【课件】+角+课件+-2025-2026学年北师大版数学七年级上册

4.2角第1课时角1.你能从静态和动态两个方面阐述什么是角吗？能从动态方面解释平角、周角吗？2.角有哪些表示方法？你能举例说明吗？3.角的度量单位是什么？如何换算？举例说明。4.什么是方位角？你能用方位角表示方向吗？在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗?角(angle)由两条具有公共端点的射线组成(如图4-17)。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的(如图4-18)。角的大小与边的长短无关。射线OA

绕端点O旋转，当终止位置OB

和起始位置OA

成一条直线时，形成什么角？OAB当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成平角。注意：平角的两边成一条直线，但不能说直线就是平角。1平角＝180°继续旋转，OB

和OA

重合时，又形成什么角？OA(B)注意：周角的两边重合成一条射线，但不能说射线就是周角。当终止位置OB和起始位置OA重合时，形成周角.1周角＝360°如图4-19，一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角(straightangle)。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角(roundangle)。平角和周角：如图4-20，通常可以用以下方式表示角：尝试·思考(1)用适当的方式表示图4-21中的每个角。∠BAC，∠CAD，∠BAD。(2)在图4-21中，∠BAC，∠CAD和∠BAD能用∠A来表示吗?都不能用∠A来表示，因为用单个大写英文字母表示只适用于以这一点为顶点的角只有一个时，而这3个角都是以A为顶点。和线段一样，在学习了角的表示方法后，我们也要学习如何度量角的大小。在小学我们已经知道：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°。为了更精密地度量角，我们规定：

归纳度分秒×60×60×3600÷60÷60÷3600角的换算：1周角＝_____°1平角＝_____°1直角＝_____°1°＝_____'1'＝_____''1''＝

_____'1'＝_____°1''＝

_______°360180906060221周角＝___平角1平角＝___直角1周角＝___直角4例1计算：(1)1.45°等于多少分?等于多少秒?(2)1800″等于多少分?等于多少度?

观察·思考图4-22呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。(1)分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。(2)哈尔滨在北京的北偏东大约多少度?(1)分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。北京和哈尔滨的夹角大约是45°，哈尔滨和上海的夹角大约是105，上海和福州的夹角大约是15°，福州和西安的夹角大约是60°，西安和北京的来角大约是135°.(2)哈尔滨在北京的北偏东大约多少度?哈尔滨在北京的北偏东大约45°.1.一个动物园的部分示意图如图所示。(1)海洋世界在大门的正东方向，你能说出它在大门的北偏东多少度吗?解：海洋世界在大门的北偏东90°。(2)虎豹园、猴山、大象馆分别在大门的北偏东(或南偏东)多少度?解：虎豹园在大门的南偏东0°，猴山在大门的北偏东0°，大象馆在大门的北偏东48°。(3)在图中连接各个景点与大门，并用适当的方式表示各角。解：∠BOD，∠BOA，∠BOC，∠DOA，∠DOC，∠AOC。(4)指出图中的锐角、钝角、直角、平角。解：∠BOD，∠DOA是锐角；∠DOC是钝角；∠BOA，∠AOC是直角；∠BOC是平角。2.(1)0.25°等于多少分?等于多少秒?

(2)2700″等于多少分?等于多少度?解：0.25°＝60′×0.25＝15′；0.25°＝15′＝60″×15

＝900″

角角的概念角的分类角由两条具有公共端点的射线组成(静态定义)——锐角、直角、钝角、平角、周角由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形(动态定义)角的表示方法用三个大写英文字母或一个大写英文字母表示用一个阿拉伯数字表示用一个希腊数字表示角的度量与单位换算——用量角器度量，单位：度、分、秒，1°＝60′，1′＝60″角的实际应用——方位角等第2课时角的比较1.你能用哪些方法比较两个角的大小？举例说明。2.什么是角的平分线？你能从文字语言和符号语言两个方面说明吗？3.你能估计一个角的大小吗？会计算角的和、差吗？还记得怎样比较线段的长短吗?类似地，你能比较图4-23中每组角的大小吗?与同伴进行交流。与比较线段的长短类似，如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法对角进行比较：一种方法是用量角器量出它们的度数，再进行比较；另一种方法是将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧比较大小。方法一度量法→用量角器量出它们的角度，再进行比较.BCAEFD70°30°∠ABC＞∠DEF方法二叠合法→将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧比较大小OBAO'DCOʹC在∠AOB内部OʹC与OA重合OʹC在∠AOB外部OBA(D)(O′)COBA(O′)(D)（C）OBA(O′)(D)C∠AOB大于∠CO′D记作∠AOB＞∠CO′D∠AOB等于∠CO′D记作∠AOB=∠CO′D∠AOB小于∠CO′D记作∠AOB＜∠CO′D尝试·思考根据图4-25，求解下列问题:(1)比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE

的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角。∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，∠AOB

