抢分秘籍08 锐角三角函数及实际问题-中考《数学》冲刺抢分押题秘籍（全国卷）

PAGE1抢分秘籍08锐角三角函数及实际问题目录【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）【题型一】求某一角的三角函数值【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长【题型三】三角函数中的仰角俯角问题【题型四】三角函数中的方位角问题【题型五】三角函数中的坡度坡比问题【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合【误区点拨】点拨常见的易错点易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错易错点二：与三角函数中图形未定产生多解易错点三：实物情景未抽象出几何图形：锐角三角函数及实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．从考点频率看，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值计算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度坡角等实际应用）为高频，常与几何图形结合求边长、高度。2．从题型角度看，选择填空直接考定义及特殊值，解答题以实际测量、几何综合（如与圆、相似结合）为主，侧重建模与边角转化，分值8分左右，着实不少！：熟记特殊角函数值及定义，掌握“构造直角三角形”“双直角三角形”等模型，多练实际应用题（如测高、测距），注意单位换算与图形分析，强化方程思想（设未知数解边角关系）。【题型一】求某一角的三角函数值【例1】（2025·江苏常州·一模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为．【答案】/【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．【详解】解：设宽为，∵宽与长的比是，∴长为：，由折叠的性和矩形的性质可知，，，在和中，，∴，∴，∴，设，在中，，变形得：，∴，故答案为：．本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点【例2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形的对角线，，则．【答案】【知识点】利用菱形的性质求面积、求角的正弦值、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长【分析】本题菱形的性质，正弦的定义，过D作于E，根据菱形的性质和勾股定理可求出，根据等面积法可求出，最后根据正弦的定义求解即可．【详解】解：如图，过D作于E，∵菱形的对角线，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【变式1】（2025·上海·二模）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为．【答案】【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形【分析】根据正方形的性质得到，，运用勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于点，可证明得到，则是的中线，得到，，在中由正切值的计算方法即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，如图所示，连接，过点作于点，∵，∴，∴，∴是的中线，∴，∴，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键．【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则．【答案】【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】连接，作，再说明点A，E，C，B，F共圆，进而得出，，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可得，再根据面积相等求出，结合题意说明四边形是矩形求出，最后根据得出答案．【详解】解：如图所示，连接，作，分别交于点M，H，∵，∴点A，E，C，B，F共圆，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．由题意，，∴，∴．∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键．【变式3】（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，于点，作，AE交线段于点，恰有，则．【答案】【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、求角的正切值【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，根据“”证明，得，即，证明出，设，，则，代入得，求出，即可求出．【详解】解：∵∴,∵∴∴∴，∴，即，∵∴∴设，，则∴，∴，∴，解得，（负值舍去）∴，∴．【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长【例1】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，点D是的中点，连接，过点D作交的延长线于点E．若，，，则线段的长为．【答案】【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键．过点A、E作于点，交延长线于点，则，则，由勾股定理得，而，那么，可得，则，而，则设，由得，，求解，再由勾股定理求．【详解】解：过点A、E作于点，交延长线于点，则，∴，∴，∵点D是的中点，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，设，∴由得，，解得：，在中，，故答案为：．本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键【例2】（2025·广东珠海·一模）如图，在菱形中，的长为4，点E，F分别是，的中点，连接，．若，则的长为．【答案】【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形，勾股定理等．延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过F点作于N点，根据三角函数的定义结合勾股定理列式计算即可得出答案．【详解】解：延长，交于点M，在菱形中，点E，F分别是，的中点，，，，，，在和中，，，在和中，，，，过F点作于N点，，∴设，则，∴，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，，故答案为：．