2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）1.2 集合间的关系-(必修第一册)

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）1.2集合间的关系-(必修第一册)集合间的关系1子集①概念

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).

记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.

当集合A不包含于集合②Venn图

2真子集概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.

记作：A⊂B(或B⊃A)

读作：A真包含于B(或B真包含A)

类比⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a<b，则a≤b也成立；对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则A⊆B如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．即A⊆B且B⊆A⇔A=B.4几个结论①空集是任何集合的子集：∅⊆A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合是它本身的子集；

④对于集合A,B,C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；

⑤集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2【典题1】求集合A={x∈N|0<x<4}的子集个数.

【典题2】已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a【典题3】已知A=xx2−5x+4≤0,B=xx巩固练习1(★★)设A,B是两个集合，有下列四个结论：若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；③若A⊈B，则B⊈A；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．12(★★)已知集合A={x|x=k+16,k∈N}，B={x|x=m2−A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B=C D．A⫋B⫋C3(★★)已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，则满足A⊆C⊆BA．4 B．8 C．7 D．164(★★)已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，A．M⊆NB．M⫋NC．N⊆MD．N⫋M5(★★)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法6(★★)已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有7(★★)定义集合A∗B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B的子集个数为8(★★)集合y∈N∣y=−x9(★★)集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为．10(★★)已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a的取值范围11(★★★)已知集合A={x|x2(Ⅰ)若B={x|m−6≤x≤2m−1},A⊆B，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若B={x|m+1≤x≤2m−1},B⊆A,求实数m的取值范围．12(★★★)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x2−ax+4≥0},若A⊆B集合间的关系1子集①概念

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).

记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.

当集合A不包含于集合②Venn图

2真子集概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.

记作：A⊂B(或B⊃A)

读作：A真包含于B(或B真包含A)

类比⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a<b，则a≤b也成立；对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则A⊆B如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．即A⊆B且B⊆A⇔A=B.4几个结论①空集是任何集合的子集：∅⊆A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合是它本身的子集；

④对于集合A,B,C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；

⑤集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2【典题1】求集合A={x∈N|0<x<4}的子集个数.

【解析】集合A=x∈N则其子集有∅,1,2【点拨】①讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；②集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n【典题2】已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a【解析】由题得A={1,2},因为B⊆A，则B=∅或{1}或{2}或{1,2}，①当B=∅，所以△=4a+12②当B={1}，则△=8a+24=01+2(a+1)+a③当B={2}，则△=8a+24=04+4(a+1)+a④当B={1,2}，则△=8a+24>0综上a≤−3．【点拨】若B⊆A，注意不能忽略了“B=∅”这种情况.【典题3】已知A=xx2−5x+4≤0,B=xx【解析】由题意：A={x|∵B⊆A,(分B=∅或B≠∅两种情况讨论)∴(i)当B=∅时，x2即△<0⇒4a2−4(a+2)<0(ii)当B≠∅时，要使B⊆A成立，令f(x)=x要满足题意，由二次函数的图像可知△≥01<−−2a2(如图所示)综上可得：−1<a≤18【点拨】本题涉及到二次函数零点的分布问题，注意利用数形结合的方法进行求解.巩固练习1(★★)设A,B是两个集合，有下列四个结论：①若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；③若A⊈B，则B⊈A；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】对于①，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3}.故错误；②若A⊈B，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3,5,6}.故错误；③若B⊊A，则A⊈B，但B⊈A不成立，故错误；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B，故正确．故正确结论的个数为1个，故选：D2(★★)已知集合A={x|x=k+16,k∈N}，B={x|x=m2A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B=C D．A⫋B⫋C【答案】A【解析】∵集合C={x|=n∴当n=2a(a∈N)当n=b−1(b∈又∵集合A={x|x=k+16，又∵集合B={x|x=m∴集合B比集合C多一个元素−13，即综上所求：A⫋C⫋B，故选：A．3(★★)已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，则满足A．4 B．8 C．7 D．16【答案】B【解析】集合A={x|xB={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．故选：B．4(★★)已知集合M=x∣x=m+16,m∈ZA．M⊆NB．M⫋NC．N⊆MD．N⫋M【答案】B【解析】设n=2m或2m＋1，mZ则有N=x∣x=又∵M=x∣x=m+165(★★)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法【答案】C【解析】由于集合P={正奇数}且集合M是集合P的子集，则可设a=2m∵ab=(2m−∴M⊆P，而其它运算均不使结果属于集合P，故选C．6(★★)已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有【答案】3【解析】∵集合A⊊∴A=∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，0,2，{1,2}．∵A中至少含有一个奇数，∴A={1}，{0,1}，{1,2}．∴这样的集合A有3个．7定义集合A∗B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B的子集个数为【答案】4【解析】由题意：A∗B={1,7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1,7}，个数为48(★★)集合y∈N∣y=−x【答案】7【解析】x=0时，y=6；x=1时，y=5；x=2时，y=2；x=3时，y=−3；∵函数y=−x2+6∴当x≥3时，y<0；y∈N∣y=−x根据公式可得其真子集的个数为239(★★)集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为【答案】{−2,1,0}【解析】∵集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，B⊆A，∴B=∅或B={−1}或B={2}∴a=0,1,−2．∴由实数a组成的集合为：{−2,1,0}．10(★★)已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a【答案】[0,1]【解析】已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B⊆A，则A集合包含B集合的所有元素，解B集合时，当a<0时，不满足题设条件，当a=0时，x无实数解，B集合为空集，满足条件，当a>0时，x>1a，则1综上则实数a的取值范围为[0,1],11(★★★)已知集合A={x|x2−3x−10≤0}(Ⅰ)若B={x|m−6≤x≤2m−1},A⊆B，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若B={x|m+1≤x≤2m−1},B⊆A,求实数m的取值范围．【答案】(1)[3,4](2)(−∞,3]【解析】集合A={x|x(Ⅰ)∵A⊆B，∴m−6≤−22m−1≥5，∴实数m的取值范围为[3,4]；(Ⅱ)∵B⊆A，①当B=∅时，m+1>2m−1，即m<2，②当B≠∅时，m+