第5章 函数概念与性质 章末小结（解析版）

第5章函数概念与性质章末小结

一、典型题型...................................................................................1

题型1函数值域的求法.................................................5

题型2函数性质的应用10

题型3函数的图象与数形结合思想....................................14

1

典型例题

题型1函数值域的求法

反思领悟：常见的求值域的方法

⑴直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的

值域.例如求函数4%)=5》+1(》©{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即

可得到函数兀0的值域为{6,11,16,21}.

⑵分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形

式，然后根据分式的特点去求函数的值域.

(3)反解法：例如求函数y=：V(x>—4)的值域.由丁=：二"解出x得》=*学.由x>一4,得

4,即”;>0,，y>|或y<l.故函数y=17p|(x>—4)的值域为(一8,i)u仔，+°°J

(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.

(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为/,转化为关于/的某

种简单的基本初等函数，再确定/的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.

(6)判别式法：对于形如：丁=嗯的函数，々X)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次

函数）可以将方程转化为关于X的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不

小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域.

⑺基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解.

例1下列函数，最小值为2的函数是（）.

A.y=x+—B.y=x+2^/x+3

x

尤2+2»

C.y=-1D.y=x—2x+2

\lx2+l

【答案】C

【分析】对于A,分尤>0和x<0两种情况用基本不等式求函数的值域即可；

对于B,用配方法求函数的值域；

对于C,先分离常数，再用基本不等式求值域；

对于D,用配方法求函数的值域.

【详解】解：对于A,当x>0时，y=x+—32./%•-=2（当x=l时，等号成立）;

xV%

当x<0时，_y=-尤+（-!）？%）•—=232，/了」=2（当x=-l时，等号成立）,

尤V-x\x

所以yV-2,故函数的值域为（-8,-2］U［2,+«>）,不符题意;

对于B,由题意可知x20,y=x+2\/^+3=（^/^++22（0+1尸+2=3（当x=0时，等号成立），不符题意;

上2,（当x=0时，等号成立上

对于D,y=Y-2x+2=（尤-I）?+121,不符题意.

故选：C.

例2（多选题）如果某函数的定义域与其值域的交集是可，则称该函数为可交汇函数下列函数

是"［0,1］交汇函数"的是（）.

A.y=VxB.y=J］-xC.y=\-x2D.y=yll-x2

【答案】BD

【分析】根据［0』交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.

【详解】由心,以交汇函数定义可知：［0,1］交汇函数表示函数定义域与值域交集为［0』；

对于A,>=«的定义域公=［。,田），值域8=［。,+8）,则An3=［。,­），A错误；

对于B,>=/匚7的定义域4=(3,1],值域3=[0,+“)，则AI3=[O,1],B正确;

对于C,y=l--的定义域为A=R,值域3=(F,1],则入门5=(3』，C错误；

对于D,y=71^7的定义域为A=值域3=[0』],则AI3=[0』],D正确.

故选：BD.

例3求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4,①xe[T,-l]；②尤e[-2,3]；

(2)/(x)=y/x2-2x+3；

【答案】⑴①[7,28]；@[3,12]

(2)[应,+℃)

⑶(-8,1)S(1,+°0)

【分析】(1)①②，配方后利用二次函数的性质求解即可，

(2)利用换元法求解，

(3)利用分离常数法求解

(1)

y=X2—2x+4=(x—I)2+3,

2

①当x-1]时，Ax=(-4-1)2+3=28,ymin=(-l-l)+3=7,

回值域为[7,28]；

②当xe[-2,3]时，^=(-2-1)2+3=12,^„=(1-1)2+3=3,

团值域为[3,12].

(2)

令f=炉_2%+3，则y=〃，

因为/=2x+3=(%—iy+222,所以“20,即

所以函数的值域为［也+可；

(3)

v」-2_(x+3)-5_15

y————i，

x+3x+3x+3

因为三wO,所以

所以函数的值域为(-8,1)即1,+8).