【变式1】（2025·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过三点，D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，的值是．【答案】【知识点】求角的正弦值、利用垂径定理求值、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径【分析】连接，过点P作于E，延长交于点D，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出，进而求出，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：如图，连接，过点P作于E，延长交于点D，此时点D到弦的距离最大，∵，∴，∵，∴为的直径，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、正弦的定义、勾股定理是解题的关键．【变式2】（2025·山东济南·一模）在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、矩形与折叠问题【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切值的计算方法是关键．如图所示，与交于点，过点作与点，，所以，设，，，均为正数，所以在中，，由勾股定理得到（负值舍去），则，，，如图所示，过点作于点，则，，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，如图所示，与交于点，过点作与点，∴四边形是矩形，，，∵折叠，∴，∵，，∴，∵，∴，∴设，，，均为正数，∴在中，，在中，，在中，，∴，，，∴，∴，在中，，∴，即，解得，（负值舍去），∴，∵，∴，∴，则，，∴，则，，∴，，如图所示，过点作于点，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【变式3】（2025·重庆·二模）如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则；若，．【答案】【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，如图，连接，由圆周角定理得：，∴，设，则，∴，∴，∴，．如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，由圆周角定理得：，即，∴（等腰三角形的三线合一），∴，在和，，∴，∴，设，则，∴，，∴，解得，经检验，是所列分式方程的解，∴，，又∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．【题型三】三角函数中的仰角俯角问题【例1】（2025·辽宁大连·一模）如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？（参考数据：，，，）【答案】这枚火箭从到的平均速度是【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形先求得，再求出，即可求得，即可得到速度，熟练利用三角函数表示直角三角形中边长的关系是解题的关键．【详解】解：中，，，，，，在中，，，，平均速度，答：这枚火箭从到的平均速度是．仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【例2】（2025·天津河东·一模）坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道全长与在一条直线上，在隧道正上方的山顶有一信号塔，从与点相距的处分别测得、的仰角为、，从与点相距的处测得的仰角为，设山高的高度为（单位：）．(1)用含的式子表示线段的长度（结果保留三角函数形式）；(2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：．【答案】(1)的长为；(2)信号塔的高约为35米．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握三角函数值的计算方法是关键．（1）在中，，，由，即可求解；（2）在中，，，在中，，，又，所以，由即可求解．【详解】（1）解：，，在中，，，，又，∴，即的长为；（2）解：由题意得，在中，，，，在中，，，，又，，即；，答：信号塔的高约为35米．【变式1】（2025·四川资阳·一模）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）(1)求坡顶处的高度；(2)求风筝的飞行高度（即的长）．【答案】(1)(2)风筝的飞行高度为．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．（1）过点作于，作于，利用坡度得到，不妨设，，利用勾股定理，，求得，最后得到；（2）先通过勾股定理求得，不妨设，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的长度．【详解】（1）解：过点作于，作于，如图所示：从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，，，不妨设，，，，（舍去负值），，答：坡顶处的高度为．（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，不妨设，，四边形是矩形，，，为等腰直角三角形，，，，，，答：风筝的飞行高度为．【变式2】（2025·山东济南·一模）2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内．(1)求点到地面的距离；(2)求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，【答案】(1)1.645米(2)14.26米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过作与F，得米，米，过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题．【详解】（1）过作于，如图所示：∵，（米）；（2）过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，，∴，设米，则米，∵，且，∴四边形为矩形，是等腰直角三角形，米，则米，又∵米，∵，（米）；即解得：，，（米）答：无人机距水平地面的高度约为14.26米．【变式3】（2025·辽宁·一模）图1是商场的自动扶梯，图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了2m到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯与地面的夹角，的长度为10m．(1)求点B到一楼地面的距离；(2)求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，）【答案】(1)(2)【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．