苏教版高二寒假作业：数列

苏教版高二寒假作业4：数列

【基础巩固】

2

1.（2024•全国•月考试卷）若数列｛4｝满足4+1=T+'j^一，且4=3,则。2023=（）

11

A.—2B.—C.—D.3

32

2.（2023•江苏省苏州市•单元测试）在数列｛。〃｝中，a3=2,a7=l,若为等差数列，则%=（）

4323

A.-B.-C.一D.-

3234

（2024糊北省•联考题）已知函数段）ax-4%>5

3.=1t，数列｛厮｝满足a=A"）j£N*,则｛a｝为递增

(5—a)x—11,%45nn

数列”是“（工〃<5"的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要

4.（2024•广东省江门市•单元测试）已知等差数列｛0｝的公差为2,若%,%，4成等比数列，5“是｛%｝的前

力项和，则S9等于（）

A.-8B.-6C.10D.0

a5n+23

5.（2024•江西省九江市・单元测试）已知等差数列｛qj和｛bn｝的前n项和分别为5„和T”,若肃=7丁

S

则使得宣n为整数的正整数”共有个（）

1n

A.3B.4C.5D.6

6.（2023•湖北省襄阳市•月考试卷）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多

著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了

聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和都与

高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10

个，则第30层小球的个数为（）

A.464B.465C.466D.495

7.（2023•江苏省宿迁市•期末考试）已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，若的，4022是方程

尤2-3%+2=0的两个根，则/og24+/°g2a2+/°g2a3+-・+/°g2a2023的值为()

8.（2024•安徽省芜湖市•期中考试）现将数列｛3几-1｝与｛3。+n｝的公共项按照从小到大排列构成数列&卜

则26,得Q的个位数字为（）

A.0B.2C.4D.8

9.（多选）（2024•湖北省十堰市•月考试卷）已知数列｛2｝的前〃项和5“=-〃2+31”,则下列说法正确的是

()

A.an--2n+32B.为中的最大项

%+。3+“5+•，，+437

D.|q|+1%I+1。31+,，，+1。301~430

%+。4+a6+，，，6

10.（多选）（2024•江苏省镇江市•期中考试）已知数列｛an｝满足与+1-2即=2n+1,且的=4,则下列正确

的有（）

A.a3=32

B.数列｛署｝的前几项和为2叱1

C.数歹40取智的前n项和为历出⑺+1）+争

D-若数歹可就｝的前几项和为加则今<&<*

11.（多选）（2024•安徽省•模拟题）已知数列｛”“｝的前〃项和为S”（S〃W0）,且满足

%+45*=。口2）,则下列说法错误的是（）

1

A.数列｛%｝的前〃项和为S“=4〃B.数列｛“”｝的通项公式为q=4〃（“+1）

,1.

C.数列｛。”｝为递增数列D.数列｛丁｝为递增数列

12.（2024•广东省中山市•月考试卷）记S“为等差数列伍“｝的前”项和.若q/0,a,=3%,则共=

d5

13.（2024•湖北省天门市•月考试卷）将数列｛3叫按“第〃组有〃个数”的规则分组如下：⑴，（3,9）,

（27,81,243）,…，则第100组中的第一个数是______.

14.(2024•安徽省•入学测验)已知数列｛4“｝的前〃项和为S“，且有S“y=S“_yMS/aeN*),

%=%=1.则S“=__________，数列｛T------匕--1—)的前n项和为北，则T=___________.

/0g2s“+1”og2s“+2

15.(2024•广东省惠州市•单元测试)设等差数列｛q,｝的前n项的和为S,,,且S4=-62,S6=-75,求:

⑴求伍“｝的通项公式％；

(2)求数列｛|%|｝的前14项和.

16.(2024•广西壮族自治区•单元测试)设｛““｝是等差数列，也J是等比数列，公比大于0.已知囚=々=3,

4=〃3，4=4%+3.

(I)求｛4｝和｛2｝的通项公式;

为奇数，

(II)设数列｛c“｝满足Cn=<b"〃为偶数.求4cl+a2c2+-+a2nc2n(neN*).

