2025初升高衔接教材高一预科班数学第十二讲 函数的单调性同步提升训练含答案

2025初升高衔接教材高一预科班数学第一课时对数的概念与应用课时达标1.把下列指数式写成对数式＝８（２）＝32（３）＝（４）2.把下列对数式写成指数式（1）９＝２（２）１２５＝３（３）＝－２４）＝－４3.求下列各式的值25（２）（３）100（４）0.01（５）10000（６）0.00014.求下列各式的值(1)15（２）1（３）81（４）625（５）343（６）2435.如果，那么A． B． C． D．6.如果，那么的取值范围是A． B． C．且 D．(1,2)∪(2,3)思维升华7.使成立的充要条件是A． B． C． D．8.若，则等于（）A. B. C.8 D.49.化指数式为对数式： ； ．10.求值： ； ； ．11.求值： ．12.已知：，，那么 ．13.化下列指数式为对数式：（1），（2），（3），（4）．14.化下列对数式为指数式：（1），（2），（3），（4）．15.已知x=log23,求EQ\f(23x－2－3x,2x－2－x)的值.16.计算：⑴，⑵，⑶，⑷创新探究17.（原创）证明对数的换底公式：，，。利用换底公式完成下述的题目：已知，求(用a、b表示)．18.（原创）证明：（）,并利用结论求出下列各式的值：①；②计算；19.求底数：①，②．20.求x的值：①②③④21.（原创）已知logab=logba(a＞0,a≠1;b＞0;b≠1),求证：a=b，或a=EQ\f(1,b)§4.对数第一课时对数的概念与应用参考答案课时达标1.解：(1)８＝３(2)32＝５(3)＝－１(4)＝－2.解：(1)＝９(2)＝１２５(3)＝(4)＝3.解：(1)25＝＝２；(2)＝－４；(3)100＝２；(4)0.01＝－２(5)10000＝４；(6)0.0001＝－４.4.解：(1)15＝１(2)1＝０(3)81＝２(4)625＝２(5)343＝３(6)243＝５5.答案：C解析：由指数式和对数式的互化可知可以化为，故选C.6.答案：D解析：由所给的对数函数为，其中必须满足a-1＞0且a-1≠1，且3-a＞0，可得a∈(1,2)∪(2,3),故选D.7.答案：B解析：由0=lg1,于是可得lgx＞lg1,则x＞1.8.答案：A解析：由可得log3(log2x)=1;进一步可得log2x=3,化为指数式为x=23=8,则=.9.答案：；．解析：利用指数式和对数式之间的对应关系直接来转化.10.答案：、8、-3．解析：现将要求的数值设为x,再转化为指数式，利用指数式的运算法则来求解.11.答案：．解析：利用指数式和对数式的互化逐个求值代入展开计算.4.答案：12．解析：由所求表达式可以转化为a2m+n=(am)2an,再由所给的已知对数式转化为指数式代入来计算.13.解析：（1），（2），（3），（4）．14.解析：（1），（2），（3），（4）15.分析：利用对数式和指数式的互化来代换求解.解析：由x=log23,得到2x=3,2－x=EQ\f(1,3)则EQ\f(23x－2－3x,2x－2－x)=EQ\f(33－（EQ\f(1,3)）3,3－EQ\f(1,3))=EQ\f(91,9)16.分析：利用所给的对数式转化为指数式，结合熟知的指数式来求值.解析：⑴设则,∴⑵设则,,∴⑶令=,∴,∴⑷令,∴,,∴17.分析：此题结合已知我们可用指数函数的表示是来证明对数函数的换底公式再展开计算.证明：设，则，两边取以为底的对数，得，所以即，故。解析：18.分析：此题原题中的意图很明显，我们可以结合对数式和指数式的关系来证明，再结合证明的式子来求解.证明：设＝x，两边取以a为底的对数，则有logax＝logaN，∴x＝N，即＝N．解：①=2；②解：原式＝3·＝6＋．19.分析：本题是求关于x的方程，利用所给的函数的表达式观察可得其中的x会出现在底数的位置，我们要灵活运用指数式和对数式的互化表示出x的值，利用表示式来求解.解：①∴；②,∴．20.分析：利用指数式和对数式的互换完成题目，但要注意对数式包含底数和真数的限制条件.解：①②③但必须：∴舍去④,∴,21.分析：此题要结合已知来分析所给的两个对数式之间的关系，利用所给的对数式转化为指数式的概念来展开计算，即可证明.证明：设logab=logba=k,则b=ak;a=bk则b=(bk)k=bk2又由于b＞0,b≠1则k2=1,即k=±1当k=1时，a=b当k=-1时，a=EQ\f(1,b)经检验a=b和a=EQ\f(1,b)都符合题意；所以原命题成立.