（1）过点B作于点，根据角直角三角形性质即可求解；（2）连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点，先解中，求出，则，再解在中，由求得，最后由即可求解．【详解】（1）解：过点B作于点，∵，∴在中，，答：点B到一楼地面的距离为；（2）解：连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点，由题意得，，在中，，∴，∴在中，，∴；答：照明灯C到一楼地面的距离为．【题型四】三角函数中的方位角问题【例1】（2025·重庆·模拟预测）春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米．（参考数据：）(1)求点到的距离；(2)点处有直饮水，小红从点出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点，请计算说明她走哪一条路较近？【答案】(1)300米(2)小红从点出发沿人行步道去取水，经过点到达点这条路较近．【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点D作，交的延长线于点E，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；（2）过点D作，垂足为H，根据题意可得：米，可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．【详解】（1）解：过点D作，交的延长线于点E，如图．∵在中，（米）∴（米）答：点D到的距离为300米；（2）解：过点D作于点H，如图．∵，，∴四边形是矩形．∴（米），∴（米），∵，∴，∵（米），∴（米），∵在中，，（米），∴（米），（米），∵．答：小红经过点D到达点C的这条路较近．方位角问题(解直角三角形的应用)，考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．【例2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．(1)求两地的距离；结果保留根号(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，，【答案】(1)千米(2)能行至码头靠岸，见解析【知识点】相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）过点A作于点，可知为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长交l于D，证明，求出，比较与的大小即可得出结论．【详解】（1）解：过点A作于点，由题意，得千米，千米，（千米）在中，（千米）（千米）在中，（千米）；（2）解：如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头靠岸，理由：延长交l于点，，，，，，（千米），该轮船不改变航向继续航行，能行至码头靠岸．【变式1】（2025·重庆·一模）为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，）(1)求B与C两点之间的距离；(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟）【答案】(1)(2)甲先到点，见解析【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作于点，解即可求解；（2）由题意得，，则，，由题意得，，即可求出甲跑步的时间，分别解，求出，解，求出，则，即可求出乙跑步时间，对比即可．【详解】（1）解：过点作于点，由题意得，，∴，，∴在中，，在中，，答：B与C两点之间的距离为；（2）解：如图：由题意得，，∴甲跑步的时间为：（分钟），由题意得，，，则，，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴乙跑步的时间为：（分钟），∵，∴甲先到点．【变式2】（2025·重庆·一模）2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，临行前小陶决定先到在超市北偏东方向上的图书馆还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上．(1)求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号）(2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1）【答案】(1)报亭与体育馆之间的距离米(2)小陶先到达体育馆【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）认真分析题干的条件，得出，，故在中，（米），，然后证明是等腰直角三角形，在中，，即可作答．（2）先分别算出小陶和小乐经过的路程，再分别除以他们各自的速度，然后比较，即可作答．【详解】（1）解：过点作，如图所示：∵体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上．∴，依题意，米，∴，在中，（米），，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，，∴（米），∴报亭与体育馆之间的距离米；（2）解：由（1）得，米，在中，，故（米），则（米），∵∴，在中，（米），在中，，∴（米），则（米），∵米，米，∴（米），∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，∴（分钟），（分钟），∵∴小陶先到达体育馆．【变式3】（2025·重庆·模拟预测）小育小才两人相约一起去看电影．如图，东西走向直线上有小育家点，电影院点，在之间有一家奶茶店点，小才家点在点的北偏东方向，在点的北偏西方向，奶茶店点在小才家点的南偏西，已知的距离为米．（参考数据：）(1)求的长度（结果保留根号）；(2)小育从家先出发，步行至点购买奶茶店后（购买奶茶时间忽略不计）立即联系在家的小才，两人同时出发，小育和小才分别由和的路线跑步到电影院，已知小育跑步的速度为200米/分，小才跑步的速度为250米/分，两人谁先到达电影院？请计算并说明理由（结果保留一位小数）．【答案】(1)米(2)小才先到达电影院．理由见解析【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角以及三角函数的定义是解题的关键．（1）过点C作，中，，米，可得米，再由中，，米，再求即可；（2）过点D作，中，，米，可得米，米，中，，米，米，米，可得米，再求解即可．【详解】（1）解：过点C作，由题意可得，，

，中，，米，（米），中，，米，（米），（米）；（2）解：过点D作，由题意得，，中，，米，（米），（米），中，，米，（米），（米），（米），小才从到的距离为米，时间为：（分钟），小育从到的距离为米，时间为：（分钟），小才用时更短，故小才先到达电影院．【题型五】三角函数中的坡度坡比问题【例1】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）

