关系求得，设，在中由余弦定理即可求出的值，由正弦定理可求得，再根据三角形的面积公式即可求出．【详解】（1）由余弦定理得，解得；又，解得；∴外接圆的半径为.（2）由，所以，所以；由，得；设，则，，在中，，，，，由余弦定理得，解得；所以，；由正弦定理，即，解得；所以，即的面积为.18.已知正项数列前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；（2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.【小问1详解】①，当时，②，①-②得，整理得，，，又当时，，解得，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，；【小问2详解】由（1）得，，，即.19.如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．

（1）求证：平面平面；（2）若二面角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】【分析】（1）证明出，从而可证明平面，然后可得证面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的向量法求得的长，再由线面角的向量法求得结论．【小问1详解】由题意，，∴，，平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；【小问2详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，平面的一个法向量为，所以，解得，∴，又，，∴直线与平面所成角的正弦值．20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可；（3）分层抽样后运用超几何分布求解.【小问1详解】零假设：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；【小问2详解】∵，∴估计的值为；【小问3详解】按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.，，，，∴的概率分布列为：0123∴数学期望.21.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.（1）求曲线和曲线的标准方程；（2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解，进而可根据的关系求解，（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求