§4.对数第二课时对数的运算性质与应用课时达标1、已知，那么用表示是（）A、B、C、D、2、，则的值为（）A、B、4C、1D、4或13.(原创)已知，求=_________.4.计算（1）25，（2）1，（3）（×），（4）lg5.用，，表示下列各式：6.已知3=a，7=b,用a,b表示56思维升华7.的值是（）A．2 B． C． D．48.（原创）对数式lg14-2lg+lg7-lg18的化简结果为（）A.1B.2C.0D.39.的值为（）A.0B.12C.16D.1510.=_____________.11.已知：，，求的值为______________.12.(原创)设且求证：13.（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示．14.已知，，求的值。15.化简：.创新探究16.（改编）若（logax）logax=x(a＞0,a≠1),则x的值为（）A.1或aB.1或axC.axD.a17.（原创）方程lg2x－lgx2－3=0的解为________.18.计算下列各式的值：（1）；（2）.19.已知，求的值。20.（1）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg；（2）设logax=m，logay=n，用m、n表示；（3）已知lgx=2lga+3lgb–5lgc，求x.21.设a、b同号，且满足a2+2ab－3b2=0,求log3(a2+ab+b2)－log3(a2－ab+b2)的值.第二课时对数的运算性质与应用参考答案课时达标1.答案：A解析：由可得a=log32,则=3log32－2（log32+log33）=2.答案：B解析：由可化为（M－2N）2=MN,代入所给的比值验证为B.3.答案：.解析：由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴．4.分析：利用对数的运算性质展开直接计算.解：（1）25==2（2）1=0（3）（×25）=+=+=2×7+5=19（4）lg=5.分析：利用对数的运算性质先展开分解表示，再利用已知代换所得化简式.解：（1）=（xy）-z=x+y-z（2）=（=+=2x+6.分析：利用已知表示出a和b,再利用换底公式展开计算.解：因为3=a，则,又∵7=b,∴思维升华7.答案：B解析：直接利用对数的恒等式，可得答案为B.8.答案：C解析：lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18=lg9.答案：D解析：原式=10.答案：EQ\f(3,2)解析：原式11.答案：4a+3b解析：因为，所以，即，又因为，所以，所以.12.分析：通过换元，将指数式转化为对数式即可展开运算.证明：设∵∴，取对数得：，，∴13.分析：此题首先要利用指数式和对数式的关系将指数式转化为对数式，表示出a和b，再利用对数式的运算性质来展开表示.解：（1）∵，∴，∴log34log36=．（2）∵，∴，又∵，∴=14.分析：解：．15.解：原式=。创新探究16.答案：C解析：利用换元法来解方程，由（logax）logax=x可得loga[（logax）logax]=logax则有logax[（logax）]=logax,设logax=t,即t(logat－1)=0,则有t=0或logat=1，所以t=0或t=a,那么x=1或x=ax,经检验x=1不符合题意，舍去，故选C.17.答案：EQ\f(1,10)或1000.解析：由原方程可化为lg2x－2lgx－3=0,设lgx=t,则有t2－2t-3=0,解得t=－1或3，则x=EQ\f(1,10)或1000,并且代入检验都成立.18.分析：此题要灵活运用对数四则运算的性质，特别是对数运算性质的逆运算法则来展开计算.解析：（1）原式===.（2）原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.19.分析：利用换底公式的这一推论来展开化简.解：。。20.分析：由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.解析：（1）0.4771+0.5–0.1505=0.8266（2）（3）由已知得：，∴.21.