2025初升高衔接教材高一预科班数学第十七讲 指数函数的图像和性质同步提升训练含答案

2025初升高衔接教材高一预科班数学课时达标1．已知以x为自变量的函数，其中属于指数函数的是()．A．y＝(a+1)x(其中a>-1，且a≠0) B．y＝（－3)xC．y＝－(－3)x D．y＝3x+12．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一次分裂为2个)，经过3小时，这种细菌由1个繁殖成()．A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个3．三个数1，，的大小顺序是（）．A.B．C.D．4．（原创）函数y＝ax－2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()．A．(0，1) B．(1，1) C．(2，0) D．(2，2)5．与函数有相同图像的一个函数是()A.B．C.D．6．下列结论正确的是（）．A．对于x∈R，恒有B．是增函数C．对于a＞1，x∈R，一定有D．的图象关于y轴对称.思维升华7．当x∈[-1，1]时，的值域是（）．A．B．［－1，1］C．D．［0，1］8．函数y＝ax与y＝x＋a（a＞0且a≠1）的图象恰有两个公共点，到a的取值范围是（）．A．（0，1）∪（1，＋∞）B．（0，1）C．（1，＋∞）D．9.函数y＝(a2－1)x在(－∞，+∞)上是减函数，则a的取值范围是()．A．｜a｜>1 B．｜a｜>2 C．a> D．1<｜a｜<10．（原创）函数则f（－3）的值为（）．A．2B．8C．D．11．用分数指数幂表示为________．12．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常用的思维形式．如从正比例函数中可抽象出，那么从指数函数中可抽象出________．13．设，解关于的不等式。14．设，求的值．15.求函数的值域.创新探究16.（原创）若，，，则.17.已知实数a，b满足.若，，则a，b的大小关系是；若，，则a，b的大小关系是；除此之外，等式在a，b满足时也成立.18.已知，求的最小值与最大值。19.已知，当x取怎样的值时，（1）；（2）；（3）．20.求下列函数的定义域与值域．（1）；（2）y＝4x+2x+1+1．21.已知：a，x∈R，函数f(x)＝，且f（0）＝0．（1）求a的值；（2）讨论函数f(x)的单调性．指数函数的图像与性质参考答案课时达标1．答案：A解析：指数函数的定义需把握两点：（1）形式y＝ax；（2）a>0且a≠1．由此排除B、C、D选项．2．答案：B解析：20分钟分裂一次，3小时分裂9次，故这种细菌由一个繁殖成29＝512（个）．3．答案：B解析：利用指数函数的单调性，结合中间变量1来比较可得，4．答案：D解析：由过定点，y＝ax－2+1中时，即过点。5．答案：B解析：易知，化简表达式得。6．答案：D解析：，图象关于y轴对称，其余说法都可举反例来排除.思维升华7．答案：A解析：x∈[-1，1]时，为增函数，值域是。8．答案：Ｃ解析：画图易知当时y＝ax与y＝x＋a的图象仅一个公共点，时恰有两个公共点。9.答案：D解析：函数y＝(a2－1)x在(－∞，+∞)上是减函数，则有底数0＜a2－1＜1，解次不等式可得1<｜a｜<。10．答案：C解析：利用所给分段函数的表达数和所求自变量f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=．11答案：．解析：利用根式和分数指数幂的关系可得：＝．12．答案：解析：令，则，由指数幂的运算法则可知，所以从指数函数中可以抽象出．13．分析：此题所给的函数为指数函数，指数函数的单调性只与底数有关，可以由底数得到函数自变量之间的关系，由此得到不等式来求解.解析：∵,∴在上为减函数，∵,∴14．分析：此题所给的原函数为一指数函数的复合式，但分析题目中所求的项可知，项数共有2007项，必须结合表达式发现其中的规律，结合对应规律才能展开解题.解析：由，令又得所以15.分析：原函数为指数函数和二次函数的复合函数，要求该函数的值域，我们可对所给函数利用复合函数进行分解，然后利用单调性和二次函数的值域共同来求解.解析：令，∵,又∵为减函数，∴。则原函数的值域为：创新探究16.答案：.解：当时，，∴；而当时，，又，∴，即，∴，∴填.17.答案：；；.解析：当，时，∵，且之间的数的正数次方越大，所得结果越小，故必有；当，时，原等式即，即，必有，∴，故；显然当时，等式成立.18.分析：此题为一求闭区间上指数函数的值域问题，求解时我们要能转化EQ\f(1,4x)和EQ\f(1,2x)之间的关系，将其配方为关于EQ\f(1,2x)的一个一元二次方程来求解.解析：由所给的原函数可以转化为,∵,∴.则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。19.