江苏省连云港市新海协作体2024−2025学年高一下学期5月联考 数学试题（含解析）

江苏省连云港市新海协作体2024−2025学年高一下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知复数，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．设向量，若，则（

）A． B． C． D．04．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（

）A． B．2 C．3 D．5．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（

）A． B．C． D．6．在中，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．若，且，则（

）A． B． C． D．8．在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则；反之，若，则C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为1210．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（

）A．B．三棱锥的体积为C．当是棱的中点时，平面D．直线与平面所成的角的正切值最大为11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（

）A．正三棱台的高为B．点P的轨迹长度为C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为三、填空题12．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则．13．已知，且，则.14．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．四、解答题15．已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.16．已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，面积为，求的值.17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．18．在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.（1）当时，求的值；（2）当时，与交于点，求的值；（3）求的最小值.19．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．(1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少?(2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少?(3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）

参考答案1．【答案】B【详解】因为，所以在复平面内对应的点在，位于第二象限.故选B2．【答案】D【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；

对于B，若，，则，或与相交，故B错误；对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；

对于D，若，，则，故D正确.故选D.3．【答案】B【详解】因为，所以，即，整理得又，所以，解得.故选B4．【答案】C【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．故选C.5．【答案】D【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，所以棱台的斜高为:.所以棱台的侧面积是:.故选D.6．【答案】A【详解】由正弦定理和可得，故,由于，故,结合为三角形的内角，故，故三角形为直角三角形，故选A7．【答案】B【详解】因为，所以，，所以，.故选B8．【答案】B【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，取的中点，连接、，对外接球，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时.因此，该正四棱锥的体积为.故选B.9．【答案】BCD【详解】对于A，若，则，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误；对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确；对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个，则，所以，则的取值范围为，C选项正确；对于D，因为，角的平分线交边于，且，则，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确.故选BCD.10．【答案】ACD【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，因为，，，故为等边三角形，所以，，则，故，同理可得，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，故，A对；对于B选项，易知为等边三角形，，因为点在上，且，则，故，B错；对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、，因为四边形为菱形，，则为的中点，因为点在上，且，为的中点，则，所以为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为的中点，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以平面平面，因为平面，故平面，C对；对于D选项，如下图所示：由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为，因为平面，所以，则，因为是边长为的等边三角形，故，因为平面，平面，所以，又因为，故为等腰直角三角形，则，当时，取最小值，且最小值为，此时，取最大值，且最大值为，D对.故选ACD.11．【答案】CD【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，在等腰梯形中，因为，，，则.即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.对于选项A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为，又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误；对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，即，解得，且等边的内切圆半径，可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；对于选项D：设正四面体的内切球半径，由等体积法可得：，解得.因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.又因为，，，则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为，故D正确.故选CD.12．【答案】4【详解】因为与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，所以，所以，所以4.13．【答案】【详解】，，14．【答案】【详解】在中，由余弦定理可得．由平面向量数量积的定义可得，在锐角中，点是线段的中点，则，所以．由及正弦定理，得，，所以．因为为锐角三角形，且，则，解得，则，所以，所以，所以．所以线段的长的取值范围为．15．【答案】（1），（2）【详解】（1）解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．16．【答案】（1）（2）【详解】（1）由正弦定理得，，又，，，，，，，.（2）面积为，，，，，由得，即，.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.18．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）由已知当时，，所以，，所以，因为，所以，.（2）当时，，即为的中点，因为三点共线，设，则，因为三点共线，设，则，又不共线，根据平面向量基本定理得解得所以，又，则所以.（3）因为，，所以，由（1），又，所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.19．【答案】(1)6；(2)4；(3).【分析】（1）根据水的体积不变即可得解；（2）根据空气部分的体积大小判断水面形状，记的中点为，连接，利用空气部分体积求出，然后可求侧棱与水平面所成角的正弦值，由可得所求；（3）判断空气部分为台体，设，,根据体积公式和勾股定理列方程，联立整理，代入梯形面积公式，转化为关于的函数，通过换元，利用二次函数性质求解可得.【详解】（1）记水面与棱分别交于点，当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱，因为，分别为棱的中点，所以，所以水的体积为，当底面ABC水平放置时，设水面高为，则，解得，即当底面ABC水平放置时，水面高为6.（2）因为三棱柱体积为，所以三棱锥的体积为，空气部分的体积为，因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图，由得，记的中点为，连接，则，因为，所以，又平面，平面，所以，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以直线在平面内的投影为，所以为直线与水平面所成角，又，所以，所以，因为，所以水面到地面的距离为.（3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图：记的中点分别为，在上，且，，易知，为正三角形