分析：此题最后求解的为一对数式的值，解答时可先对已知条件a2+2ab－3b2=0进行变形求解，探求字母a和b之间的关系，再代入所求对数式的变形式中即可展开求解.解析：由a、b同号，且b≠0,把等式a2+2ab－3b2=0两边同除以b2可以得到：（EQ\f(a,b)）2+2（EQ\f(a,b)）-3=0解之得：EQ\f(a,b)=1或EQ\f(a,b)=－3（舍去）∴a=b则log3(a2+ab+b2)－log3(a2－ab+b2)=log3(3a2)－log3a2=log33=1.课时达标1.已知在上是减函数，则（）A.B.C.D.2.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（）A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=D.y=x2+2x+13.若函数y=k3x+2在R上为增函数，则k的范围是；4.若函数y=x2—kx+5在（—，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，则k=.5.函数的图象如下，则其定义域、值域分别可能是（）AB.x∈[－1,0]∪[1,2],y∈[0,+∞)Cx∈[－1,0]∪[1,2),y∈[0,2)Dx∈[－1,0]∪[1,2),y∈[0,+∞)6.判断一次函数单调性.思维升华7.函数在R上单调递增，且，则实数的取值范围是()A BC D8.函数,当时,是增函数,当时是减函数,则．9.在上是减函数，则a的取值范围是（

）.A．

B．

C．

D．10.已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：①（为常数）是___________；②（为常数）是___________；③是____________；11.若函数在上递增，则f(－EQ\f(3,2)),f(－1),f(－2)的大小顺序是_________.12.证明函数在上是增函数，并判断函数在上的单调性.13.设f(x)＞0是定义在区间U上的减函数，则下列函数中增函数的个数是（）y=3-2f(x)y=1+y=［f(x)］2y=1-A.1B.2C.3D.414.已知f(x)是R上的增函数，A(0，-1)，B(3，1)是其图象上的两个点，那么|f(x+1)|＜1的解集是_________.15.求函数的单调递减区间.创新探究16.设，是增函数，和，是减函数，则是_______函数；是________函数；是_______函数．17.函数，，求函数的单调区间．18.函数对于有意义，且满足条件，，是非减函数，（1）证明；（2）若成立，求的取值范围．19.已知函数（1），，证明：（2）证明在上是增函数20.设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.21.画出函数的图象，并指出它们的单调区间.第十二讲函数的单调性参考答案课时达标1.答案：D解析：本题考查一次函数系数对性质的影响，初中就已学过，要使函数为减函数，则需满足2k+1＜0,则k＜－EQ\f(1,2)2.答案：C解析：结合函数单调性的定义，同时画出给定函数的图像，有图像可知，y=为(0,+)的减函数，故选C.3.答案：k＞0解析：此题函数y=k3x+2为一次函数，k3为一次项系数，若要使函数y=k3x+2在R上为增函数，需要满足k3＞0，即k＞0.4.答案：4解析：由所给的函数为y=x2—mx+5在（—，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，此函数开口向上，对称轴为EQ\f(m,2)=2,则m=4.5.答案：D解析：考查函数的单调性，结合图像图像上升的为增区间，下降为减区间，结合图像可知答案为D.6.分析：判断单调性可严格按照定义来判断.解：一次函数的定义域是R.设，且，则.，∴当时，，即；当时，，即.综上，当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数.思维升华7.答案：B解析：有题目的已知函数在R上单调递增，且，则可得2m-1＞－m，由此可得m＞EQ\f(1,3).8.答案：13解析：由题目函数,当时,是增函数,当时是减函数,可知对称轴为x=－2，由此可得EQ\f(m,4)=－2,即可得m=－8,于是f(x)=2x2+8x+3,那么f(1)=13.9.