是锐角，∠AOC

是直角，∠AOD

是钝角，∠AOE是平角.(2)试比较∠BOC和∠DOE

的大小。(3)小亮通过折叠的方法，使OD与OC重合，OE落在∠BOC

的内部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解这种方法吗?用度量法比较，可得∠BOC＞∠DOE.能，此方法是用叠合法比较角的大小.(4)请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF

与∠COF

有什么大小关系?F∠DOF

＝∠COF射线OF把∠COD进行了平分角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线(anglebisector)。几何语言：

反之也成立：如图，∠AOC＝∠BOC

＝∠AOB(或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC).这时，射线OC

是∠AOB

的平分线.操作·思考(1)估计图4-27中∠AOB，∠DEF

的度数。估计∠AOB≈60°，∠DEF≈105°(2)量一量，验证你的估计。∠AOB＝62°，∠DEF＝105°回顾·反思回顾研究线和角的过程，你积累了哪些研究图形的经验?略1.如图，在点阵中有三个角。(1)先估计每个角的大小，再用量角器量一量；解：估计略.两个钝角分别为135°，135°，锐角为45°。(2)找出三个角之间的等量关系。解：题图中两个钝角相等，一个钝角和一个锐角的和为180°

45°30°60°第3课时用尺规作角1.你能用尽规作一个角等于已知角吗？2.回顾研究线和角的过程，你积累了哪些研究图形的经验？我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小。如何移动一个角呢?比如，如何将图4-28(1)中的∠AOB

移动到图4-28(2)的位置，使OA

与O′A′重合?这个角的大小由什么来决定?这个角的大小由另一条边的位置决定。(1)请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题。(2)如果只用尺规，如何解决这个问题?请你试一试，并与同伴进行交流。例2如图4-29，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。作法：1.作射线O′A′(如图4-29)。2.以点O

为圆心，以任意长为半径作弧，交OA

于点C，交OB

于点D。3.以点O′为圆心，以OC

的长为半径作弧，交O′A′于点C。4.以点C′为圆心，以CD

的长为半径作弧，交前面的弧于点D′。5.过点D′作射线O′B′。

∠A′O′B′就是所要作的角。操作·思考如图4-30，已知∠AOB，∠EOF，用尺规作图比较它们的大小。你是怎样做的?分别以两角的顶点O，O′为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠AOB，∠EO′F

的两边分别相交于点M，N

及点P，Q，再将圆规尖移至点M

处，使另一脚落在点N处，在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P

处。如图1，若另一脚可与点Q

重合，则∠AOB＝∠EO′F；如图2，若另一脚落在∠EO′F

的内部，则∠AOB＜∠EO′F；如图3，若另一脚落在∠EO′F

的外部，则∠AOB＞∠EO′F.1.如图，已知∠AOB，请用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB。解：如图所示.∠A′O′B′即为所要作的角。角的比较角的比较观察法移角方法度量法叠合法角的估计用尺规作图角的平分线定义角度数量关系及相关计算习题4.2〉〉知识技能1.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表。∠BCE∠2∠BAC∠BAD∠52.计算：

(2)6000″等于多少分?等于多少度?

3.把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中∠B，∠E，∠BAD，∠DCE

的度数及它们的大小关系。解：∠B＝30°，∠E＝60，∠BAD＝180°－∠BAC

＝180°－60°＝120°，∠DCE＝90°.∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD.4.如图，直线m

外有一定点O，A

是m

上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察∠α

和∠β

是如何变化的，∠α

和∠β之间有关系吗?解：∠α

先变大后变小，∠β

先变小后变大，在某个位置时∠α＝∠β，但始终有∠α＋∠β＝180°5.用尺规完成下列作图：(1)如图(1)，已知∠ABC，以点B

为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外作一个角，使它等于∠ABC；(1)BCA解：如图，∠ABD即为所要作的角。D(2)如图(2)，已知∠α，∠β，作一个角，使它等于∠α

与∠β

的和。解：如图，∠AOB即为所要作的角。αβOBA〉〉数学理解6.借助一副三角尺的拼摆，你能画出75°的角吗?15°呢?你还能画出哪些角?这些角有什么共同特征?解：能画出75°和15°的角.还能画出30°，45°，60°，90°105°，120°，135°，150°，165°等角，这些角的度数都是15的整数倍。7.小华在探究用尺规作与∠AOB

相等的∠A′O′B′时，提出了如图所示的方法，小华的作法与本节的作法有什么区别?请你说说小华这样做的道理。解：区别：小华的作法中OC

与OD

不相等.道理：在小华的作法中，虽然OC与OD

不相等，但是OC＝OC′，OD＝OD′，CD＝CD′，这与本节的作法实质上是一致的.〉〉问题解决8.(1)如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数。30°0°120°90°(2)每经过1h，时针转过多少度?每经过1min，分针转过多少度?解：每经过1h，时针转过30°；

每经过1min，分针转过6°.(3)当时钟指向上午10:10时，时针与分针的夹角是多少度?

※(4)请你的同伴任意报一个时间(精确到分)，你来确定时针与分针的夹角。略9.如图(1)，∠AOC

和∠BOD

都是直角。(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB

的度数是多少?解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOD＝∠BOC