题型2函数性质的应用

反思领悟：函数单调性与奇偶性应用常见题型

⑴用定义判断或证明单调性和奇偶性.

⑵利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.

⑶利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.

例1若偶函数在区间[5,7]上是增函数且最小值是6,则在卜7,-5]上是()

A.增函数，最大值是6B.增函数，最小值是6

C.减函数，最小值是6D.减函数，最大值是6

【答案】C

【分析】利用函数单调性、最值的定义结合偶函数的性质判断可得出结论.

【详解】任取为、三目―7,-5]且再<马，即一74再<工24-5,则54-尤2<-占47,

由题意可得了(-9)</(-%)，由偶函数的性质可得/&)>/(%)，

且对任意的x7,-5],-xe[5,7],由题意可得6=〃5)W〃r)W〃7),

贝|6=〃-5)"(力"(-7),

因此，在[-7,-5]上是减函数，最小值是6.

故选：C.

例2(多选题)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学王子”称号，他和阿基米德、

牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数"为：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则

、=国称为高斯函数,也称为取整函数.如[L2]=1,[3.9]=3,[-1.5]=-2,以下关于"高斯函数"的性质应用

是真命题的有()

A.HreR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,印=[y],贝

C.V%,yeR,[x+y]<[x]+[y]

D.若〃x)=[司的定义域为[0,3],值域为M,g(x)=j2x_f的定义域为N,则MuN={x|0WxW2}

【答案】AB

【分析】A选项可举出实例；B选项可进行推导；C选项可举出反例；

D选项求出加={0,1,2,3}和"=304元<2},从而求出并集.

【详解】尤=2时，[2司=[4]=4=2[2]=2国，故A为真命题；

设[x]=3=keZ,则左k<y<k+l,^x-y<l,故B为真命题；

x=0.5,y=0.6时，有[x]+[y]=0,但[x+y]=[l.l]=l>[%]+3,故C为假命题.

因为/(尤)=田的定义域为[。，3],值域为M={0,1,2,3},

g(x)=j2x-d的定义域为：2x--20,解得：0<x<2,

所以N={W0V},对于D,Afu7V=U|O<x<2}u{3},所以D不正确.

故选：AB

^x+h3

例3已知函数/(工)二丁=是定义域为(一2,2)的奇函数，

a+45

(1)求a,6的值；

(2)判断函数;(X)在(-2,2)上的单调性，并用定义证明；

⑶若函数加)满足了(2机-2)+/(疗+1)>0,求m的取值范围.

【答案】(1)。=-1或a=l,b=0.

⑵单调增函数，证明见解析.

(3)(72-1,1)

3

【分析】(])根据"0)=0"⑴=：，即可求得结果；

(2)利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性；

(3)根据函数奇偶性以及(2)中所得单调性，结合函数定义域，即可求得加的取值范围.

(1)

因为/(x)是定义在(一2,2)的奇函数，故可得/(0)=0,则b=0；

因为/(1)==，故可得三三二3,解得〃=1或〃=一1;

5a+45

综上所述：a=l或。=-1,b=0.

(2)

/(x)是(一2,2)上的单调增函数，证明如下：

3

由(1)可知：/(%)=-%,不妨设-2<玉<々<2,

则」(%)-/(苞)=夕％-苍)<。即/(%)</(%)>

故"X)是(-2,2)上的单调增函数，即证.

⑶

f(2m-2)+f(m2+1)>0等价于/(2z?z-2)>—f(nr+1),

/(元)是奇函数，故可得“2加—2)>/(-m2-1),

由(2)可知，〃x)是单调增函数，故2〃?-2>-疗t

即(m+l)2>2,解得机>陵-1或根<-夜—1.

又〃x)的定义域为(-2,2),贝1]-2<2祖-2<2,且-2V疗+1<2

解得0<根<2,且一1<用<1.

综上所述：me(V2-l,l).