分析：此题分三种情况来分析自变量之间的关系，结合所给的函数可知，比较的两个函数都为指数函数y＝，利用该指数函数为单调减函数，将题目转化为解对应的指数不等式来解题.解析：∵函数y＝是减函数，，∴当时，有，解得x=2或x=3；当时，有，解得x＜2或x＞3；当时，有，解得2＜x＜3．20．分析：此题的意图非常明显，就是给定函数来求对应的定义域和值域，要结合所给的函数解析式先求出函数的定义域，再结合定义域和函数的单调性来求值域.解析：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x≠3｝．又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝．(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R．∵2x>0，∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1．∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝．21.分析：此题设计两问，（1）要求a值，但是原题中只有一个常数a，可以根据一组值就可求解，利用原题中f(0)=0即可求解，（2）中可结合指数函数本身的单调性来求解.解析：(1)∵f(0)＝＝＝a－1＝0，∴a＝1．(2)由（1）知f(x)＝＝1－．∵y＝在R上是减函数，∴f(x)＝1－在R上是增函数．第一课时二次函数的图像与位置课时达标1．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）2．（原创）若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（）ABCD3．将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是()Ay=2(x+1)2+3By=2(x－1)2－3Cy=2(x+1)2－3Dy=2(x－1)2+34.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）xyOAxxyOAxyOByODyOCx5、已知二次函数的图象与x交于点(-2,0)、(，0),且1<<2,与y轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方，下列结论：①a<b<0②2a+c>0③4a+c<0④2a-b+1>0其中正确结论的个数是（）Ａ.1个Ｂ.2个Ｃ.3个Ｄ.4个6.（原创）已知,其中表示不超过x的最大整数,如,则___________.思维升华7、已知抛物线和直线ι在同一直角坐标系中的图象如图所示抛物线的对称轴为直线x=－1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3,y3)是直线l上的点，且－1<x1<x2，x3<－1则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y38、函数的最小值为___________________.9、二次函数且的最小值为，则的取值范围是____________________________.10、（改编）抛物线与轴的两个交点为A、B，顶点为C，则的面积为_________________________.11、已知函数（1）、已知，求（2）、不计算函数值，比较的大小12.已知函数,(1)求的解析式;(2)求的解析式(3)对任意,求证恒成立.13.对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是_______.14.已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:y=-x2+2x,对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是创新探究15.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤416..设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)等于A.-B.-C.cD.17.函数y=ax2+bx+c(a＞0,b＞0,c＜0)的图像顶点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.求函数y=－EQ\f(1,2)x2+6x+3的最大值和它的图像的对称轴，并说出它在那个区间上是增函数？再那个区间上为减函数？19.若二次函数y=x2+bx+8的顶点在x轴的负半轴上，求b的值.20.将二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移两个单位，再向上平移3个单位，得到函数y=x2－2x+1的图像，求b和c.21.