2026版步步高大一轮高考数学复习第二章　§2.7　指数运算与对数运算含答案

2026版步步高大一轮高考数学复习第二章§2.7指数运算与对数运算含答案§2.7指数运算与对数运算课标要求1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.1.根式(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a(3)(na)n＝a当n为奇数时,nan当n为偶数时,nan＝|2.分数指数幂正数的正分数指数幂：amn＝nam(a>0,m,n正数的负分数指数幂：a-mn＝1amn＝1na0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).4.对数的概念一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.

以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.

5.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N(a>0,且(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a>0,且a≠1；1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(-4)4＝－4.((2)若M＝N,则logaM＝logaN.(×)(3)2a·2b＝2ab.(×)(4)lg2＋lg5＝1.(√)2.(多选)下列运算正确的有()A.lg2＋lg3＝lg5B.log3100＝10log310C.4loD.log34·log43＝1答案CD解析lg2＋lg3＝lg6,故A错误；log3100＝2log310,故B错误；4log45log34·log43＝1,故D正确.3.若a25＝425(a>0且aA.254 B.2 C.15答案C解析由a25＝4∴loga252＝2∴loga254.2723＋4答案11解析2723＋4log43－lg5－lg2＝(33)231.灵活应用化简指数幂常用的技巧(1)ba-p(2)a＝(a1m)m,anm(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝a-12(4)乘法公式的常见变形,如(a12＋b12)(a12－(a12±b12)2＝a±2a12b(a13＋b13)(a23∓a12.谨防两个失误点(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.题型一指数运算例1(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)()A.aB.4a4C.(6D.a-2答案ABC解析对于A,a46对于B,4a4＝|a|＝a对于C,(62)2＝对于D,a-23(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)()A.0.2512＋B.278-23－49C.(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36D.若x12答案BD解析对于A,0.2512＋(5π)对于B,278-23－4990.5＋(0.008)-23×125＋(π－1)0对于C,原式＝(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)＝[2×(－6)对于D,当x12＋x-12＝6时,(x12＋x-12)2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练1计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)14-1(2)0.125解(1)14-＝412·(4ab(2)0.＝123-1＝2＋1＋8×9＝75.题型二对数运算例2(1)(多选)下列运算中正确的是()A.log37B.8C.x＝lnexD.12答案BCD解析对于A,log37log对于B,827-对于C,x＝lnex,故C正确；对于D,12-log26＋ln(lne)＝2lo(2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是()A.lg2＋lg5-lg8lg50-lg40B.lg4＋lg5-12lg0.5＋lg8C.lg14－2lg73D.(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝2答案AC解析lg2＋lg5-lg8lg50-lg40＝lg10lg4＋lg5-12lg0.5＋lg8＝lg20-1lg0.25＋lg8lg14－2lg73＋lg7－lg18＝(lg7＋lg2)－(2lg7－2lg3)＋lg7－(2lg3＋lg2)＝0,C(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1,D不成立.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练2(1)(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是()A.logab·logca＝logcbB.logab·logcb＝logcaC.loga(b＋c)＝logab＝logacD.loga(bc)＝logab·logac答案BCD解析对于A,logab·logca＝lgblga·lgalgc对于B,logab·logcb＝lgblga·lgblgc,而log对于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故C错误；对于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D错误.(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln2)f(ln4)=8,则a=.

