2025年全国统一高考数学试卷（全国一卷）含答案

2025年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.(1+5i)iA.−1 B.0 C.1 D.62.设全集U=xx是小于9的正整数，集合A={1,3,5}，则∁UA.0 B.3 C.5 D.83.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（）A.2 B.2 C.7 D.24.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx−π3的图象的一个对称中心，则A.π6 B.π3 C.π25.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则f−34A.−12 B.−14 C.6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风7.若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)8.若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5zA.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A.AD⊥A1C B.C.CC1//平面A10.设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=−32于E，过点A作准线lA.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6 D.|AE|⋅|BE|≥1811.已知△ABC的面积为14，若cos2A+cosA.sinC=sin2C.sinA+sinB=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则13.若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为＿＿＿＿＿.14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E(X)=_＿＿＿＿＿.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；（2）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附χ216.（15分）设数列an满足a1（1）证明：na（2）设f(x)=a1x+17.（15分）如图所示的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）PA=AB=2,AD=1+3,BC=2，P，B，C，（i）证明：O在平面ABCD上；（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．18.（17分）设椭圆C:x2a2+y2b2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR⋅（i）设P(m,n)，求点R的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM|的最大值．19.（17分）（1）设函数f(x)=5cosx−cos5x,求（2）给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈[a−θ,a+θ]，使得（3）若存在φ使得对任意x，都有5cosx−cos

参考答案一、选择题 1-5：CCDBA 6-8：ABB二、选择题 9.BC 10.ACD 11.ABC三、填空题 12.4 13.±2 14.6125/四、解答题15.（1）910（2）有关16.（1）证明：由题意证明如下，n在数列an中，∴(n+1)∴nan是以a1（2）f17.（1）证明：由题意证明如下，在四棱雉P−ABCD中，PA⊥AB⊂平面ABCD,AD∴AP∵AP⊂平面PAD,AD∴AB⊥平面PAD∵AB⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面PAD（2）（i）证明：由题意及（1）证明如下，在四棱雉P−ABCD中，PA=建立空间直角坐标系如下图所示，∴A若P,则|OP在平面xAy中，∴A∴线段CD中点坐标F2直线CD的斜率：k1直线CD的垂直平分线EF斜率：k2∴直线CD的方程：y−3+3当y=1时，1=6+∴O在立体几何中，O(0,1,0)∴|解得：|OP∴点O在平面ABCD上