反比例函数的图象经过点，其中、是一元二次方程的两个根，求点p的坐标.§2.4二次函数性质的再研究第一课时二次函数的图像与性质参考答案课时达标1答案：D；解析：由抛物线y＝x2＋2x－2=（x+1）2－3,故其顶点坐标为（－1，－3）.2答案：C；解析：由一次函数的图象经过二、三、四象限，则a＜0,b＜0，则则二次函数开口向下，且与x轴有两个交点，且对称轴为负数，故选C.3．答案：A；解析：将抛物线y=2x2向左平移1个单位,得到解析式为y=2(x+1)2,再向上平移3个单位得到的抛物线为y=2(x+1)2+3.4．答案：B解析：通过一次函数的图像分类来讨论字母的值，由此再衡量二次函数的位置.5答案：D；解析：由所给的条件可以画出对应的图像，结合图像可知开口向下，对称轴在x轴负半轴，分析选项可知四个都正确.6.答案：1解析：利用定义可知中当x的取值为－3.5时值为－4，代如计算可知答案为1.思维升华7.答案：D；解析：结合已知所给的图像，且－1<x1<x2，x3<－1则可知图像上最高点为y3,y2居中，y1最小，由此可知答案为D.8．答案：1解析：通过配方可知二次函数可画为y=3(x+EQ\f(1,3))2+EQ\f(2,3),由此作图可知函数在x≥0上为增函数，其最小值为f(0)=1.9．答案：解析：由所给的二次函数可化为y=(x-3)2－1，对称轴为x=3,由已知可得二次函数且的最小值为，a一定在对称轴左侧，可知a的范围.10．答案：8解析：利用已知可求出的顶点坐标为（－1，4），两交点的坐标为（－3，0）、（1，0），则所求的面积为：S=EQ\f(1,2)×4×4=8.11．分析：将所给的函数配方，可得对称轴，利用图像的对称性和给定数与对称轴的关系来求解.解：由所给的函数可以化为：，对称轴为(1)、，又函数在上递增，12．分析：此题大解答都要灵活的利用所给函数的表达式对所给变量进行整体代换，变形化简即可.解（1）；（2）；（3）恒成立.113.13.答案:-1<a<3解析:f(x)无不动点等价于方程x2+ax+1=x无解，即(a-1)2-4<0-1<a<3.答案:..创新探究15.答案:D解析:要使函数有意义,只需对任意x∈R,不等式mx2+mx+1≥0恒成立.当m=0时,1≥0,显然成立.当m≠0时,只需0<m≤4.综上可知,0≤m≤4.16.答案:C解析:由f(x1)=f(x2)x1+x2=-,代入表达式得f(x1+x2)=f(-)=-+c=c.17.答案：D解析：由函数y=ax2+bx+c(a＞0,b＞0,c＜0)可知开口向上，对称轴x=-EQ\f(b,2a)＜0,且过（0，c）点，可知答案为D.18.分析：关键是要对二次函数进行配方，结合已知中的a＜0来求解.解：因为y=－EQ\f(1,2)x2+6x+3=－EQ\f(1,2)(x2-12x)+3=－EQ\f(1,2)(x-6)2+21所以有ymax=21函数的对称轴为x=6;函数的单调增区间为（－∞，6）；函数的单调减区间为（6，∞）.19.分析：由抛物线的顶点在x轴上可知⊿=0，又由顶点在x轴的负半轴上可知，抛物线的对称轴在y轴的左侧，即－EQ\f(b,2)＜0.解析：由题意可知对称轴在x轴的负半轴上，由此可得：X=EQ\f(b,2)＜0又由顶点一定只有一个，故满足⊿=b2－32=0解之得：b=4.20.分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标.解：∵抛物线y=x2－2x+1可以变形为y=(x－1)2,∴抛物线y=x2－2x+1的顶点坐标为（1，0）于是可以根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y=x2+bx+c的图像，即把抛物线y=x2－2x+1向下平移3个单位后，再向右平移2个单位就可以得到y=x2+bx+c的图像，此时顶点由（1，0）平移为（3，－3）处.∴抛物线y=x2+bx+c的的顶点坐标为（3，－3）.即y=(x－3)2－3=x2－6x+6对照y=x2+bx+c可得b=－6,c=6.21.分析：知数、、，用不同的条件布列三个独立的方程，可以求出它们的值，从而求出点的坐标解析：P在反比例函数的图象上，所以有，①其中、、均不为0，又，由于、是一元二次方程的两个根，那么根据根与系数的关系，再结合①，可得三元方程组，解得则点P的坐标为，应填“”§2.4二次函数性质的再研究第二课时------二次函数的解析式和定义域与值域课时达标1.已知函数的定义域是[0，3]，则下列判断错误的是（）A.当时，函数是增函数B.函数图象关于直线x=1对称C.函数的最大值是0D.函数的最小值是22.函数的定义域为（）A、B、C、D、3.已知函数的定义域为,函数的定义域为:___________.4.二次函数的对称轴为，则当时，的值为（）A、B、1C、25D、175、函数y=(－x2－6x－5)EQ\f(1,2)的值域为（）A、B、C、D、6.（原创）函数f(x)=的值域是（）A.RB.[-9，+）C.[-8，1]D.[-9，1]思维升华7.