【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得，∴（米），∴（米）．故答案为：．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题【例2】（2025·河南焦作·二模）如图，在坡度为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为20米，则大树的高为米．【答案】/【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，过点作，交的延长线于点，根据余弦的定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，则，坡度为的斜坡，，设，在中，米，则可得，解得（负数舍去）,则米，太阳光线与水平线成角沿斜坡照下，在中，，则米，米，故答案为：．【变式1】（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道，经过测量知：米，米，步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，，参考数据：，最后结果精确到1米)

【答案】米．【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案．【详解】解：过点作于点，过点作于点，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为∴，∴，∵，∴，解得米，∴米，∵∴（米）∴（米）．答：山顶点C到地面的距离的长为米．【变式2】（2025·辽宁阜新·一模）如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和．(1)求点D到地平面的距离；(2)求居民楼的高度（保留根号）．【答案】(1)(2)居民楼的高度为【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．（1）过点作，交的延长线于点，根据斜坡的坡度，得出，设，则，求出，根据，求出，即可得出答案；（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，∵斜坡的坡度，∴，在中，，设，则，根据勾股定理得：，∵，∴，解得：，∴，，∴点D到地平面的距离为；（2）解：如图，过点作于，根据解析（1）可知：，，由题意可得，，设，在中，，解得，在中，，，，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，．答：居民楼的高度为．【变式3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．(1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号）(2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）【答案】(1)一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；(2)日光灯C到一楼地面的高度约为．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．（1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案；（2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解．【详解】（1）解：如图，过点B作于点E．设，∵的坡度为，∴，在中，由勾股定理，得，解得：（舍去）或，∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，∴四边形，是矩形，根据题意，得：，，∴，，，由（1）可知，，∴．在中，，∴，∴，∴日光灯C到一楼地面的高度约为．【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图1所示的是水平放置的水槽截面，，，一束光线从水槽边的处投射到空气和液体的分界上的中点处，入射光线与水槽内壁的夹角，与法线的夹角为，折射光线与法线的夹角．已知在光源沿向下移动的过程中，比值不随，的变化而变化．当入射点位置不变，光源沿向下移动到点时，折射光线通过点，如图2所示，求的长．（参考数据：）【答案】【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．由图1可知，，得出，再由图2可知，，，得出，得到，在中利用正弦的定义求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长．【详解】解：由图1可知，，，由图2可知，，，，由题意得，，，，，，由题意得，，在中，，，，，，，即，，．的长为．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键【例2】（2025·陕西西安·二模）如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点在同一条直线上）．经测量，得，，．请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．如图，过点分别作于点，于点，在中，有正余弦可得∴，，，，由题意得到，，，由即可求解．【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，，，．，四边形是矩形，，，在中，，，∴，∴，，，，，，，．【变式1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）龙世昌雕塑位于贵州省松桃苗族自治县世昌广场中央，是为纪念抗美援朝特等功臣、二级战斗英雄龙世昌烈士而建的标志性纪念设施（如图1）．某数学兴趣小组把它抽象成平面图形如图2所示，通过查阅资料得知雕塑总高度（点D到平台水平线的距离）为，延长与平台水平线相交于点B，测得，．（参考数据：，，）(1)求点C与平台水平线的距离的长（结果保留一位小数）；(2)求的长（结果保留一位小数）．【答案】(1)(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）把，分别代入，进行计算，即可作答．（2）先分别算出，，再根据线段的和差列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵，且，∴在中，则解得；（2）解：过点D作，如图所示：∵点D到平台水平线的距离为，∴，在中，，解得，则在中，则，解得，∴．【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图1，空调挡风板是一块安装在空调出风口处的屏障，主要功能是改变空调风的流向，使其不会直接吹向人体．