题型3函数的图象与数形结合思想

反思领悟：作函数图象的方法

方法一：描点法一求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线.

注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.

方法二：变换法----熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.

13,

--X2—X4--x<〃

例1已知函数〃力=22'一无最大值，则实数。的取值范围是()

-2x,x>a

A.(1,+co)B.(-1,0)C.(0,+a?)D.(-00,-1)

【答案】D

【分析】根据题意作出函数的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.

iQ

【详解】解：由题可知，当XV。时，/(x)=--x2-x+1,其对称轴为x=-l,

13

当a2-L时，函数〃尤)=1尤2-尤+；有最大值为/(-I)=2,

1313

当“<-1时，函数/⑺=一万—一龙+^有最大值为了⑷二一万八^+万，

当x>a时，/(尤)=-2x,在3,也)单调递减，故/(无)<f⑷=-2”，

因为函数/(x)无最大值，故当时，需满足2<-2a,解得。<-1,不符合题意,

13

当a<—1时，需满足一5。~一。+5<—2。，解得1,a>3(舍去).

综上，实数。的取值范围是

例2(多选题)已知/W是定义在区向c]上的奇函数，其图象如图所示，令g(x)=4(x),则下列关于

函数g(x)的叙述中，正确的是()

A.若。<0,则函数g(x)的图象关于原点对称

B.若80,则函数|g(x)|的图象关于y轴对称

C.若40,则g(x)的单调减区间[-C,-2],[2,c]

D.若o*0,则方程g(x)=0有3个互异实根

【答案】ABD

【分析】结合。的正负和/W的图像依次判断选项即可.

【详解】定义域为[-C,C],当。<0时，由g(-x)=(^(-x)=-/(x)=-g(x),A正确；由0时,

|g(-x)|=\af(-x)\=|of(x)|=|^(x)|,B正确；

g(x)=O等价于/(x)=0,D正确；a>0时，g(x)的单调减区间和/(x)的单调减区间相同，C错误.

故选：ABD.

例3函数〃尤)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x.

⑴求的解析式，并画出函数的图像；

(2)求不等式“x)-2〃r)>。

X

x2-2x,x>0

【答案】⑴〃尤)=<0，x=0,

-x?-2x,x<0

图象见解析

(2)(-co,-2)U(2,+oo)

【分析】(1)由奇偶性求出函数解析式，画出函数图象；

(2)利用奇偶性对不等式化简，数形结合求不等式解集.

(1)

由于〃x)是定义域为R的奇函数，所以"0)=0，

当了<0,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=%2+2x,

又因为/(—%)=—/(%),所以一/(x)=无2+2X,所以/(%)=一％2一％,

x1-2x,x>0

综上：〃x)=<O,x=O；

-x2-2x,x<0

图象如图所示:

(2)

由〃=可得：,x)-2/(r)=/(x)+2/(x)=^)>0,

XXX

由于X在分母位置，所以XHO,

当x<0时，只需〃力<。，由图象可知：尤<-2；

当x>0时，只需/(x)>。，由图象可知：x>2；

综上：不等式的解集为(―—内伍心).

活学活用培优训练

一、单项选择题：(本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题意要求的.)

1.已知全集&=卜|4=，％-1卜集合3=卜|/<1},则人口3=()

A.—»+B.[1,+℃)C.(1,+0°)D.0>—

【答案】D

【分析】先求函数>=4^得4=。，；，再解不等式V<1得3=(-1,1)，再求集合交集运算即可.