如果g(x2+1)=x4+x2－6,则g(x)在定义域内的最小值为（）A.－4EQ\f(1,4)B.－5EQ\f(3,4)C.－6D.－6EQ\f(1,4)8.设函数，则使得的自变量的取值范围为（） A．B．C．D．9.已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12，求的解析式是.10.已知函数，若，，则（）．A．B．C．D．与大小关系不确定11.（原创）当m=_____时，函数y=(m－3)m2－9m+20是二次函数.12.若二次函数和使得在上是增函数的条件是__________________．13.求函数的定义域.14.（改编）将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？15.已知是二次函数，且满足，，求创新探究16.(原创)已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1－x),且f(0)=0,f(1)=1,若满足f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n]，则m=____,n=_______.17.（改编）已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都非负，求关于x的方程EQ\f(x,a)+2=∣a－1∣+2的根的范围.18.函数，，求函数的单调区间．19.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，又y=x21+x22，求y=f(m)的解析式及此函数的定义域.20.对于二次函数，（16分）（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）画出它的图像，并说明其图像由的图像经过怎样平移得来；（3）求函数的最大值或最小值；（4）分析函数的单调性.21.（原创）已知函数f(x)=x2+2ax+2x∈[－5,5](1)当a=－1时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[－5,5]上为单调函数.§2.4二次函数性质的再研究第二课时------二次函数的解析式和定义域与值域参考答案课时达标1.答案：D.解析：本题考查二次函数概念及在给定区间的有关性质，通过配方画出给定闭区间上的图像，结合图像可知D错误，故选D.2.答案：D解析：要使原函数有意义，需要满足2－x≥0且2x2－3x－2≠0,通过求解可知答案为D.3.答案：.解析因函数的定义域为，故函数的定义域由，即得，所以为所求4.答案：C解析：由二次函数的对称轴为，则EQ\f(m,8)=－2,由此可得m=－16,于是二次函数可以表示为y=4x2+16x+5,则x=1时，y=25.5.答案：A解析：要求函数的值域，首先确定其定义域为－5≤x≤－1,可画出闭区间上函数的图像，求出值域为[0,4]，开方后所得值域为[0,2].6.答案：C解析：对于分段函数求值域的思路是分别求出函数在各个区域内函数的值域，再结合集合求并集，此题中0≤x≤3的值域为[－3,0]；而在[－2,1]上的值域为[－8,0],并集可知答案为C.思维升华7.答案：C解析：由由已知中g(x2+1)=x4+x2－6,则g(x)为二次函数，设出表达式求解出二次函数再求最值.8.答案：A.解析：由f(x)＞1对所给的分段函数分别代值来计算即可.9.答案：f(x)=2x2－10x解析：是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得10.答案：A解析：由条件知，抛物线对称轴为，画出大致图像容易知选A．11.答案：6解析：要使函数为二次函数，必须满足m－3≠0且满足m2－9m+20=2,由此共同求解可知答案为m=6.12.答案：且解析：，欲使在上是增函数，必须使其为一次函数，且一次项系数大于0．13.答案：14.设销售价为50+x，利润为y元，则y=(500-10x)(50+x-40)=-10(x-20)2+9000,∴当x=20时,y取得最大值，即为赚得最大利润，则销售价应为70元.15.分析：原题已知函数的类型，可设出二次函数，利用待定系数发来求解.解：设，由得到c=1，又即展开得所以，解得a=1，b=-1创新探究16.答案：0，1解析：∵二次函数满足f(1+x)=f(1－x)∴x=1是函数的对称轴又∵二次函数满足f(0)=0,f(1)=1可画出函数的图像结合题设f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n]故m=0,n=117.分析：此题首先要根据所给定的二次函数的值域利用二次函数图像的特点得到a的取值范围，在进一步化简所求表达式得结果.解：由已知，得⊿≤0，即可得：（－4a）2－4(2a+12)≤0解得：－EQ\f(3,2)≤a≤2(1)当－EQ\f(3,2)≤a＜1时，原方程化