2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.3 函数的奇偶性

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.3函数的奇偶性函数的奇偶性1函数奇偶性的概念①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fxg(x)f(x)F偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数【题型一】对函数奇偶性概念的理解角度1函数奇偶性的概念【典题1】已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]上的偶函数，那么a+b【典题2】f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：13角度2判断函数的奇偶性情况1具体函数的奇偶性判断【典题1】函数f(x)=4−x2|x+3|−3情况2抽象函数的奇偶性判断【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(−x)是奇函数B.f(x)|f(−x)|是奇函数C.f(x)−f(−x)是奇函数D.f(x)+f(−x)是奇函数巩固练习1(★)下列函数中，是偶函数的是()A．y=|x2+x| B．y=22(★)函数f(x)=9A．原点 B．y=x C．x轴 D．y轴3(★★)若函数f(x)的定义域是R，且对任意x,y∈R，都有f(x＋y)=f(x)【题型二】函数奇偶性的运用角度1已知函数奇偶性，求值问题【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b【典题2】若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)角度2判断函数的图像【典题1】函数f(x)=xA． B． C．D．巩固练习1(★)若函数f(x)=2x−a2x+1的图象关于2(★)已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，3(★★)已知函数f(x)=g(x+1)−2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)4(★★)函数f(x)=(A．B．C． D．【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】已知奇函数y=f(x)在(−∞,0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x−1)f(x−1)>0的解集为()A．{x|−3<x<−1} B．{x|−3<x<1或C．{x|−3<x<0或x>3}【典题2】设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)A．13,1B．(−1,32巩固练习1(★)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是()A．f(x)=1−x2 B．C．f(x)=log12(★)如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5,−1]上是()A．减函数且最大值为−6 B．增函数且最大值为6 C．减函数且最小值为−6 D．增函数且最小值为63(★★)已知函数f(x)=x3+2x，则不等式f(2x)+f(x−1)>04(★★)已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(−2),b=f(1),c=f(20.3)5(★★★)已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有.①y=|f(x)|；②y=f(x2+x)；函数的奇偶性1函数奇偶性的概念①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fxg(x)f(x)F偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数【题型一】对函数奇偶性概念的理解角度1函数奇偶性的概念【典题1】已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]上的偶函数，那么a+b【解析】依题意得f(−x)=f(x)，∴b=又a−1=−2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，∴a=13，【典题2】f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：13【解析】根据奇函数的定义可知f(−x)=−f(x)，则(1)，(2)正确；对于3，对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,则(4)不正确，故答案为：角度2判断函数的奇偶性情况1具体函数的奇偶性判断【典题1】函数f(x)=4−x2【解析】要使函数有意义，则4−x2≥0解得−2<x<0或0<x<2，则定义域关于原点对称．此时x+3=x+3，则函数f∵f−x∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；情况2抽象函数的奇偶性判断【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(−x)是奇函数B.f(x)|f(−x)|是奇函数C.f(x)−f(−x)是奇函数D.f(x)+f(−x)是奇函数【解析】方法一定义法A选项：设F(x)=f(x)f(−x)，则F(−x)=F(x)为偶函数．B选项：设G(x)=f(x)|f(−x)|，则G(−x)=f(−x)|f(x)|.∴G(x)与C选项：设MxD选项：设N(x)=f(x)＋故选C.方法二取特殊函数排除法令fx=x，可知Fx=f令fx=x2，可知可知Nx=fx＋【点拨】①判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x)，看下与②判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.③一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.巩固练习1(★)下列函数中，是偶函数的是()A．y=|x2+x| B．y=2【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x2+x|，f(−x)=|对于B，y=2x，f(−x)=2对于C，y=x3+x，f(−x)=−(对于D，y=lgx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：B．2(★)函数f(x)=9A．原点 B．y=x C．x轴 D．y轴【答案】D【解析】f(x)=则f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，故选：D．3(★★)若函数f(x)的定义域是R，且对任意x,y∈R，都有f(x＋y)=f(x)【答案】奇函数【解析】在fx+y令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=－x，则f(x－x)=f(x)+f(－x)，即f(x)+f(－x)=0，∴f(－x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．【题型二】函数奇偶性的运用角度1已知函数奇偶性，求值问题【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0⇒20＋所以当x≥0时，f又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−(21+2×1−1)=−3【点拨】若奇函数y=f(x)定义域内为I，且0∈I，则有f0=0.【典题2】若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，则f−1=【解析】∵函数F(x)=f(x)−2x∴F(1)+F(−1)=0，即f(1)−2+f(−1)−2=0，则f(1)+f(−1)=4①，∵G(x)=f(x)+(1∴G(1)=G(−1)，即f(1)+12=f(−1)+2，则f(1)−f(−1)=由①−②解得f(−1)=4−角度2判断函数的图像【典题1】函数f(x)=xA． B． C．D．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=−(或由y=x3,y=即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f1=1故选：B．【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.巩固练习1(★)若函数f(x)=2x−a2x+1的图象关于【答案】−1【解析】可知函数f(x)为偶函数，则f(−1)=f(1)，即2−1−a2将a=−1代入解析式验证，符合题意．2(★)已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，【答案】−13【解析】∵g∴g(−x)=−gx∵f(−5)=17=g(−5)+2∴g(5)=−15∴f53(★★)已知函数f(x)=g(x+1)−2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)【答案】72【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)，特别地，当x=0时，得到f(0)=0．由f(x)=g(x+1)−2x取x=0，所以f(0)=g(1)−1，所以再分别令x=−1和x=1，得f(−1)=g(0)−2−1，两式相加得f(−1)+f(1)=g(0)−2−1+g(2)−2∴f(0)+g(2)=5所以g(0)+g(1)+g(2)=1+54(★★)函数f(x)=(A．B．C． D．【答案】B【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】已知奇函数y=f(x)在(−∞,0)为减函数，且f(2)=0(x−1)f(x−1)>0的解集为()A．{x|−3<x<−1} B．{x|−3<x<1或C．{x|−3<x<0或x>3}【解析】由题意画出f(x)的草图如下，因为(x−1)f(x−1)>0，所以(x−1)与f(x−1)同号，由图象可得−2<x−1<0或0<x−1<2，解得−1<x<1或1<x<3，故选：D．【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.【典题2】设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)A．13,1B．(−1,32【解析】方法一∵f(x)=lg(∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg3x−2则3x−22+1>x−42+1方法二根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)设t=x2+1在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt则f(x)=lg(x2+1)f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x<−1或x>32，故选：【点拨】①若函数y=f(x)是偶函数，则函数在y轴两侧的单调性是相反的，若函数y=f(x)是奇函数，则函数在y轴两侧的单调性是相同的，②若函数y=f(x)是偶函数，在[0,+∞)上递增，则求解f(x2)>f(③遇到类似f(3x−2)>f(x−4)的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.巩固练习1(★)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是()A．f(x)=1−x2 B．C．f(x)=log1【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x，为二次函数，其对称轴为x=−1对于B，y=e|x|=对于C，y=2x−对于D，y=1−1g|x|=1−lgx,x>01−lg(−x),x<0，既是偶函数，又在故选：D．2(★)如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5,−1]上是()A．减函数且最大值为−6 B．增函数且最大值为6 C．减函数且最小值为−6 D．增