3

17.(2024•安徽省淮南市•单元测试)已知数列｛”“｝满足：4=2,nan+x+(〃+1)=(”+2)a“+(〃+1).

⑴证明：数列是等差数列;

7n(n+2)

(2)设b“=；用,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

/an

【拓展提升】

18.（多选）（2023•江苏省盐城市・期末考试）如图，已知正三角形ABC的边长为3,取正三角形ABC各边

的三等分点E,尸作第二个正三角形，然后再取正三角形。EF的各边的三等分点N,P作正三角

形，以此方法一直循环下去.设正三角形48c的边长为％,后续各正三角形的边长依次为出，

an；设AAE户的面积为伉，△石MP的面积为匕2，后续各三角形的面积依次为白，…，久,则

下列选项正确的是（）

A.数列｛%｝是以3为首项,匕为公比的等比数列

3

B.从正三角形A8C开始，连续3个正三角形面积之和为应1

4

C.使得不等式bn>］成立的"最大值为3

36

3

D.数列｛%｝的前"项和S.<；

Q〃+i，n-2k-1

19.（2024•全国•模拟题）已知数列｛4｝、｛a｝满足2=~其中左eN*，电｝是公比为4的等

.向T，"=2左

比数列，贝（用q表示）；若%+2=24,贝1]%=.

an

20.（2023•江苏省常州市•联考题）已知数列｛«„｝的前n项和为Sn,Sn=24-2（neN*）,数列｛“｝满足

々=1,点P（d，d+J在直线%—丁+2=。上-

⑴求数列｛%｝,｛4｝的通项4和"；

⑵令c„=an-bn,求数歹U｛g｝的前"项和Tn；

,b

（3）若；l>0,求对所有的正整数〃都有23-左/I+2〉口成立的女的范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列的递推公式及数列的周期性，属于基础题.

由数列的递推公式可得数列的周期性，利用周期性即可求解.

【解答】

,2,2,21

解：依题意，4=3,a=-l+----,贝!!%=一1+■；-----=-2,«-+；----=一二

n+l1—1—31-a23

212

=-1+——=j，«5=-1+77—=3,…，所以数列｛%｝的周期为4,

,1

+a

故2023="505x4+3="3=一§.

故选B.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查等差数列的性质，属于基础题.

,1113

根据等差中项的性质可得2x—=—+—=7,即可求解.

【解答】

1〕,11134

解：若(一｝为等差数列，«3=2,%=1，则2x—=—+—,解得。5=-•

an\a5a3a123

故选A.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列的单调性，充分、必要条件的判断，分段函数的单调性，属于中档题.

利用数列的单调性求出。的范围，结合充分、必要条件的定义即可判断.

【解答】

解：由“｛%J为递增数列”可得

f(%)=/-4在(5,+8)上单调递增，

加0=(5-a)x-11在(一8,5］上单调递增,

■■■a>1且5-a>0,①

又ra6>a5,

•次6）45），

即a?+5a—14>0,

解得a<-7或a>2,@

联立①②取交集，得2<a<5,

•噌,5）是（2,5）的真子集，

所以“｛即｝为递增数列"是的必要不充分条件，

故选：B.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等比数列性质，考查等差数列的通项公式及其前八项和公式，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

由%,生，为成等比数列，可得再利用等差数列的通项公式及其前〃项和公式即可得出.

【解答】

解：a；,%，%成等比数列，二。；=。1。4，

」.（%+2x2）2=q•（4+3x2）,化为2al=-16,

9x8

解得q=-8.贝US9=-8X9+三一*2=0,

故选D

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题.

由已知可设%=5〃+23,2=〃+1,再等差数列的求和公式邑=〃（28+；〃+23）,看="（2,+1）,得到关

一S5〃+515（〃+3）+3636

于〃的表达式，适当整理，分离常数，即有针=-—5—=5+-利用整除性得出〃的

Tnn+3〃+3〃+3

值，进而作出判定.

