2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.5.3 函数的周期性和对称性

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.5.3函数的周期性和对称性函数的周期性和对称性一函数的周期性1概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数fx①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)③若fx+a=1fx二函数的对称性1函数图象自身的对称关系①轴对称：若f(x+a)=f(b−x),则y=f(x)有对称轴x=a+b②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b−x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点2两个函数图象之间的对称关系①轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.②中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a3周期性与对称性拓展①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期②若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称,则函数y=f(x)T=4|b−a|；特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期【题型一】函数的周期性【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−9【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)巩固练习1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=−f(x)，且在A．f(8)<f(11)<f(15) B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8) D．f(15)<f(8)<f(11)2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7,−5]时，f(x)=3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足fx+1=−f(x−1)，若f−1>1，f5【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x都有fx=−f(x+32)且【典题2】已知函数f(x)=2A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f(x)的图象关于x=4对称 C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称 D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1,0)对称的是()A．y=lg(1−x) B．y=lg(2−x) C．y=log0.1【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b,1)，则a=；b2(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()A．f(2−x)=f(x) B．f(1−x)=f(1+x)C．函数y=f(x+1)是偶函数 D．函数y=f(x−1)是偶函数3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为()A．0 B．1 C．lna D．−14(★★★)已知函数f(x)=lnxA．y=f(x)的图象关于点(2,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C．f(x)在(0,4)上单调递减 D．f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与A．关于原点对称B．关于x轴对称 C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称6(★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+2=−A．函数y=f(x)是周期函数 B．函数y=f(x)的图象关于点(−1,0)对称 C．函数y=f(x)为R上的偶函数 D．函数y=f(x)为R上的单调函数函数的周期性和对称性一函数的周期性1概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数fx①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)③若fx+a=1fx二函数的对称性1函数图象自身的对称关系①轴对称：若f(x+a)=f(b−x),则y=f(x)有对称轴x=a+b②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b−x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点2两个函数图象之间的对称关系①轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.②中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a3周期性与对称性拓展①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期②若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称,则函数y=f(x)T=4|b−a|；特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期【题型一】函数的周期性【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−9【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，∴f−【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)f(x)=4x，则f(107.5)=【解析】∵f(x+3)=−1∴f(x+6)=−1∴函数f(x)是以6为周期的函数．∵当x∈[－3,－∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−故答案为：110【点拨】①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.巩固练习1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=−f(x)，且在A．f(8)<f(11)<f(15) B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8) D．f(15)<f(8)<f(11)【答案】B【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且满足∴f(x)是以8∴f(8)=f(0)f(11)=f(3)=－f(15)=f(7)=f(－又f(x)在区间[0，2]上单调递减，∴f(－1)>f(0)>f(1)故选：B．2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7,−5]时，f(x)=【答案】|x+6|【解析】当x∈[－∴f(x)=f(x+6)=|x+6|故选：C．3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足fx+1=−f(x−1)，若f5=a2−2a−4【答案】【解析】由f(x+1)=－f(x－则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为则f(5)=f(1)=a又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(－∴f(1)＜∴a2－∴实数a的取值范围是(－【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数fx=−f(x+32)且【解析】∵fx=−f(x+则f∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可)则f∵函数f(x)的图象关于点(−34∵∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(1)=1【典题2】已知函数f(x)=2A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f(x)的图象关于x=4对称 C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称 D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称【解析】方法一利用函数平移和奇偶性对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则y=f(x+2)是偶函数，而y=f(x+2)=2(x+2)对于B选项，可以采取类似选项A的方法排除；对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y=f(x+2)易得y=f(x+2)−2=对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y=f而y=f(x+4)−4=2(x+4故选C．方法二利用函数自身的轴对称和中心对称关系利用函数自身的轴对称关系:若f(x+a)=f(b−x),则y=f(x)有对称轴x=a+b对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则有f(4而f4对于B选项：若函数fx的图象关于x=4对称，则有而f8利用函数自身的中心对称关系：若f(a+x)+f(b−x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2,2)对称，则f(x)+f(4−x)=4易得fx+f4−x对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4,4)对称，则f(x)+f(8−x)=8而f(x)+f(8−x)=2x故选C．方法三取特殊值排除法对于A选项：f0=0，f4≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=2对于B选项：f0=0，f8≠0，故函数对于D选项：f0=0，f8=16故选C．【点拨】①从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；②方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；③方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；对于函数自身的轴对称和中心对称关系(1)轴对称:若f(x+a)=f(b−x),则y=f(x)有对称轴x=a+b对于选项A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2−x)，即证明f(x+2)是偶函数便可.(2)中心对称:若函数y=f(x)满足条件f(a+x)+f(b−x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点对于选项C，令a=b=2，c=4，有f2+x即证明y=f2+x【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1,0)对称的是()A．y=lg(1−x) B．y=lg(2−x) C．y=log0.1【解析】设所求函数图象上任意一点P(x,y)，则P(x,y)关于(1,0)对称的点(2−x,−y)在y=lgx上，即−y=lg(2−x)，所以y=−lg(2−x)=log0.1故选：D．【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是【解析】设P(x,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q(x,2−y)．由题意知点Q(x,2−y)在函数y=2则2−y=2x，即【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b,1)，则a=；b【答案】1，6【解析】∵f(x)=结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6，a)∵f(x)的对称中心为(b，1)，∴b=6故答案为：1，62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()A．f(2−x)=f(x) B．f(1−x)=f(1+x)C．函数y=f(x+1)是偶函数 D．函数y=f(x−1)是偶函数【答案】ABC【解析】由f(x)的图象关于x=1对称可知，f(2－x)=f(x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x－1)的图象，关于故选：ABC．3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为()A．0 B．1 C．lna D．−1【答案】A【解析】函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线可得f(x)=f(2－即lnx+ln(a－即有lnx(a－可得x(a−即ax−可得2(a－2)=0，且a=4−可得f(x)=lnx+ln(2－则f(1)=2ln1=0．故选：A．4(★★★)已知函数f(x)=lnxA．y=f(x)的图象关于点(2,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C．f(x)在(0,4)上单