答案e解析f(ln2)f(ln4)=aln2aln4=aln2+ln4=a3ln2=aln∴aln2=2,∴a=e.题型三指对运算的应用例3(1)(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝e-0.97＋0.127x1＋e-0.97＋0.127x,其中x是客户年收入(单位：万元),PA.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68答案C解析由题意得ln1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝e-0.97＋1.271＋e(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5A时,放电时间为60h；当放电电流为25A时,放电时间为15h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15答案D解析由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,所以257.5λ两边取以10为底的对数,得λlg103＝2lg2所以λ＝2lg21-lg3≈2思维升华利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数的值,然后解决问题.跟踪训练3(1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg5≈0.699,则231是()A.9位数 B.10位数C.11位数 D.12位数答案B解析记231＝M,则31×lg2＝lgM,则lgM＝31×(1－lg5)≈9.331,则M≈109.331∈(109,1010),故231是10位数.(2)(2024·恩施模拟)区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg2≈0.301,100.658≈4.5)()A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒答案A解析由题意知所需时间t＝2256∴lgt＝256lg2－(lg2.5＋11)＝256lg2－lg104＋11＝258lg∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分,共30分)1.下列各式正确的是()A.(-3)2＝－3 B.log2x2＝2logC.22＝2 D.a0答案C解析(-3)2＝3,故A错误；log2x2＝2log2|x|,故B错误；22＝2,故C正确；a0＝1,当a≠0时成立,故2.21＋loA.4 B.6 C.8 D.10答案B解析因为log23＝log2312log3.若2x＝52,lg2≈0.301,则A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669答案A解析因为2x＝52,lg所以x＝log252＝lg5-lg24.(2024·武汉模拟)已知ab≠1,logam＝2,logbm＝3,则logabm等于()A.16 B.15 C.56答案D解析由换底公式得,logma＝1logam＝所以logabm＝1lo5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时,1＋12＋13＋…＋1x≈lnx＋γ(x∈N*,常数γ＝0.557…).利用以上公式,可以估算1A.ln30 B.ln3C.－ln3 D.－ln30答案B解析依题意可得1＋12＋13＋…＋13001＋12＋13＋…＋1100两式相减可得1101＋1102＋…＋1300≈ln6.(2024·大连模拟)本福特定律指出,一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中,首位非零的数字是1~9这九个事件并不是等可能的,而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ是一个没有人为编造的首位非零数字,则P(ξ＝k)＝lg1＋1k(k＝1,2,…,9),则根据本福特定律,在一个没有人为编造的数据中,首位非零数字是8的概率约是(参考数据：lg2≈0.301,lgA.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067答案B解析由题意可得P(ξ＝8)＝lg98＝lg9－lg8＝2lg3－3lg2≈2×0.477－3×二、多项选择题(每小题6分,共12分)7.下列判断正确的有()A.4(3-πB.lnm·lnn＝ln(m＋n)(其中m>0,n>0)C.a·a·a＝D.27答案ACD解析对于A,4(3-π)4对于B,由对数性质可知ln(mn)＝lnm＋lnn,B错误；对于C,a·a·对于D,27-13＝(33)-13＝3－18.以下运算中正确的有()A.若lg3＝m,lg2＝n,则log518＝2B.[(1-2C.13-2－2ln(lneD.log23·log94＝2答案AC解析对于A,log518＝lg18lg5＝lg2＋lg9对于B,[(1-2)2]12－(1＋2对于C,13-2－2ln(lnee)＝9－2lne＝9－2＝7对于D,log23·log94＝log23·log24log29＝log23三、填空题(每小题5分,共10分)9.278-13＋log43·log32＋2答案5解析278-13＋log43·＋14log23·log32＋210.(2024·荆州模拟)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝22,则loga1a2答案2解析因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝22,则bi＝ai22(所以loga1a2…a10(b1b2四、解答题(共27分)11.(13分)计算下列各式的值：(1)-338-2(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－eln解(1)-338-＝(-1)-2＝323×-23＋＝49＋105－105－20＋1＝－167(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－e＝lo＝32log32×56log23－54＝32×56×log312.(14分)已知P＝80.25×42＋2764-13－(－2024)0,Q＝2log(1)分别求P和Q；(8分)(2)若2a＝5b＝m,且1a＋1b＝解(1)P＝80.25×42＋2764-13＝(8×＝2＋43－1＝Q＝2log32－log3329＋log38＝log34÷32(2)因为2a＝5b＝m>0,所以a＝log2m,b＝log5m,由换底公式得1a＝logm2,1b＝logm5,则m则1a＋1b＝logm2＋logm由于1a＋1b＝Q,故所以m＝10.13题5分,14题6分,共11分13.(2025·连云港模拟)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后,物理学家本·福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出本·福特定律,即在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logbn＋1n,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若14Σn＝kP10(n)＝log29-log23A.3 B.5 C.7 D.9答案B解析14Σn＝kP10(n)＝P10(k)＋P10(k＋1)＋…＋P10(14)＝lgk＋1k＋lgk＋2k＋1＋又log29-log2314.(多选)已知3a＝8b＝24,则a,b满足的关系是()A.1aB.1aC.(a－1)2＋(b－1)2<2D.(a－1)2＋(b－1)2>2答案AD解析由3a＝8b＝24,则(3a)b＝24b,(8b)a＝24a,即3ab＝24b,8ab＝24a,两式相乘得(24)ab＝24a＋b,所以ab＝a＋b,又因为a≠0,b≠由a≠b,有a2＋b2>2ab,则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝2,C选项错误,D选项正确.§2.8指数函数课标要求1.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.指数函数及其性质(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0,＋∞)性质过定点(0,1),即x＝0时,y＝1当x>0时,y>1；当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1增函数减函数1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝－ax是指数函数.(×)(2)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.(√)(3)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(×)(4)函数y＝ax＋2(a>0,且a≠1)过定点(0,2).(×)2.给出下列函数,其中为指数函数的是()A.y＝x4 B.y＝xxC.y＝πx D.y＝－4x答案C解析因为指数函数的形式为y＝ax(a>0且a≠1),所以y＝πx是指数函数,即C正确；而A,B,D中的函数都不满足要求,故A,B,D错误.3.若函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)满足f(2)＝81,则f