如图2，在侧面示意图中，挡风板底部和空调底部在一条水平线上，出风口顶部距挡风板顶部长为与水平面的夹角为，出风区域总高为，空调挡风板与水平面夹角为．(1)求侧面示意图中空调挡风板顶部到墙体的距离；(2)求挡风板底部和空调底部的长度．（结果精确到，参考数据：）【答案】(1)(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点作，垂足为，在中，，∴，∴空调挡风板顶部到墙体的距离约为；（2）解：过点作，垂足为，由题意得：，，在中，，，，，在中，，，，∴阴影的长约为．【变式3】（2025·辽宁大连·一模）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为．(1)如图2，若，，求的长；(2)如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长．（参考数据：，结果保留整数．）【答案】(1)的长为(2)此时的长约为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键．（1）分别过点作于点，作于点，可得，则可求得，再加上，即可解答；（2）分别过点作于点于点于点，解直角三角形求得和，再加上，即可解答．【详解】（1）解：如图，分别过点作于点，作于点，．，．，，．四边形为矩形．．，．，在中，．．．答：的长为．（2）解：如图，分别过点作于点于点于点，．由（1）得，四边形为矩形．．，，在中，，．同理：．．答：此时的长约为．易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形例1．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么的值为．【答案】/【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据所给网格，连接，利用勾股定理及逆定理得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：设小正方形网格的边长为，则由勾股定理得：，，，∴，∴是直角三角形，且，在中，，故答案为：．变式1：（2025·云南昆明·一模）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为．【答案】1【知识点】求角的正切值【分析】过点A作于H，根据正切的定义解答即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【详解】解：过点A作于H，在中，，故答案为：变式2：（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是．【答案】2【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案．【详解】解：如图，连接交于点，四边形是正方形，，，，，，根据题意得：，，，，，在中，，，，故答案为：．变式3：（2025·江苏徐州·一模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为．【答案】【知识点】利用菱形的性质求角度、求角的正切值、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，依题意，，∴∴设∴∴故答案为：．变式4：（2025·新疆喀什·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是．【答案】//【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、求角的正弦值、勾股定理与网格问题【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点D，连接，可根据网格的特点和勾股定理得到，则可解得到的正弦值，再由即可求出答案．【详解】解：如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，∴，∴，∵，∴，故答案为：．易错点二：与三角函数中图形未定产生多解本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．例1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知矩形，，，点是直线上一点，若，则．【答案】或1【知识点】求角的正切值、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．分类讨论：当点P在边上，根据矩形的性质有，，，，得，得到；当点P在边的延长线上，得，得到．【详解】解：此题有两种可能：（1）点P在线段上时.

∵矩形中，，，点是直线上一点，，∴，∵，∴；（2）点P在的延长线上时，，∴．综上，或．故答案为：或1．变式1：（2025·北京·一模）已知中，，，，则．【答案】或【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．分是锐角三角形和钝角三角形两种情况，过点A作交于点D，然后根据锐角三角函数计算出，再结合勾股定理计算出、的长，即可求解．【详解】解：如图，当是钝角三角形时，过点A作交延长线于点D，∵，∴，在中，，在中，，∴，如图，当是锐角三角形时，过点A作交于点D，同理可得，，故答案为：或．变式2：（2025·河南周口·一模）在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为．【答案】或1【知识点】等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，分和两种情况讨论即可．【详解】解∶当时，如图，∵，，，∴，∵，∴，∴；当时，如图，∵，，∴，∵，∴，又，∴是等边三角形，∴，综上，的长为或1，故答案为：或1．变式3：（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为菱形，，，点E在上，连接，，则的长为．【答案】1或3【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查解直角三角形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质及勾股定理是解题的关键；如图，过点A作于点F，由题意可分当点E在点F的左侧和右侧进行分类求解即可．【详解】解：过点A作于点F，如图，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，当点E在点F的左侧时，如图，∵，∴，∴；当点E在点F的右侧时，此时点E与点重合，如图，同理可得：，∴；故答案为1或3．变式4：（2025·上海·模拟预测）中，，．点D在边上，取射线上一点P，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点F，射线交边于点E．若，且点C在边上，则线段与线段长度的比值为．