【详解】解：因为y=4^7的定义域为[。』，所以函数y=G9的值域为0,1,

所以A={y|y=J尤-尤2}=0,g,

又因为3=卜|/<1}=(-1,1),

所以4口3=0,1

故选：D

V2

2.某同学在研究函数/(幻=1三时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是()

|x|+l

A.函数/'(x)是奇函数B.函数/'(x)的值域是(L+℃)

C.函数在R上是增函数D.方程〃尤)=2有实根

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断

【详解】对于A,/(-x)=(告=/(x),故AM是偶函数，/(-I)=/(1)=1,/(尤)不是奇函数，故A错

误,

对于B,当xNO时，/(x)=^-=x+l+——一2,由对勾函数性质知/(%)2/(0)=0,

X+lX+1

而了(X)是偶函数，/(元)的值域是。口)，故B错误，

r21

对于C,当x>0时，/(%)=——=尤+1+-----2,由对勾函数性质知/⑺在(0,+8)上单调递增，

X+lX+1

而了⑴是偶函数，故/⑴在(-8,0)上单调递减，故C错误，

对于D,当x>。时，f(x)=2,即/_2..2=0,解得了=道+1,故D正确，

故选：D

3.已知偶函数的定义域为R,且当X20时，/(月="，则使不等式/(〃-2a)<g成立的实数。的

取值范围是()

A.(—1,3)B.(—3,3)C.D.(—8,3)

【答案】A

【分析】分析可知〃x)在[0,+8)上单调递增，且〃3)=g,将所求不等式转化为川/一24)<”3),可得

出|"-24<3,解此不等式即可得解.

【详解】当xNO时，〃X)=3=(X+1)2=]_3,所以在[0,+司上单调递增，

x+1x+lX+1

且/(3)=：,不等式/(1-2a)<；即为f一2")<"3).

又因为〃x)是偶函数，所以不等式/(/-2.<〃3)等价于川/一24<〃3),

则尸-24<3,所以，fa-2«<3解得一1<°<3.

11[a2-2a>-3

综上可知，实数。的取值范围为(-1,3),

故选：A.

4.已知/(无)是定义域为(-吟+◎的奇函数，满足/(x)=/(2-x).若/⑴=1,贝U

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+..■+/(30)-()

A.13B.0C.-1D.1

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质得到"0)=0,f(-%)=-/(%),再由/(x)=/(2-X),即可得到了⑴是以4为周

期的周期函数，再求出了⑵、“3)、/(4)的值，即可得解.

【详解】解：因为/(尤)是定义域为(f,+8)的奇函数，所以"0)=0,/(-%)=-/(%),

X/(x)=/(2-x),所以/(x)=/(2—x)=—/(f),即一/(x)=/(2+x),

所以/(2+x+2)=-〃2+x)="x),即/*)是以4为周期的周期函数，

又/⑴=1,所以〃2)=〃0)=0,f(3)=/(4-l)=f(-l)=-/(l)=-l,

f(4)=/(0)=0,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,

所以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+…+/(3O)

=[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]x7+/(l)+/(2)=l.

故选：D

5.形如/(x)=\的函数，因其图象类似于汉字"冏"，故被称为"冏函数"，则下列说法中正确的个数为()

①函数的定义域为何尤工1｝；

②〃“2019))=-黑；

③函数的图象关于直线尤=1对称；

④当无«-u)时,小)2=一1；

⑤方程+4=0有四个不同的根.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据分式分母不为零可求得“X)定义域，知①错误；利用解析式可求得了(一(2019)),知②正确；

通过了⑵工八。)可知③错误；分别在xe(T0]和x且0,1)的情况下得到/(x)1rax,知④正确;作出与

>=尤2-4的图象，根据图象交点个数可知⑤正确.

【详解】对于①，由国一1工。得:中±1,.•"(X)的定义域为｛小w±l｝,①错误；

2018

对于②，7/(2019)=-1-

，”(MAH二一一2017，②正确;

ZU1O-1

2018

对于③，v/(2)=-l-=l,/(0)=高-(2冲〃0),

Z—1u—1

.."（可不关于直线兀=1对称，③错误;

对于④，当xe(T,0］时，/(%)=^-=--二,止匕时〃x)W〃0)=T；

—x—1x+1

当xe[0,l）时，〃尤）=工，此时/（x）V/（O）=-l；

X~1

综上所述:当时,/（X）1Mx=-1,④正确;

对于⑤，在平面直角坐标系中，作出“X）与y=炉-4的图象如下图所示,

由图象可知：〃x）与y=V-4有四个不同交点,

；・方程〃力-炉+4=0有四个不同的根，⑤正确.

