高考数学文科二轮复习练习第一篇第18练推理与证明

第18练推理与证明[明考情]推理与证明在高考中少数年份考查，小题中多以数表(阵)、图形、不等式等为指导，考查合情推理，难度为中档.[知考向]1.合情推理.2.演绎推理.3.推理与证明的综合应用.考点一合情推理方法技巧(1)归纳推理的思维步骤：发现共性，归纳猜想，结论验证.(2)类比推理的思维步骤：观察比较，联想类推，猜测结论.1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28 B.76C.123 D.199答案C解析观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前面相邻两项的和，所求值为数列中的第10项.继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第10项为123，即a10＋b10＝123.2.平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸十三边形的对角线条数为()A.42 B.65C.143 D.169答案B解析可以通过列表归纳分析得到：多边形45678对角线22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6凸十三边形有2＋3＋4＋…＋11＝eq\f(13×10,2)＝65(条)对角线.3.(2017·甘肃模拟)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V＝2，表面积S＝3，则该三棱锥内切球的体积为()A.81π B.16πC.eq\f(32π,3) D.eq\f(16π,9)答案C解析由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三棱锥四个面为底的四个三棱锥.设三棱锥的四个面的表面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径，∴V＝eq\f(1,3)(S1×r＋S2×r＋S3×r＋S4×r)＝eq\f(1,3)S×r，∴内切球半径r＝eq\f(3V,S)＝eq\f(2×3,3)＝2，∴该三棱锥内切球的体积为eq\f(4,3)π·23＝eq\f(32π,3).4.某综艺节目中有这样一个问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,32)，它的第8个数是________.答案eq\f(1,32)解析将这一组数：－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,32)化为：－eq\f(1,2)，eq\f(2,4)，－eq\f(3,8)，eq\f(4,16)，－eq\f(5,32)，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为负，偶数项符号为正，则它的第8个数是eq\f(1,32).5.给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0；②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③实数a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0；④实数a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.其中类比结论正确的个数是________.答案2解析①显然正确；②中若a⊥b，则a·b＝0，∴②错误；③中取z1＝1，z2＝i，则zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，∴③错误；④中a2＝|a|2，b2＝|b|2，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，∴④正确.综上，正确结论的个数是2.考点二演绎推理要点重组演绎推理的特点：从一般到特殊；演绎推理的一般形式是三段论.方法技巧新定义问题的解题思路：读懂新定义的含义，在领会新定义实质的基础上，将其应用在具体情境中进行演绎推理，得到新的结论.6.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，计算a2，a3，a4，由此推测通项an答案A解析演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C，D是归纳推理.7.(2017·绵阳模拟)若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是()A.19B.27C.28D.37答案C解析由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个；两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个；两个数字一样为2，122，有1个；同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个.综上所述，不超过200的“单重数”个数是2＋18＋8＝28.8.对于任意的两个实数对(x1，y1)和(x2，y2)，规定：(x1，y1)＝(x2，y2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2；))运算“⊗”为(x1，y1)⊗(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，y1x2＋x1y2)；运算“⊕”为(x1，y1)⊕(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2).设k，n∈R，若(1，2)⊗(k，n)＝(3，1)，则(1，2)⊕(k，n)＝________.答案(2，1)解析由(1，2)⊗(k，n)＝(3，1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2n＝3，,2k＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,n＝－1.))所以(1，2)⊕(k，n)＝(1，2)⊕(1，－1)＝(2，1).9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________.答案eq\f(3\r(3),2)解析由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).10.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则(1)S7＝________；(2)若a2017＝m，则S2015＝________.(用m表示)答案(1)33(2)m－1解析(1)S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33.(2)∵an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋1，∴S2015＝a2017－1＝m－1.考点三推理与证明的综合应用要点重组(1)反证法的证题步骤：反设、归谬、存真.(2)以实际问题为背景的推理问题，可利用归纳、分类、反证等多种方法进行推理论证.11.设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不大于－2D.至少有一个不小于－2答案C解析假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都大于－2，即a＋eq\f(1,b)＞－2，b＋eq\f(1,c)＞－2，c＋eq\f(1,a)＞－2，将三式相加，得a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＞－6，又因为a＋eq\f(1,a)≤－2，b＋eq\f(1,b)≤－2，c＋eq\f(1,c)≤－2，所以a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，矛盾，所以假设不成立，故选C.12.(2017·武昌区模拟)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B解析乙、丁供词同真或同假，假设乙、丁同真，可知甲真，和题中条件矛盾，故乙、丁同假，甲、丙两人说的真话，易知罪犯是乙.13.