【答案】或【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长【分析】连接，设，根据正弦的定义和勾股定理可得，，由翻折的性质得，得到，，进而得到，得到，设，在中利用勾股定理解出的值，表示出和，根据题意对点的位置分2种情况讨论：①在点左侧；②在点右侧，分别过点作交于点，过点作交于点，交于点，再利用相似三角形的知识分别求出对应和的值，最后利用即可求解．【详解】解：连接，在中，，设，则，，由翻折的性质得，，，，点P在射线上，，又，，，点C在边上，，，，设，则，在中，，，解得：，，，，；①若在点左侧，则，如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，；②若在点右侧，则，如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点，同理①中的方法可得：，，；综上所述，线段与线段长度的比值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、翻折的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．变式5：（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为．【答案】或【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．根据，设，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，运用勾股定理可得，由平行可证，可得解得，，再证，可得即可求解；将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，运用勾股定理可得，由折叠与平行的性质可得，则，再证，得到即可求解．【详解】解：在中，，，∴，设，∴，如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，∴，，在中，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，，同理，，∴，∴，解得，，∵折叠，∴，∵，∴，∴，且，∴，∴，即，整理得，，∵，∴；如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，∴，∴，，∵折叠，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．易错点三：实物情景未抽象出几何图形本题主要考查了解直角三角形的应用，主要是抽象出几何图形。例1．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，）【答案】每节拉杆长【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，利用三角函数可得；在图2中，过点作于点，利用三角函数可得，结合两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，可得关于的方程并求解，即可获得答案．【详解】解：设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，在中，，，，在图2中，过点作于点，在中，，，，，，解得：．答：每节拉杆长．变式1：（2025·河南驻马店·一模）某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端E遮挡（此时与相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端F处．(1)连接，求证：；(2)若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长．【答案】(1)见解析(2)18米【知识点】切线的性质定理、其他问题（解直角三角形的应用）、应用切线长定理求解【分析】本题主要涉及圆的切线性质、切线长定理以及解直角三角形的相关知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键．（1）通过圆的切线性质和平行线的性质来证明角相等；（2）先根据已知的正弦值和线段长度求出相关直角三角形的边长，再利用相似三角形的性质求出斜梯的长．【详解】（1）解：由题意得：，均与相切，，又四边形内角和为，，又，；（2）解：设半径为，在中，，即，解得，在Rt中，（米），，米根据切线长定理可知米．变式2：（2025·江西·一模）图1是一种柜厢可收纳的货车，图2，图3是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜厢板的厚度，由上、下厢板，可对折侧厢板组成，已知．当厢板收起时，恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，当厢板升起过程中，有．(1)如图2，当上厢板从重合到完全升起到时，求点C，D在此过程中运动的路程总长；(2)如图3，当上厢板EF升起到时，求此时点C，D之间的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数）【答案】(1)(2)【知识点】求弧长、其他问题（解直角三角形的应用）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查了弧长公式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．（1）根据题意可得，然后根据弧长公式求解即可；（2）如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知，易证可得，再解直角三角形可得，最后根据点C，D之间的距离为求解即可．【详解】（1）解：如图（1）：当厢板收起时恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，，∴，∴点C，D在此过程中运动的路径的总长度为．（2）解：如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知，又∵∴，∴，在中，，∴，∴点C，D之间的距离为．变式3：（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，．(1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数．(2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】(1)(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键；（1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解；【详解】（1）解：，，，，，，故；（2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，平分，而∴在中，，又，，∴在中，，，，，，，到的距离为；变式4：（2025·广东珠海·一模）图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是