故选：B.

6.已知函数〃工）=同匕

,则下列说法正确的个数为（

①函数"X）的定义域为何无H1};

2019

(2)/(/(2020))=-

2018

③函数f（x）的图象关于直线尤=1对称;

④当xe（T，l）时，/（力2=一1；

⑤函数g（x）=/（x）-f+4的图象与x轴有4个交点.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据分母不等于0,求解函数的定义域，判断①；代入验证判断②；画出函数/（X）的图象，判断

④⑤；画出函数/（x）和y=d-4的图象，即可判断函数图象的交点个数.

【详解】函数的定义域为{x|x*±l},故①错误;

12019

1J—2018,故②正确;

2019-

1

作出］后的图象如图所示，由图可知③错误，④正确.

令g(x)=/(x)-x?+4=。，得方程〃x)=x2-4,

在上图中作出抛物线y=x2-4,由图可知/（尤）的图象与抛物线有4个交点，

故函数g（x）的图象与无轴有4个交点，故⑤正确.

故选：B.

二、多选题

7.给定函数/（%）=1%1,g（，）=B,皿X）表示，（尤），g（x）中的较小者，记为皿%）={/（%），g（X）}，则（）

A.m(-l)=-1

B.函数，心)的定义域为(72,0)U(0,+8)

C.函数机(X)的值域为(-00,1]

D.函数见x)的单调区间有3个

【答案】ABD

【分析】当x=-l时,/(-D=l,gW=-l,可判断A;作出函数机⑶的大致图象，由此可判断B,C,D.

【详解】当x=—l时，/(-l)=l,g(x)=-l,故〃2(-1)=一1,A正确；

作出函数〃x)=|x|,8龛)=：的图象，可得到Mx)={/(x),g(x)}的图象如图：(实线部分)

函数m(x)的定义域为(-<»,0)U(。,,B正确；

函数机(x)的值域为(-8,0)U(0,l],故C错误；

函数机(x)的单调区间有(-8,0),(0,1],(1,一),故D正确，

故选：ABD

8.已知函数〃尤)对任意都有/(x+y)+〃x—y)=〃x)〃y),且/(0)w0.则下列结论正确的是

()

A.〃尤)为偶函数B.若〃万)=0,则"2万)=0

C.〃2耳=尸(力—2D.若/⑴=0,则/(x+4)=/(x)

【答案】ACD

【分析】根据“X+y)+/(x-y)=/(x)/(y)分别取特殊情况验证各选项即可.

【详解】选项A：因为"0)*0,令无=y=0可得/•(0)+〃0)=/⑼，解得"0)=2.令x=0可得

〃y)+/(-y)=〃o)/(y)=2/(y),所以/(>)"(-y),故为偶函数,A正确;

选项B：令x=y="可得八2万)+/(0)=/(万)〃下)，所以/(2万)=-2,B错误；选项C:令尸工可得

/(2X)=/2(X)-2,C正确;

选项D：令y=l可得/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=O,所以/(x+l)=—/(x-1),所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),D正确.

故选：ACD.

9.定义域和值域均为[-的函数y=/(x)和y=g(x)的图象如图所示，其中。>6>c>0,给出下列四个

结论正确结论的是()

B.方程g[f(x)]=O有且仅有三个解

C.方程，[/(尤)]=。有且仅有九个解

D.方程g[g(x)]=。有且仅有一个解

【答案】AD

【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.