-A.±13 B.±3 C.13答案C解析因为f(2)＝a2＝81,又a>0,所以a＝9,从而f(x)＝9x,f

-4.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)＝1,f(1)f(0)＝2,f(2)f(1)＝2,f(3)f(2)＝2,答案f(x)＝2x(答案不唯一)解析例如f(x)＝2x,则f(0)＝1,且f(x)f(x-1)＝2x1.掌握指数函数图象的三个特点(1)指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),-1,(2)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b.2.谨防一个失误点讨论指数函数的单调性及值域问题时,当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.题型一指数函数的概念与图象例1(1)(多选)下列选项正确的是()A.函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数,则a＝1B.指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,＋∞)C.函数y＝ax＋1(a>0,且a≠1)的图象可以由f(x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到D.函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点-答案ABD解析对于A,2a2－3a＋2＝1且a>0,a≠1,则a＝12,对于B,不论0<a<1,还是a>1,值域都为(0,＋∞),B正确；对于C,f(x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax＋1的图象,C错误；对于D,令2x＋3＝0,则x＝－32,y＝0,所以函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点-3(2)(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则()A.0<a<1 B.a>1C.－1<b<0 D.b<－1答案BD解析函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0＋b<0,即a>1,b<－1.思维升华对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.跟踪训练1(1)(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为()A.a＝b B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b答案ABC解析由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示,由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故选项A正确；作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0<b<a,故选项B正确；作出直线y＝m,当0<m<1时,若3a＝6b＝m,则a<b<0,故选项C正确；当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b＝6b,故选项D错误.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是.

答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示.∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴实数b的取值范围是(0,2).题型二指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a答案B解析依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b.(2)若a＝1223,b＝2312,c＝loA.a>c>b B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案D解析由题意得,0<a＝1223<0<b＝2312<c＝log2312∵1223<∴a<b,∴c>b>a.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析∵ax<1,当a>1时,y＝ax是增函数,∴p：{x|x<0}.对于不等式2x＋1<x＋2,作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象,如图所示.由图象可知,不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0},∴q：{x|－1<x<0}.又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0},∴p是q的必要不充分条件.(2)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为.

答案-5,-解析由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R,且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x),所以f(x)＝2|x|为偶函数,当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,可得f(x)＝2|x|在[0,＋∞)上单调递增,根据偶函数的性质,不等式f(2－x)>f(2x＋3),即为f(|2－x|)>f(|2x＋3|),可得|2－x|>|2x＋3|,整理得3x2＋16x＋5<0,解得－5<x<－1所以f(2－x)>f(2x＋3)的解集为-5,-1命题点3指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数.(1)求a的值,并证明函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增；(2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x),x∈[0,1]的值域.解(1)因为函数f(x)在R上为偶函数,所以f(x)＝f(－x),得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x,(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立,即a＝1.所以f(x)＝2x＋2－x,对任意的0≤x1<x2,f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2-x1)因为0≤x1<x2,2x1<2x所以f(x1)<f(x2),f(x)在区间[0,＋∞)上单调递增.(2)函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝(2x＋2-x)2＋令t＝2x＋2－x＝2x＋1因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],所以t∈2,令φ(t)＝t2＋t－2,故函数φ(t)在2,5当t＝2时,h(x)min＝φ(2)＝4；当t＝52时,h(x)max＝φ5则函数h(x)的值域为4,27思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.跟踪训练2(1)a＝123,b＝20.5,c＝logA.a<b<c B.c<b<aC.a<c<b D.c<a<b答案D解析0<123＝2－3<20.5,即0<a<b,c＝log312<log31＝0,所以c<a(2)(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是()A.(－∞,－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2,＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上是增函数,而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则函数y＝x(x－a)＝x-a22－a24在区间(0,1)上单调递减,因此所以a的取值范围是[2,＋∞).(3)(多选)(2024·临沂模拟)已知函数f(x)＝22x-1＋a(aA.f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)B.f(x)的值域为RC.当a＝1时,f(x)为奇函数D.当a＝2时,f(－x)＋f(x)＝2答案ACD解析对于函数f(x)＝22x-1＋a(a令2x－1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),故A正确；因为2x>0,则2x－1>－1,当2x－1>0时,22所以22x-1＋a当－1<2x－1<0时,22所以22x-1＋a综上可得f(x)的值域为(－∞,－2＋a)∪(a,＋∞),故B错误；当a＝1时,f(x)＝22x则f(－x)＝2-x＋12-x-1所以f(x)＝22x-1＋1当a＝2时,f(x)＝22x-1＋2＝则f(x)＋f(－x)＝2x＋12x故D正确.抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性.(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0),对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；②幂函数f(x)＝xa,对应f(xy)＝f(x)f(y)或f