【解答】

a5n+23

解：•.nZ=E，可设4=5〃+23也=〃+1,

〃(28+5〃+23)n(2+n+1)

贝””

22

5n+51_5（n+3）+36_36

则看——DH

〃+3〃+3

要使兴为整数

H+3是36的大于等于4的正约数，即〃+3=4或〃+3=6或〃+3=9或〃+3=12或〃+3=18或

n+3=36，

=3,6,9,15,33.二使得.为整数的正整数〃的个数是6.

故选D.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等差数列的实际应用，考查累加法，属于基础题.

记第“层有凡个球，则根据题意可得4-1="（九.2）,再根据累加法求解即可.

【解答】

解：记第n层有an个球，则q=1,a2—3,tz3=6,%=10，

结合高阶等差数列的概念知：

出一%=2,%—%=3，%—%=4,…，4—«„_i=〃（〃..2）,

则第30层的小球个数：

"30=（430—氏9）+（”。9—^8）+,•,+（a。一q）+a[=30+29+28+—F2+1=—------=465.

故选B.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等比数列的性质，对数运算，属于基础题.

由根与系数的关系可得出・％022=%言2=2,又由等比数列的性质可得

log2al+log2a2+log]%H---卜log202a23=（%012）"，进而结合对数的运算性质计算即可得答案.

【解答】解：由题知生,。2022=端M2=2，

又%>0,故/2=0，

2023

则log2^+log2a2+log2a3+…+log2a7O13=log2-a2-a3........=log2（al0l2）=.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查数列的分组法求和，数列的周期性，属于中档题.

由题意可得&=33"T+3n-1,利用分组求和法写出26£幽q=9（2720-1）+610X26,再结合27"

的个位数具有周期性得解.

【解答】

n

解：记an=3n—1,bn=3+n.

m

令-ak,贝！|3机+m=3k—1,故3+m+1=3k,

故只需巾+1是3的倍数即可，

则根=2,5,8,则％=33n-1+3n-1,

所以26鹉位=26（q+…+。20）

25

=26[3+3+…+359+（2+5+…+59）]

=9（272。_i）+6iox26,

而27n的个位数具有周期性，周期为4,且四个数字分别为7,9,3,1,

所以所求个位数为0.

故选：A.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题主要考查数列前力项和的最值问题，等差数列前〃项和等知识，属于中档题.

根据题意，先由Sn求得an,然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果.

【解答】

解：对于A：当〃=1时，Oj=30；

当n..2时，an=Sn-S„_1=-2n+32,经检验，当〃=1时，q=-2+32=30,

故an=-2n+32,A正确；

对于B：令。“=-2〃+32..0,贝I]%,16,

故当〃>17时，an<0,故S15和S16为Sn中的最大项，B错误;

对于c：卬…0正确;

6

a2+a4+a6+---+a129@+勺）

对于D：I%I+I々2I+I/I+…+I。301=("1+，2+…+”16)一(%7+018+…+/0)

=16(q+%)_14(%+%。)=&*30-7x(-30)=450,。错误.

22

故选：AC

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查裂项相消法及分组求和法，属于较难题.

对力，构造数列｛翁｝求解通项公式，进而可得。3；对乩由4可求出数列的通项公式，进而利用等比数列

前n项和公式求解即可；对C,根据对数的运算结合等差数列求和公式求解即可；对D,根据裂项相消求

和判断即可.

【解答】

解：对4由厮+1-2即=2"+1可得制-臂=1,故数列傍｝是以学=2为首项，1为公差的等差数歹U,

故表=几+1,即即=(几+1)2"，则＜13=32,故A正确；

对B,含=2",故数歹的前n项和为21+22+…+2皿=2九+】—2,故B错误；

对C,log2攀=log2=n+log2(ji+1)—log2n,则前n项和为1+log22—log2l+2+log23—

log224---1-n+log2(n+1)—log2n

=1+2+3+…+几+log2(jt+1)=log2s+1)4---，故。正确；

对O空二空二1二“1_____二)

'九+1(n+l)2nx(n+2)2n+12(n+l)(n+2)2Vn+1n+27，

则〃=2(2-^+^-彳+…+不一能)=1一两＜牙

又易得6随n的增大而增大，故7；2Tl=当即故。正确.

