安徽省定远2024-2025学年高二下册第二次月考数学试卷附解析

/安徽省定远2024-2025学年高二下册第二次月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知，则（）A.7 B.21 C.35 D.42【正确答案】B【分析】根据组合数的性质建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案.【详解】由，则或，解得或，所以.故选：B.2.函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递减D.在上单调递增【正确答案】C【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断，【详解】时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，显然C正确，其他选项错误.故选：C.3.设函数的导函数为，且满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先在中令，得到关于和的式子.再对求导后令，得到关于和的式子，从而求出.把代回表达式，求出.确定与的表达式.则判断A，B；对再求导得，发现，说明递增.又知，所以不恒大于等于，判断C；由情况可知在取最小值，求出，判断D.详解】已知，令可得：对求导得，令可得：，可得.将代入可得，再令可得：，因为，所以，解得.

代入与的表达式中，可得：

A选项：由前面计算可知，所以A选项错误.

B选项：前面已求得，所以B选项正确.

C选项：对设，求导得，因为，所以，这表明在上单调递增.又因为，所以当时，；当时，，即不恒成立，所以C选项错误.

D选项：由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，，所以不成立，D选项错误.

故选：B.4.将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有1个小球与所在盒子编号相同，则有（）种不同的放球方法.A.20 B.15 C.12 D.8【正确答案】D【分析】分步乘法原理，先确定唯一一个编号相同的盒子，再计算与之编号不同的盒子可得.【详解】分步计算，先确定唯一一个编号相同的盒子，有种；再将剩下的小球放入与之编号不同的盒子中，有2种方法，所以一共有种.故选：D.5.若，，，则以下不等式正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.【详解】因为，令，定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，又，所以，所以，即.故选：D.6.已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（）A.40 B.32 C.24 D.23【正确答案】D【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，再除去不合题意的即可.【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得，且，所以异号，从集合中任取三个不同元素，且异号，易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种，又因为当和时，都表示直线，所以符合条件的直线的条数为种.故选：D7.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】根据定义，带入拉格朗日中值定理，令，找到，解方程，【详解】由拉格朗日中值定理，，则，则，合题，共2个解，故选：B.8.设函数，若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】把不等式只有一个整数解，转化为只有一个整数解，令，根据导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解实数a的取值范围.【详解】因为只有一个整数解，即只有一个整数解，令，则的图象在直线的上方只有一个整数解，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递增；且，作出的图象，由图象可知a的取值范围为，即.故选：B本题主要考查了利用导数研究函数的图象及应用，其中解答中把不等式的解转化为只有一个整数解，结合导数得到函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】AC【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，简单复合函数的导数对选项逐一分析即可得到答案．【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误．故选：AC．10.2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域．报告显示，中国在其中19个领域处于领先．某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取A，B，C，D，E这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（）A.A，B都在后3天介绍的方法种数为36B.A不在第一天，B不在最后一天介绍方法种数为92C.A，B相隔一天介绍的方法种数为36D.A在B，C之前介绍的方法种数为40【正确答案】ACD【分析】A选项，在后3天中选择2天，将和剩余的3天进行全排列，相乘后得到A正确；B选项，分在最后一天进行介绍和不在最后一天进行介绍两种情况，求出方法数相加后得到答案；C选项，采取插空和捆绑法进行求解；D选项，倍缩法进行求解.【详解】A选项，在后3天中选择2天，有种选择，再将和剩余的3天进行全排列，有种选择，故有种方法数，A正确；B选项，若在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法，若不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排，再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择，最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择，则此时有种选择，综上，不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，故B错误；C选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法，再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择，综上，共有种方法数，故C正确；D选项，进行全排列，共有种方法，将进行全排列，共有种方法，其中在，之前的有2种，故120种排列中，在，之前的有种，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.在区间上单调递增B.极大值点仅有一个C.无最大值，有最小值D.当时，关于的方程共有3个实根【正确答案】BC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项.详解】对于A选项，当时，，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故A错误；对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，当时，，则，此时函数单调递增，当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；对于C选项，当时，，当时，，所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；对于D选项，如下图所示：由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，则________．【正确答案】【分析】应用赋值法求所有项系数之和.【详解】令，则.故1613.已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．【正确答案】【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.【详解】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，恒为正，当时，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，且，画出的图象如下：要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，显然当时，符合要求.故14.已知实数，满足，则的最大值为______.【正确答案】##【分析】把已知等式变形为，利用函数的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得极值即可得解．【详解】由得，所以，则，因为，，，所以.令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故四､解答题：本题共5小题.共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求的值；（2）求展开式中常数项，并指出是第几项；【正确答案】（1）；（2）常数项为60，为第5项.【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可；（2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解．【小问1详解】依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，∴，即，由，解得；【小问2详解】展开式的通项为，令，解得，∴，∴常数项为60，为第5项.16.已知函数.（1）若在上不单调，求实数的取值范围；（2）若，求在上的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）三次函数在上不单调，只需导函数判别式大于0即可；（2）先判断单调性，再结合端点值即可.【小问1详解】因为，所以.因为在上不单调，所以方程有两个不同的根，则，解得或，即实数的取值范围是.小问2详解】因为，所以.由，得或，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.因为，，，所以在上的值域为.17.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）4名男学生互不相邻；（2）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；（3）2名老师之间有男女学生各1人.【正确答案】（1）2880（2）96（3）3840【分析】（1）利用插空法，先排老师和女学生，最后排剩余的4名男学生即可.（2）特殊元素优先安排求解即可.（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.【小问1详解】先排老师和女学生共有种站法，再将男生插入到五个空中，有种，所以共有种不同的站法．【小问2详解】由题意可得共种不同的站法．【小问3详解】先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种，再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，所以共有种不同的站法．18.已知函数.（1）当在处的切线是时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数的取值范围.【正确答案】（1）减区间，增区间，极小值，无极大值.（2）【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值.（2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【小问1详解】，若在处的切线是，则，则，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】依题意，①在上有解，①可化为，设，，由（1）知，当且仅当时函数值为，所以在区间单调递减；在区间单调递增；所以，所以的取值范围是.19.已知函数，．（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点．（i）求的取值范围；（ii）证明：．【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可；（2）（i）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可；（ii）根据（i）条件，不等式可以转化为，变形后，设，构造新函数，利用导数即可证明.【小问1详解】由题知，在上恒成立，所以在上恒成立，因为，所以，经检验，符合题意.故.【小问2详解】(i)由题设且，若，则在上恒成立，即