【详角军】由〃可得一av—c<0,

对于A,/[g(x)]=O,结合y=/(x)图象可得g(x)=-b,g(x)=O或g(x)=b,

结合y=g(x)的图象可得，g[x}=-b,g(尤)=0,g(x)=6各有一个解，即方程/[g(x)]=O有且仅有三个

解，A正确；

对于B,g"(x)]=O,结合y=g(x)图象可得〃x)=b,结合y=/(x)的图象可得，/(司=6有一个解,

即方程g[f(x)]=O有且仅有一个解，B错误；

对于C,/[/(x)]=0,结合y=/(x)图象可得〃尤)=-6,〃尤)=0或/")=6,又〃x)=0有3个解，

f(x)^-b,=b各有一个解，

即方程f[/(x)]=O有且仅有五个解，C错误；

对于D,g[g(初|=0,结合y=g(x)图象可得g(x)=b,又g(x)=6有一个解，即方程g[g(x)]=o有且仅

有一个解，D正确.

故选：AD.

三、填空题

10.函数y=-X+2gl的值域是.

【答案】〔T，田)

【分析】令^/^7=f,换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案.

【详解】设"二7=f则尤=1-/,此0

所以y=—x+2Jl-x=厂_]+2t=Q+1)-_2(f20)

因为函数y=(f+l)2-2在[0,+向上单调递增，

当，=0,y=-1,

所以函数、=-了+2G的值域为[-1,田)

故答案为：

11.请写出一个同时满足条件①②③的函数〃力=.

①V尤eR,/(l-x)=/(l+x)；②函数“X)的最小值为1；③函数“X)不是二次函数.

【答案】|%-1|+1

【分析】根据给定信息可得了(尤)是图象关于x=l对称，最小值为1且不是二次函数的函数，写出一个含

绝对值符号的函数即可.

【详解】由VxeR,"1—x)=〃l+x)可得：函数图象的一条对称轴为直线x=l.

因为函数/(尤)的最小值为1,且函数/(X)不是二次函数，

所以可选取〃x)=|x-1+L(答案不唯一)

故答案为：|x-l|+l

x(3-X),XG[0,3]

12.已知偶函数了(%),当x＞0时，/(%)=J30、，若函数y=/(%)-根恰有4个不同的零点，则

1——,1£(3,+。)

、X

实数加的取值范围为

【答案】中

【分析】作出函数/(X)的图象，将问题转化为函数丁二人均与丫二机有4个不同的交点，由图示可得答案.

【详解】解：作出函数“X)的图象如下图所示，令y=/(x)-7〃=0,则“r)=机，

若函数y=/(x)-机恰有4个不同的零点，则需函数＞=/。)与'=m有4个不同的交点，所以实数m的取

9

值范围为14加＜二，

13.求下列函数的值域:

(1)/(^)=—

-X—1

(2)"号

(3)/(x)=J-2%2+%+3；

(4)/(x)=x-y/l-2x.

【答案】⑴[TO)

(2)(-<X),2)U(2,-KX))

【分析】(1)利用不等式的性质即可得到值域;

77

(2)将原函数化简为y=2+-根据一即可得到值域；

x-3x-3

(3)将原函数化简为y=J一获，根据二次函数的性质和根号的取值，即可得到值域；

(4)令，=行石，/NO,所以可将原函数化简为>+1,根据二次函数的性质可求得值域

(1)

因为dzO，-x2<0，所以-Y-lV-l恒成立，

所以-IV一二<0,所以所求函数的值域为

—X—1

(2)

E4,2X+12(x-3)+77口7

因为-----=△----』—=2+----，且一-^0,

x-3x-3x-3x—3

所以至7Y-J9-1*2,所以函数的值域为(3,2)U(2,田)；

X-J

(3)

因为‘-2/+4+3=］21一；：+1,所以OWJ-2x2+x+3W半,所以函数的值域为。，乎；

(4)

设方=J1-2%，贝h>0且％=—产H—,得％-J1-2x=—t2-t-\—=—('+1)+1，

22222

因为此o,所以-gu+iy+iv；,所以函数的值域为卜双g

14.已知函数/(x)=1-£.