x③指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1),对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝f(④对数函数f(x)＝logax(a>0,且a≠1),对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

xy＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(⑤正弦函数f(x)＝sinx,对应f(x＋y)f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2,来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函数f(x)＝cosx,对应f(x)＋f(y)＝2f

x＋y2f

x-y2,来源于cosα＋cos⑦正切函数f(x)＝tanx,对应f(x±y)＝f(x)±f(y)1∓f(典例(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞)D.f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(0)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝2024答案AB解析对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2025)＋f(2025)＝f(－2024)＋f(2024)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(0)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝0，故D错误.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分,共30分)1.函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2],则其值域为()A.[2,8] B.[1,8]C.[0,8] D.[－1,8]答案C解析由题意x∈[－1,2],所以|x|∈[0,2],y＝3|x|－1∈[0,8].2.已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点-1,12,A.22 B.2 C.2 答案A解析由指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点-1,得a-1＝1,(a-1)b-1所以1b3.若函数f(x)＝2x2-2ax＋3A.[－1,0] B.[－2,C.(0,2] D.答案B解析由题意可得2x2-2ax＋3－2≥0即2x2-2ax＋3≥2,且y可得x2－2ax＋3≥1,即x2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立,则Δ＝4a2－8≤0,解得－2≤a≤2所以实数a的取值范围为[－2,24.(2024·绍兴模拟)已知实数a,b,c满足a＝1253,bA.b<a<c B.a<b<cC.c<a<b D.c<b<a答案B解析由y＝12x在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x在(0,＋可知120＝1>b＝121e>1253＝a,c所以c>1>b>a.5.(2025·福州模拟)设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是()A.(－∞,2] B.(－∞,4]C.[2,＋∞) D.[4,＋∞)答案D解析函数y＝3x在R上单调递增,而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,所以函数y＝|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,所以a2≥2,解得a≥6.(2025·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1,若f(a2)＋f(a－2)>2,则实数a的取值范围是()A.(－∞,1)B.(－2,1)C.(－∞,－2)∪(1,＋∞)D.(－1,2)答案C解析令g(x)＝2x－2－x,定义域为R,且g(－x)＝－g(x),所以函数g(x)是奇函数,且是增函数,因为f(x)＝g(x)＋1,f(a2)＋f(a－2)>2,则g(a2)＋g(a－2)>0,即g(a2)>－g(a－2),又因为g(x)是奇函数,所以g(a2)>g(2－a),又因为g(x)是增函数,所以a2>2－a,解得a<－2或a>1,故实数a的取值范围是(－∞,－2)∪(1,＋∞).二、多项选择题(每小题6分,共12分)7.下列是真命题的是()A.函数f(x)＝ax－1＋1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2)B.函数f(x)＝21cosC.函数f(x)＝12D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝1答案AC解析对于A,令x－1＝0,则x＝1,当x＝1时,f(1)＝a0＋1＝2,所以函数恒过定点(1,2),故A正确；对于B,因为f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ,k∈Z,则cosx∈[－1,0)∪(0,1],则1cosx∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),令t＝1cosx,则t∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),则y＝2t∈0,12∪[2,＋∞对于C,因为函数f(x)＝12x＋1－12的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝12-x＋1－12＝2x2x＋1－12对于D,函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝12,故D8.已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是()A.函数f(x)恒过定点(0,1)B.函数f(x)的值域为[0,＋∞)C.函数f(x)在区间(－∞,0]上单调递增D.若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是0,答案BD解析已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0,且a≠1),则x∈R,对于A,f(0)＝|a0－1|＝0,函数f(x)恒过定点(0,0),故A错误；对于B,x∈R,则ax－1>－1,所以|ax－1|≥0,函数f(x)的值域为[0,＋∞),故B正确；对于C,当0<a<1时,则y＝ax单调递减,又x≤0,所以ax≥1,所以f(x)＝|ax－1|＝ax－1,显然此时f(x)在(－∞,0]上单调递减；当a>1时,则y＝ax单调递增,又x≤0,所以0<ax≤1,所以f(x)＝|ax－1|＝－ax＋1,显然此时f(x)在(－∞,0]上单调递减,故C错误；对于D,y＝|ax－1|的图象由y＝ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