1Z1Z4

故选：ACD.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题主要考查了数列的通项公式和前n项和的相关关系,

a,7?=1

主要是关于:„。的运用.

[Sn-Sn_vn..2

【解答】

解:由+4sAiS”=0(几.2),得S“T=—4S,iS”,

i-£=4(n-2)-V营=4,

S=---,

n4“

1

当〃=]时，S]=q==—成立，S—neN*

i“4xl4n4”

11

.”..2时，a„=S„-S^=7-------=-y-7---

n4〃4(九一I)4八九一I)

11

—,n=I

当〃=1时，4=1,不符合当九.2时的通项，厂.凡4

I

,n..2

4”(〃—1)

，综上可知不正确的是A,B,C.

故选ABC

12.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查等差数列前〃项和以及等差数列的通项公式，考查了转化思想，属基础题.

根据%=3%,可得公差Q=2q,然后利用等差数列的前"项和公式将强用q表示，化简即可.

【解答】

解：设等差数列｛%｝的公差为“,

由qwO,a2—1^+d—3q可得，d—2al,

l0(q+qo)

S]o22(2%+9d)2(2q+I8q)

=4,

5(q+%)2ax+4d2al+8al

2

故答案为：4.

13.【答案】3495°

【解析】【分析】

本题主要考查了等差数列的前”项和，属于基础题.

由分组规则可知，前99组中的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的求和公

式得到前99组的最后一个数的项数，则第100组中的第一个数可求.

【解答】

解：由分组规则可知，前99组中的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列,

99x100

前99组数共包含1+2+3+…+99=^^=4950个数,

2

则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950.

故答案为3495。.

14.【答案】2'T；——

n+l

【解析】【分析】

本题考查数列的前〃项和及S“与4的关系、等比数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中档题.

化简已知式子得出得出数列｛"｝是等比数列，求出S“=2〃T,再得出

_______1________j_1

菖！,利用裂项相消法，即可求出结果・

lOg2S〃+ilOg2s〃+2〃

【解答】

解:由I•4=S“_i•%(〃..2,〃eN*)，得Sn(S„-Sn_J=S”.(Sn+1-Sn),

化简得S；=S”TS“M，

根据等比数列的性质得数列｛SJ是等比数列，易知耳=1,邑=2,故｛S“｝的公比为2,

q7n+1斫以---------------=-------=-------

则S“=2〃T,S,1+1=2",n+2=m

~'^log2Sn+1-log2Sn+2小+1)几〃+1

n

由裂项相消法，得北=1——+———+—=1

223nn+ln+ln+l

故答案为2〃T；----

n+\

15.【答案】解：⑴设等差数列｛狐｝的公差为d,

/4x37c

4qH———d——62

依题意得

/6x57ru

H———u=—75

解得％=-20,d=3,：.%=-20+(〃-1)x3=3〃-23；

(2)•：an=3n-23,由。〃<0得〃<不<8,

n(—20+3n—23)343IIiiiIi।

E,=---------.斤一2丁，二同+闷+同+-+MI

——%_Cl2一-***—+4+•,•+〃14=S]4—2s7—147.

【解析】此题考查等差数列的通项公式以及前W项和公式的问题，考查计算能力，属于中档题.

(1)由已知条件列出关于axd的方程组，求出axd可得到an-

(2)由通项公式4先判断数列｛4｝中项的正负，然后再化简数列｛|%|｝中的项，即可求出结果.

16.【答案】解：(1)｛q｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，公比大于。

设等差数列｛%｝的公差为力等比数列也“｝的公比为q,q>0.