⑴是否存在实数6,使得函数“X)在区间可上的值域为［。回？请说明理由；

(2)若存在实数6,使得函数/(x)在区间6］上的值域为［加4〃刃，求实数"?的取值范围.

【答案】⑴不存在。力，使得函数/⑺在区间句上的值域为可,理由见解析

⑵心

【分析】(1)分类讨论可得分段函数解析式，由止匕可得/(了)图象，由/(丈)？0可知分另U在

人的情况下，结合单调性可构造方程组，由方程组结果可知不存在满足题意的6；当0<a<146时,

由1目凡6］可推导得到Oc［a,可，可知不合题意；综合三种情况可得结论；

fmb>ma/、

(2)由「和"x)ZO可推导得至ljm>0,。>0,当0<°<分<1和0<a<146时，结合(1)的方法可知

［b>a

不合题意；当IV，V》时，可知〃力是m，一"+1=0的大于1的两根，由一元二次方程根的分布可构造不等

式组求得结果.

(1)

l--,x<0

由题意知：/(x)=-1-1,0<X<1,则"%)图象如下图所示,

1--,X>1

X

假设存在a,b,使得函数7■(x)在区间［a,b］±.的值域为［a,b］,

,,-.b>0,贝iJa>0；

"a)=1-l=6

①当0<“<6<1时，〃尤)在可上单调递减，J

两式作差得-b-a,:.a-b^ab-\；

abab

当。=6时，不满足

当而=1时，--l=b-l^b,不合题意;

a

,此时不存在。,b,使得函数〃x)在区间［a,句上的值域为［a,句;

f^a)=\-^-=a

②当时，在,,国上单调递增，I

46)=1-：=%

则。力是方程1--=x,即方程％2-犬+1=0的两根，但方程炉-工+1=0无实根;

,此时不存在。也使得函数在区间句上的值域为［名以；

③当0<a<lM6时,此时lw[a,可,又/⑴=0,.-.Oe[«,&],不合题意;

,此时不存在,使得函数〃x）在区间［a,句上的值域为［a,句;

综上所述：不存在”,匕，使得函数〃x）在区间可上的值域为可.

⑵

若存在实数”,6,使得函数在区间［a,b］上的值域为a,“回,

"zZ?>mti

则b>&'则机>0，又/(x)>0,,\ma>Q,则a>0；

/(a)=--1=mb

①当0<”8<1时，〃X）在［a,6］上单调递减，

/(")=<—1=""

两式作差得：—-^-=^—^-=m(b-a),:.a=b^ab=—

ababm

当a=b时，不满足Ovav〃<l；

当M=_时，--l=mb-l^mb,不合题意;

ma

②当1什<6时，在目上单调递增,

,.Te[q,〃|时，/(1)=0,即0e[a,b],不合题意，.,.l<a<b；

=1--=ma

:,则。,6是方程1一人=机工，即帆必一%+1=0的大于1的两根,

/(Z?)=1--=mbX

A=l-4m>0

­—>1，解得：。<根〈:；

2m4

m-1+1>0

③当OvavlKb时,此时l«a,句,又“1）=0,「.Ow［叫,不合题意;

综上所述：实数机的取值范围为(0,；］

15.已知函数/(x)=1台,曲(-2,2).

⑴试判断函数f(可在区间(-2,2)上的单调性,并证明你的结论;

(2)若/(2+a)+/(l-2a)>0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴/⑺在(-2,2)上单调递增,证明见解析

(2)］一则

【分析】(1)判断出函数在(-2,2)上单调递增，然后任取毛、%«-2,2)且不<%,作差

通分、因式分解后判断了(西)-/(超)的符号，即可证得结论成立；

(2)推导出函数为奇函数，将所求不等式变形为〃a+2)>〃2a-l),利用函数〃尤)的单调性与定

义域可得出关于实数。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.

(1)

证明：函数/