答案：A解析：由函数的开口向上，结合图像可知在上是减函数，满足x=1-a≥4，由此可得.10.分析：复合函数同增或同减都为增，一增一减为减.解：结合复合函数单调性判断的基本方法，可知答案以此为①减函数；②增函数；③增函数；11.答案：f(－2)＜f(－EQ\f(3,2))＜f(－1)解析：由题目已知函数在上递增，则有x1＜x2,必有f(x1)＜f(x2),又由－2＜－EQ\f(3,2)＜－1，则有f(－2)＜f(－EQ\f(3,2))＜f(－1).12.分析：利用单调性的定义来判断，注意变形技巧.解：设，则由已知，有，∴，即.∴函数在上是增函数.在上都是增函数，∴，即在上是增函数.13.答案:C解析:因为f(x)＞0且f(x)在I上是减函数，故y=3-2f(x),y=1+，y=1-为I上的增函数.14.答案:{x|-1＜x＜2｝解析:|f(x+1)|＜1即-1＜f(x+1)＜1，∴f(0)＜f(x+1)＜f(3).∵f(x)在R上单调递增，∴0＜x+1＜3.∴-1＜x＜2.15.分析：此题要求出定义域，在给定定义域的基础上利用复合函数单调性的判定方法来判定该函数的单调性.解：由得或.∴函数的定义域是…①.令，则化为在上是增函数，∴求的单调递减区间，只需求的单调递减区间，且满足，即满足①.的单调递减区间是…②.由①和②知，函数的单调递减区间是16.答案：减；减；增解析：利用复合函数的单调性，复合函数在判断单调性时，同增为增，一增一减为减.17.分析：此题所判断的函数为两个给定函数的复合函数，要分别讨论两个函数的单调性，再利用复合函数单调性的判定方法来判定公共区间的单调性.解：设，①当时，是增函数，这时与具有相同的增减性，由即得或当时，是增函数，为增函数；当时，是减函数，为减函数；②当时，是减函数，这时与具有相反的增减性，由即得当时，是减函数，为增函数；当时，是增函数，为减函数；综上所述，的单调增区间是和，单调减区间是和18.分析：此题所给函数为抽象函数，解题时要根据所给的关系式结合题目中所求解的选项来赋值求解.解：（1）在中令，，则有，又，．（2），利用为非减函数，有，解之，得19.分析：此题（1）关键点在于化简变形（2）要结合定义来恒等变形来判断.解：（1）（2）设，则，，，于是，在上是增函数20.分析：此题解题的关键是利用已知对所求解式的灵活应用，对函数值进行灵活赋值.解：依题意，得又，于是不等式化为由得.∴x的取值范围是.21.分析：此题可对给定的绝对值函数分段化简，然后对所得函数配方，便可写出对应单调区间和画出相应图像.解：增区间：减区间;，图略.课时达标1.已知集合M＝｛x｜-3＜x＜2，P＝｛x｜x＜-或＜x＜2}，则M∩P是()A.｛x｜-3＜x＜-或＜x＜2}B.RC.｛x｜-3＜x＜-}D.｛x｜＜x＜2}2.对非空集合P.M，若P∩M＝P则()A.MPB.PMC.P＝MD.以上都不对3.已知集合A＝｛x∈R｜x≠1｝，集合B＝｛x∈R｜x≠-1｝，则A∪B等于()A.AB.BC.｛x∈R｜x≠±1｝D.R4.已知A＝｛偶数｝，B＝｛质数｝，则A∩B＝()A.AB.BC.｛2｝D.5.设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|－5≤x＜1} B．{x|－5≤x≤2}C．{x|x＜1} D．{x|x≤2} 6.A=｛0,1,2,3｝,B=N+,则A∩B=_______.7.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1x4},那么PQ=_______.思维升华8.已知两个集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么MN为（）A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}9.已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是（）A．{0，1} B．{(0，1)}C．{1} D．以上均不对10.已知集合A＝｛平行四边形｝，B＝｛对角线相等的四边形｝，C＝｛对角线垂直的四边形｝，D＝｛矩形｝，E＝｛菱形｝，F＝｛正方形｝，则在①A∩B＝D，②A∩C＝E，③B∩C＝F，④C∩D＝F；⑤D∩E＝F中，正确的个数是()A.5B.4C.3D.211.