由题意可得：34=3+2d①；3q2=15+4d②

解得：d=3,夕=3,

故%=3+3(〃-1)=3〃，Z?=3x3〃T=3〃；

工〃为奇数

⑵数列｛g｝满足S为偶数，

、2

%C]+a2c2+,•,+%%(〃eN*)

=(q+%+a5H---^n-i)+(a2b、+a4b2+a6b3+—卜出患)

=[3〃+-^^6]+(6*3+12*32+18乂33+…+6〃x3")

=3/+6(1x3+2x32+-+nx3")

令北=lx3+2x3?+…+〃x3”①，贝！13^=1x32+2x33H—+nx3"+1®-

②①得：27；=-3-32-33--3n+«x3n+1

。1一3”,、皿(2-1)3向+3

二-3x------Fnx3=--------------；

1-32

22

故+02c2+…+a2„c2„=3n+6Tn=3n+3x2]=―"2+6”十、(«eN*).

【解析】本题主要考查等差等比数列通项公式和前〃项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位

相减法的运算求解能力，属中档题.

(1)由等差等比数列通项公式和前„项和的求解伍力和｛bn｝的通项公式即可.

(2)利用分组求和和错位相减法得答案.

17.【答案】解：⑴将+("+1)=("+2)a“+("+Ip两侧同除n(n+l)(n+2),

anl15+1)2anln+2n

可得+++,即+=1,

(n+1)(〃+2)n(n+2)n{n+1)n(n+2)(〃+1)(〃+2)n(n+1)n(n+2)

又因为告=1,

即数列是首项为1,公差为1的等差数列.

I«(«+!)!

⑵由⑴可知，--^-=-^-+(n-l)xl=n,即an=n\n+l),

n(n+1)1x2

,7n(n+2)n+211

人J〃2〃+I.〃2(〃+I)9+1)2"1加2〃(〃+1)2+1'

C111111

S=-----:----------彳H------------------------5-+------1--------------------------------

"1x2'2x222x2。3x23n-T(w+l)-2"+1

_11

-2-(n+l)-2"+1'

【解析】本题考查等差数列的判定与证明，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型.

⑴先根据递推公式的特征，将其整理变形为

%+i+[=%+5+1)2

再移项即可证明;

(n+l)(n+2)n(n+2)n{n+1)几(n+2)

⑵由⑴可得：G„=H2(/7+1),所以或=」6一;—二百，利用裂项求和的方法即可求解.

n,2+1),2

18.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查数学建模、等比数列的应用，本题属于中档题.

由余弦定理求得出，的，…，找到规律，得至IJa=坐，推导出等比数列，求出通项公式，求出边长

计算面积，由三角形面积公式以及%=3-(弓)"一，得数列｛5｝的通项公式、前〃项和公式，逐项进行判

断.

【解答】

解：由题意，％=3,%=(―q了+(-Q]>_2x—tZjx—xcos60—%，

-2x—a0X2Qxcos60二^-

32323

+((a〃-i)2xcos60=与％，

于是数列伍〃｝是以3为首项，弓为公比的等比数列，则4=3.(,)〃7.故A正确.

由A得，从正三角形ABC开始，连续3个正三角形的边长分别为3,也，1,则从正三角形ABC开始,

连续3个正三角形面积之和为且：2+/卜日山=苧’故2正确;

32+

4L

112出2,_112.小。_G2

由题意：h=-----CL'—CL-sin60°=—CL,=—>—a、,一ci,sino(J=—a、,

123318233018

।।2J3_112.点2

"二—,一ci-,—ci-,,sin60=—，…，A=23an3^Sm6°=~\^Un'

323333183

则数列｛a｝是以4为首项,

为公比的等比数列，则尸

3

n<++

则"‘>：，即日一^1°§3^A/5^-~^1°§3=log3yfi<log32<log33=1•••«的

最大值为4,故C错误；

述<3,故。正确.

42

故选：ABD.

19.【答案】d；1024

【解析】【分析】

本题考查等比数列的判定或证明，

【解答】

解：•■•“=2左—1时，,即keN*，

2一

则也="，

an%

ba

・•・｛端是公比为4的等比数列，，产=42,BP-=^2；

a

%—1n

,.,q2>0,；.｛%｝中的项同号，

•.•〃=2左时,匕,=M，：.限..0,则｛%｝中的项都为正,即。〃>0,

•.也=%>0