用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()A.假设三个内角都不大于60°B.假设三个内角都大于60°C.假设三个内角至多有一个大于60°D.假设三个内角至多有两个不大于60°答案B14.已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的中心，则eq\f(AG,GD)＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则eq\f(AO,OM)等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析由于四面体ABCD是正四面体，因此AM⊥平面BCD，且O在AM上，设△BCD的面积为S，四面体ABCD的体积为V，则V＝V三棱锥O－ABC＋V三棱锥O－ABD＋V三棱锥O－ACD＋V三棱锥O－BCD＝4×eq\f(1,3)S·OM，又V＝eq\f(1,3)S·AM，所以4×eq\f(1,3)S·OM＝eq\f(1,3)S·AM，故AM＝4OM，所以eq\f(AO,OM)＝3，故选C.15.(2017·虎林市校级模拟)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不相同，现了解到以下情况：(1)甲不是最高的；(2)最高的没报铅球；(3)最矮的参加了跳远；(4)乙不是最矮的，也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是________.答案跑步解析由(4)可知，乙参加了铅球比赛，由(2)可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由(1)可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.1.已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3，12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5，12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7，12＋22＋32＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)答案eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)解析根据题意可归纳出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1).2.(2017·咸阳二模)观察下列式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，…，根据以上规律，第n个不等式是____________________________.答案eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)<eq\f(n＋12,2)3.老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没能考好”.乙说：“我们四人中有人考得好”.丙说：“乙和丁至少有一人没考好”.丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中________两人说对了.答案乙和丙解析如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故只有乙和丙两人说对了.解题秘籍(1)新定义问题的关键是明确新定义的实质，结合所学知识，将问题转化为熟悉的、已掌握的问题.(2)实际问题和推理相结合，要按照可能发生的情况全面论证，去伪存真，找到问题的答案.1.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)等于()A.eq\f(2015,2016)B.eq\f(2016,2015)C.eq\f(2016,2017)D.eq\f(2017,2018)答案C解析每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计了一次，所以减3个顶点，则an＝3n－3，那么eq\f(9,anan＋1)＝eq\f(9,3n－3×3n)＝eq\f(1,n－1n)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，则eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2016)－\f(1,2017)))＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017)，故选C.2.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A.809B.852C.786D.893答案A解析前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.3.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A.22项B.23项C.24项D.25项答案C解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.4.设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,3n＋2) B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)答案D解析∵f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，∴f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).5.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2017(x)等于()A.sinx＋cosx B.－sinx－cosxC.sinx－cosx D.－sinx＋cosx答案A解析f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，f6(x)＝f5′(x)＝cosx－sinx，…，可知fn(x)是以4为周期的函数，∵2017＝504×4＋1，∴f2017(x)＝f1(x)＝sinx＋cosx，故选A.6.用反证法证明命题“若a＋b＋c≥0，abc≤0，则a，b，c三个实数中至多有一个小于零的”的反设内容为()A.a，b，c三个实数中至多有一个不大于零B.a，b，c三个实数中至多有两个小于零C.a，b，c三个实数中至少有两个小于零D.a，b，c三个实数中至少有一个不大于零答案C解析a，b，c三个实数中小于零的个数只有0，1，2，3四种，“至多有一个”的否定为至少有两个.故选C.7.小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①若a1＜a2＜a3＜…＜a10，则必是第一道题答错，其余题均答对；②若a1＞a2＞a3＞…＞a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10，其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案D解析①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.8.(2017·河北衡水中学三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案A解析分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.9.已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，经计算f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，则根据以上式子得到第n个式子为__________.答案f(2n)＞