已知集合A满足：A∪｛1，2，3｝＝｛1，2，3，4，5｝，则符合条件的集合A的个数是()A.1B.2C.8D.412.已知集合A＝｛x｜x≥-2｝，B＝｛x｜x＜3｝，则A∪B＝，A∩B＝.13.集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________．14.若集合A.B满足AB=AB，则A,B的关系是___________创新探究15.（原创）集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．16.设关于x的方程x2+px-12＝0,x2+qx+r＝0的解集分别为A.B且A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，求p,q,r的值.17.已知集合A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝,B＝｛x｜x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0｝，求使AB的a的取值范围.18.设A＝｛x｜x2-3x-2＝0｝，B＝｛x｜x2-ax+2＝0｝，若A∪B＝A，求由实数a的值组成的集合.19.设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．20.若集合A=，B=，且，求实数x。21.已知集合，若，且，求实数a。22.已知全集U=R,A=｛x︱-4≤x≤2｝，B=｛x︱-1≤x≤3｝,p=｛x︱x≤0或x≥EQ\f(5,2)｝,求A∩B,(CUB)∪P,(A∩B)∩(CUP).第十讲集合的基本运算同步提升训练参考答案1.答案：A。解析：通过画数轴，求两个集合公共部分可知答案。2.答案：B.解析：由P∩M＝P，则有P中元素全在M中，则PM。3.答案：D解析：由A∪B={x︳x∈A或x∈B},则A∪B=R。4.答案：C解析：由A∩B={x︳x∈A且x∈B}，即求A和B集合的公共元素，则由偶数和质数有一个公共元素2，可知答案为C。5.答案：D画数轴表示两个集合，结合图形可知A∪B=B={x|x≤2}.6.答案：｛1,2,3｝解析：由集合由A∩B={x︳x∈A且x∈B}，结合A和B集合的公共元素为1，2，3可得答案。7.答案：｛x︱x≤4｝解析：由PQ的意义，结合所给的P和Q画数轴观察可得答案.8.答案：D解析：首先由集合特征集合为点集，再结合所给两方程组成的方程组可知答案为：D。9.答案：C解析：先考虑相关函数的值域．由M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}，则在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．10.答案：B解析：结合四边形的关系，可知①②④⑤正确.11.答案：C解析：由题意可知集合A必有元素4和5，则集合个数为1.2.3全部子集的个数8个.12.答案：R，｛x｜-2≤x＜3｝；解析：此题可以通过画数轴利用交集和并集的关系来求解.13.答案：{(1，－1)}；解析：A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．所以A∩B＝{(1，－1)}．14.答案：A=B解析：由AB=AB，可知A与B具有相同的元素，故A=B.15.答案：15.解析：由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．16.分析：解答此题的关键是由A∩B＝｛-3｝，代入A集合中可求p，再代入B集合中可全部求出p.q.r的值.解：由A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+px-12＝0有根-3，故有(-3)2-3p-12＝0即3p＝-3,∴p＝-1,此时A＝｛x｜x2-x-12＝0｝，即A＝｛-3,4｝，又A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+qx+r＝0只能有重根-3，即这个方程为(x+3)+＝0即x2+6x+9＝0，故q＝6,r＝9∴p＝-1,q＝6,r＝9.17.分析：可由所给B集合表示解集，再由集合间的关系讨论可得答案.解：B＝｛x｜(x-2)［x